Getal en Ruimte 10e ed deel 2
- Hoofdstuk 10 -
oefentoetsen & antwoorden
10e editie
Klas 3|Vmbo-t
Toets Wiskunde
Getal en Ruimte 10e ed deel 2
Online maken
Toets afdrukken
a) De langste zijde zit altijd tegenover de rechte hoek in de driehoek. (§Vk)b) De benen van de rechte hoek in een rechthoekige driehoek noem je rechthoekszijde. (§Vk)c) Andere naam voor de Langste zijde is de “Schuine zijde”, of nog mooier in wiskunde jargon de Hypotenusa. (§Vk) d) In alleen een rechthoekige driehoek is de Stelling van Pythagoras toepasbaar. (§1)e) De korte en snellere versie van de Stelling van Pythagoras (§1): $\sqrt{kz^2+kz^2}$ voor de langste zijde$\sqrt{lz^2-kz^2}$ voor de korte rechthoekszijdef) Bij het berekenen van hoeken rond je altijd af op hele graden. (§1) a) De langste zijde zit altijd tegenover de rechte hoek in de driehoek. (§Vk)
b) De benen van de rechte hoek in een rechthoekige driehoek noem je rechthoekszijde. (§Vk)
c) Andere naam voor de Langste zijde is de “Schuine zijde”, of nog mooier in wiskunde jargon de Hypotenusa. (§Vk)
d) In alleen een rechthoekige driehoek is de Stelling van Pythagoras toepasbaar. (§1)
e) De korte en snellere versie van de Stelling van Pythagoras (§1):
$\sqrt{kz^2+kz^2}$ voor de langste zijde
$\sqrt{lz^2-kz^2}$ voor de korte rechthoekszijde
f) Bij het berekenen van hoeken rond je altijd af op hele graden. (§1)
a) BC is de overstaande rechthoekszijde van $\angle{A}$ (§Vk)
b) AC is de langste zijde van $\angle{C}$, ook wel de schuine zijde genoemd, maar is ook eigenlijk de langste zijde van $\angle{A}$! (§Vk)
c) De berekening $\sqrt{lz^2-kz^2}$ voor de korte rechthoekszijde (§1)
d) De tangens van $\angle{A}$ is de verhouding tussen de overstaande rechthoekszijde en aanliggende rechthoekszijde, dus heet dit afgekort de TOA (§2)
e) De som van de drie hoeken in een driehoek is 180 ° (§3)
a) Driehoek ACD is ook een rechthoekige driehoek. (§1)
b) BD is een onderdeel van BC.
BD = BC - CD =
8,5 - 5 =
3,5 cm
c) Als je hoeken moet gaan berekenen met goniometrische verhoudingen dan is dat het enige moment dat je SIN, COS of TAN gebruikt in combinatie met de SHIFT of 2ND toets, ofwel $SIN^{-1}$ , $COS^{-1}$ , $TAN^{-1}$ .
Voor het berekenen van hoek B zoek je twee bekende zijdes, te weten AD (= Overstaand) en BD (= Aanliggend). Deze combinatie hoort bij het ezelsbruggetje TOA, ofwel je gaat de tangens gebruiken.
stap 1, schrijf dit op als berekening en reken uit met rekenmachine:
tangens $\angle{B}$ =
$\frac{AD}{BD}$ =
$\frac{4,2}{3,5}$ =
1,2
stap 2, tik in je rekenmachine en dit hoef je NIET op te schrijven:
$tan^{-1}$(1,2) via de knoppen 2ND tan 1.2 ) enter
stap 3, schrijf de uitkomst van je display op en rond af op hele graden:
$\angle{B}$ = 50,194… ≈ 50 °
d) Zowel AB als AC bepaal je middels de verkorte Stelling van Pythagoras:
AB =
$\sqrt{4,2^2+3,5^2}$ =
$\sqrt{29,89}$ =
5,467…
AC =
$\sqrt{4,2^2+5^2}$ =
$\sqrt{42,64}$ =
6,529…
Totale lengte AB en AC samen =
AB + AC =
5,467… + 6,529 =
11,997… ≈ 12 cm
e) Om $\angle{BAC}$ te kunnen berekenen heb je nog wat voorbereiding nodig, namelijk $\angle{BAD}$ en $\angle{CAD}$
$\angle{BAD}$ = 180 - 50 - 90 = 40 ° (want is de som van drie hoeken in driehoek!)
