Moderne Wiskunde B 12e ed/FLEX deel 3 - Hoofdstuk 16 - Product- en quotiëntfuncties oefentoetsen & antwoorden

Voor $0<g<1$ geldt als $x\rightarrow \infty$ dan $g^x \rightarrow $0 en als $x\rightarrow -\infty$ dan $g^x \rightarrow \infty$Als het grondtal van een macht tussen 0 en 1 ligt en de exponent wordt steeds groter, gaat de uitkomst van de macht richting 0. Als het grondtal van een macht tussen 0 en 1 ligt en de exponent wordt negatief, gaat de uitkomst van de macht richting oneindig.  $f(x)=0$ geeft $t(x)=0$ en $n(x)\neq 0$Delen door 0 kan niet, dus de enige mogelijkheid om uit een deling 0 te krijgen is als de teller 0 is. Los op: $9x^2+6x-8=0$Gebruik de ABC-formule. $a=9, b=6$ en $c=-8$. $D=b^2-4ac$$D=6^2-4\cdot 9\cdot -8$$=36+288=324$$x=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a} \vee x=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}$$x=\frac{-6-\sqrt{324}}{2\cdot 9} \vee x=\frac{-6+\sqrt{324}}{2\cdot 9}$$x=\frac{-6-18}{18} \vee x=\frac{-6+18}{18}$$x=-\frac{4}{3} \vee x=\frac{2}{3}$Los op: $\ln(2x)\neq 0$.$2x\neq e^0$$x\neq \frac{1}{2}$Dus $x=-\frac{4}{3} \vee x=\frac{2}{3}$ zijn mogelijke oplossingen, echter, moeten we wel rekening houden met de noemer, $\ln(2x)$ heeft als domein $x\geq 0$, $x=-\frac{4}{3}$ is dus geen oplossing, want hier bestaat de grafiek niet.Antwoord: $x=\frac{2}{3}$ Voor de verticale asymptoot vragen we ons af welke x-waarden niet in het domein van onze functie liggen. Dit zijn de x-waarden waarvoor geldt dat de noemer gelijk is aan 0, want delen door 0 kan niet. We lossen op: $n(x)=0$$2x^2+6x-8=0$$x^2+3x-4=0$ (delen door 2)$(x+4)(x-1)=0$$x+4=0 \vee x-1=0$$x=-4 \vee x=1$Voor beide oplossingen geldt $t(x)\neq 0$Antwoord: De verticale asymptoten zijn $x=-4$ en $x=1$ Voor de horizontale asymptoten vragen we ons af naar welke waarden van $y$ de functie nadert als x heel groot, of heel klein wordt. We gebruiken hiervoor limieten.$\lim_{x\rightarrow -\infty} \frac{x^4-3x^2+7x}{2x^4-5x^2}$ $\lim_{x\rightarrow -\infty} \frac{1-\frac{3}{x^2}+\frac{7}{x^3}}{2-\frac{5}{x^2}}$ (delen door de hoogste macht van $x$, in dit geval $x^4$)Als we nu de limiet nemen zien we een aantal standaardlimieten van de vorm $\lim_{x\rightarrow -\infty} \frac{c}{x^n}=0$ naar voren komen.$\lim_{x\rightarrow -\infty} \frac{1-\frac{3}{x^2}+\frac{7}{x^3}}{2-\frac{5}{x^2}}= \frac{1-0+0}{2-0}=\frac{1}{2}$$\lim_{x\rightarrow \infty} \frac{x^4-3x^2+7x}{2x^4-5x^2}$ heeft dezelfde oplossing.Antwoord: Dus de horizontale asymptoot is $y=\frac{1}{2}$$\lim_{x\rightarrow \infty} \frac{x^3+4x^2-2}{x^4+x^3}$$\lim_{x\rightarrow \infty} \frac{\frac{1}{x}+\frac{4}{x^2}-\frac{2}{x^4}}{1+\frac{1}{x}}$ (delen door de hoogste macht van $x$, in dit geval $x^4$)Ook hier zien we weer een aantal standaardlimieten terug, deze nemen we. $=\frac{0+0-0}{1+0}=\frac{0}{1}=0$Antwoord: $y=0$ We gebruiken de kettingregel en de quotiëntregel.$t(x)=e^{x+1}$ geeft $t’(x)=e^{x+1}$ $n(x)=e^{2x}+3$ geeft $n’(x)=2e^{2x}$$f’(x)=\frac{n(x)\cdot t’(x) -t(x)\cdot n’(x)}{(n(x))^2}$$f’(x)=\frac{(e^{2x}+3)e^{x+1}-e^{x+1}\cdot 2e^{2x}}{(e^{2x}+3)^2}$$f’(x)=\frac{e^{3x+1}+3e^{x+1}-2e^{3x+1}}{(e^{2x}+3)^2}$Antwoord: $f’(x)=\frac{-e^{3x+1}+3e^{x+1}}{(e^{2x}+3)^2}$ Werkwijze: Om het raakpunt te vinden moeten we de vergelijking $f’(x)= \frac{1}{2}$ oplossen. Stap 1: Neem de afgeleide.