$\angle{CAD}$= ? met hulp van rechthoekszijde CD (O) en AD (A)
stap 1, schrijf dit op als berekening en bereken met je rekenmachine de deling $\frac{5}{4,2}$:
tan $\angle{CAD}$=
$\frac{CD}{AD}$ =
$\frac{5}{4,2}$ =
1,190...
stap 2, tik in je rekenmachine en dit hoef je NIET op te schrijven:
$tan^{-1}$(1,190...) via de knoppen 2ND tan 2ND ans(-) enter
stap 3, schrijf de uitkomst van je display op en rond af op hele graden:
$\angle{CAD}$= 49,969… ≈ 50 °
$\angle{BAC} = \angle{BAD} + \angle{CAD}$ = 40 + 50 = 90 °
Nog een extra belangrijke opmerking bij dit antwoord:
als je in het figuur zelf kijkt is hoek BAC geen rechte hoek maar een stompe hoek. Toch is het antwoord juist berekend want de figuur is niet altijd op ware grootte en realiteit getekend. Zo zie je maar dat het opmeten van de hoeken geen zin heeft omdat je het antwoord moet berekenen.
a) Figuur KLMN is een ruit.
b) De verhouding $\frac{KM}{MN}$ voor $\angle{KMN}$is Cosinus, want KM is de Aanliggende rechthoekszijde en MN de Schuine zijde (of Langste zijde). Zie ook het ezelsbruggetje van CAS
c) SOS staat voor Sinus = $\frac{Overstaande \, rechthoekzuide}{Schuine \, zijde}$
d) Voor $\angle{L}$ kan je elke goniometrische verhouding, Sinus Cosinus of Tangens gebruiken omdat alle lengtes van de zijden bekend zijn. Het maakt in deze situatie niets uit welke je neemt!
a) Vanuit hoek E is zijde EF (A) en DF (O) bekend, dus TOA
stap 1, schrijf dit op als berekening en bereken de verhouding met rekenmachine:
tan $\angle{E}$ = $\frac{DF}{EF}$ =
$\frac{4,5}{2,7}$ =
1,666…
stap 2, tik in je rekenmachine en dit hoef je NIET op te schrijven:
$tan^{-1}$(1,666...) via de knoppen 2ND tan 2ND ans(-) enter
stap 3, schrijf de uitkomst van je display op en rond af op hele graden:
$\angle{E}$= 59,036… ≈ 59 °
b) Vanuit hoek B is zijde AB (A) en BC (S) bekend, dus CAS
stap 1, schrijf dit op als berekening en bereken de verhouding met rekenmachine:
cos $\angle{B}$= $\frac{AB}{BC}$ =
$\frac{2,9}{7,8}$ =
0,371…
stap 2, tik in je rekenmachine en dit hoef je NIET op te schrijven:
$cos^{-1}$(0,371...) via de knoppen 2ND cos 2ND ans(-) enter
stap 3, schrijf de uitkomst van je display op en rond af op hele graden:
$\angle{B}$ = 68,173… ≈ 68 °
c) Vanuit hoek R is zijde PQ (O) en QR (S) bekend, dus SOS
stap 1, schrijf dit op als berekening en bereken de verhouding met rekenmachine:
sin $\angle{R}$= $\frac{PQ}{QR}$ =
$\frac{14,5}{18,1}$ =
0,801…
stap 2, tik in je rekenmachine en dit hoef je NIET op te schrijven:
$sin^{-1}$(0,801...) via de knoppen 2ND sin 2ND ans(-) enter
stap 3, schrijf de uitkomst van je display op en rond af op hele graden:
$\angle{R}$ = 53,235… ≈ 53 °
Voor CD (O), gezien vanuit hoek B is, neem je de situatie in driehoek BCD.