$f$ is een product van twee functies, namelijk $p(x)=5x$ en $q(x)= e^{-3x^3}$. We hebben dus de productregel nodig. $q(x)= e^{-3x^3}$ is een samengestelde functie, voor dit deel hebben we dus ook nog de kettingregel nodig. $q’(x)=-9x^2\cdot e^{-3x^3}$$p’(x)=5$$f’(x)=p’(x)\cdot q(x)+p(x)\cdot q’(x)+\frac{1}{2}$$f’(x)=5\cdot e^{-3x^3}+5x\cdot -9x^2\cdot e^{-3x^3}+\frac{1}{2}$$f’(x)=5e^{-3x^3}-45x^3e^{-3x^3}+\frac{1}{2}$Stap 2: Los op $f’(x)=\frac{1}{2}$$5e^{-3x^3}-45x^3e^{-3x^3}+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$$5e^{-3x^3}-45x^3e^{-3x^3}=0$$5e^{-3x^3}(1-9x^3)=0$$5e^{-3x^3}=0$ (heeft geen oplossingen) $\vee 1-9x^3=0$$9x^3=1$$x^3=\frac{1}{9}$$x=(\frac{1}{9})^{\frac{1}{3}}=\frac{1}{\sqrt[3]{9}}$Conclusie: $x=\frac{1}{\sqrt[3]{9}}$ Werkwijze: De extreme waarden zijn de toppen van de grafiek. Hiervoor moeten we $h’(x)=0$ oplossenStap 1: Neem de afgeleide.Voor de afgeleide hebben we de productregel nodig. $p(x)=7x^2$, $q(x)=\sqrt{x+3}$$p’(x)=14x$, $q(x)=\frac{1}{2\sqrt{x+3}}$$h’(x)= p’(x)\cdot q(x)+p(x)\cdot q’(x)$$h’(x) = 14x\sqrt{x+3}+ 7x^2\cdot \frac{1}{2\sqrt{x+3}}$Stap 2: Los $h’(x)=0$ op.$14x\sqrt{x+3}+ \frac{7x^2}{2\sqrt{x+3}}=0$ ($7x^2$ kunnen we bij in de breuk zetten omdat $c\cdot \frac{a}{b}=\frac{ca}{b}$)$14x\sqrt{x+3}=-\frac{7x^2}{2\sqrt{x+3}}$ (zet één breuk aan de andere kant zodat we kruislings kunnen vermenigvuldigen)$\frac{14x\sqrt{x+3}}{1}=-\frac{7x^2}{2\sqrt{x+3}}$ (maak ook van het linkerlid een breuk)$14x\sqrt{x+3}\cdot 2\sqrt{x+3}=1\cdot -7x^2$ (kruislings vermenigvuldigen)$28x(x+3)=-7x^2$$28x^2+84x=-7x^2$$35x^2+84x=0$ (herleiden op 0)$5x^2+12x=0$ (delen door 7)$x(5x+12)=0$ ($x$ buiten haakjes halen)$x=0 \vee 5x+12=0$$x=0 \vee 5x=-12$$x=0 \vee x=-\frac{12}{5}$Stap 3: Vul beide punten in in $h$ om de y-coördinaten van de toppen te berekenen.$h(0)=0$ en $h(-2\frac{2}{5})=7(-\frac{12}{5})^2\sqrt{-\frac{12}{5}+3}=40\frac{8}{25}\sqrt{\frac{3}{5}}=31,23$ (algebraïsch dus we mogen ons antwoord in een decimaal getal geven)Stap 4: Plot de grafiek om te kijken of we te maken hebben met een minimum of een maximum. Antwoord: min: $h(0)=0$ en max: $h(-2,4)=31,23$ Werkwijze: Voor raken geldt dat de grafieken $f$ en $g$ elkaar snijden en de helling in dit snijpunt gelijk is. Oftewel $f(x)=g(x) \wedge f’(x)=g’(x)$. Stap 1: Neem de afgeleide van zowel $f$ als $g$. Gebruik de kettingregel om de afgeleide te nemen van $f$: $f(u)=-u^{\frac{1}{2}}+3$ $u=2x-5$$f’(u)=\frac{1}{2}\cdot -u^{\frac{1}{2}-1}=\frac{1}{2}\cdot -u^{-\frac{1}{2}}=-\frac{1}{2\sqrt{u}}, u’=2$$f’(x)=\frac{1}{-2\sqrt{2x-5}}\cdot 2=-\frac{1}{\sqrt{2x-5}}$$g’(x)=-2x+5$Stap 2: Er geldt $f(x)=g(x):  -\sqrt{2x-5}+3=-x^2+5x+c$ en $f’(x)=g’(x):  -\frac{1}{\sqrt{2x-5}}=-2x+5$Aangezien we bij de vergelijking $f(x)=g(x)$ naast onbekende $x$ ook $c$ onbekend hebben kunnen we deze vergelijking niet oplossen. De vergelijking $f’(x)=g’(x)$ heeft maar één onbekende namelijk $x$, deze kunnen we dus oplossen.$-\frac{1}{\sqrt{2x-5}}=-2x+5$$-\frac{1}{\sqrt{2x-5}}=-\frac{2x+5}{1}$ (we schrijven de rechterkant van de vergelijking ook als breuk zodat we kruislings kunnen vermenigvuldigen)$-\sqrt{2x-5}(2x-5)=-1$ (kruislings vermenigvuldigen)$(2x-5)^{\frac{1}{2}}(2x-5)=1$ (Gebruik $\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$$(2x-5)^{1\frac{1}{2}}=1$$(2x-5)^{\frac{3}{2}}=1$$2x-5=1^{\frac{2}{3}}$$2x-5=1$$2x=6$$x=3$Stap 3: $f’(x)=g’(x)$ in $x=3$. Oftewel, de functies hebben een gelijke helling in het punt $x=3$. Om ervoor te zorgen dat de functies elkaar ook snijden in het punt $x=3$ moet gelden $f(3)=g(3)$:$-\sqrt{2\cdot 3-5}+3=-3^2+5\cdot 3+c$ ($x=3$ ingevuld in zowel $f$ als $g$)$-\sqrt{6-5}+3=-9+15+c$$-\sqrt{1}+3=6+c$$-4=c$Conclusie: De grafieken van $f$ en $g$ raken elkaar als $c=4$.