Hoek B weet je en ook BD (A), dus TOA.
stap 1, schrijf dit op als berekening:
tan $\angle{B}$ = $\frac{CD}{BD}$
tan 40 °= $\frac{CD}{38}$
CD = 38 · tan 40 °
stap 2, tik in je rekenmachine:
38 x tan 40 ) enter
stap 3, schrijf de uitkomst van je display op en rond af op 1 decimaal:
CD = 31,885… ≈ 31,9 cm
Zie dat beide methoden de uitkomsten van CD net even anders uitkomen maar afgerond komen de beide methoden op dezelfde afmeting voor CD = 31,9 cm!
a) Totale hoogte van de boom = 1,85 + 11,19 = 13,04 meter.
b) Afstand vanaf de ogen van Jason tot de top van de boom bereken je met de korte Stelling van Pythagoras.
afstand = $\sqrt{12^2+11,19^2}$ =
$\sqrt{269,2161}$ =
16,407… ≈
16,41 meter
c) Het is bij deze vraag mogelijk om op meerdere manieren de goniometrische verhoudingen te gebruiken, dus zowel Sin, Cos en Tan omdat je de schuine zijde bij vraag 8b) hebt beantwoord. Zeker is het antwoord bij 8b) niet maar die van de Aanliggende rechthoekszijde 12 meter en de Overstaande rechthoekszijde 11,19 meter destemeer wel. Dus advies is “ga voor zeker, en neem de vooraf bekende zijden” als uitgangspunt!
Vanuit de kijkhoek van Jonas is Overstaande rechthoekszijde en Aanliggende rechthoekszijde bekend, dus TOA.
Hoek berekenen doen we met de knop 2ND (TI-30XB) of de knop SHIFT (Casio fx-82MS) in combinatie met de juiste goniometrische verhouding.
stap 1, schrijf dit op als berekening en bereken met de rekenmachine:
tan kijkhoek = $\frac{O}{A}$ =
$\frac{11.19}{12}$ =
0,9325
stap 2, tik in je rekenmachine en dit hoef je NIET op te schrijven:
$tan^{-1}$(0,9325...) via de knoppen 2ND tan 2ND ans(-) enter
stap 3, schrijf de uitkomst van je display op en rond af op hele graden:
kijkhoek van Jonas = 42,999… ≈ 43 °
a) zie nog even het plaatje hieronder met driehoek ABC. Hoek A is bekend en ook BC (O). Zijde AB (S) moet juist berekend worden, dus SOS.
stap 1, schrijf dit op als berekening en bereken de verhouding met rekenmachine:
sin $\angle{A}$= $\frac{BC}{AB}$
sin 61,5 °= $\frac{10}{AB}$
AB = $\frac{10}{sin61,5\degree}$
stap 2, tik in je rekenmachine:
10 : sin 61,5 ) enter
stap 3, schrijf de uitkomst van je display op en rond af op hele centimeters:
AB = 11,378… ≈ 11 cm
(Conclusie: AB = 11 cm!)
Deze conclusie staat tussen haakjes omdat het niet verplicht is deze conclusie op te schrijven, het mag dus wel!
b) zie nog even het plaatje hieronder met een nieuwe driehoek ABC. Zijde AB (S) is bekend en ook BC (O). Hoek A moet juist berekend worden, dus SOS met $sin^-1$ via de 2ND knop of de SHIFT knop.
stap 1, schrijf dit op als berekening en bereken de verhouding met rekenmachine:
sin $\angle{A}$ = $\frac{BC}{AB}$ =
$\frac{10}{23}$ =
0,434…
stap 2, tik in je rekenmachine en dit hoef je NIET op te schrijven:
$sin^{-1}$(0,434...) via de knoppen 2ND sin 2ND ans(-) enter
stap 3, schrijf de uitkomst van je display op en rond af op hele graden:
$\angle{A}$ = 25,771… ≈ 26 °
a) De helling is, zoals in de tekst al is aangegeven, de verhouding:
$\frac{BC}{AB}$ =
$\frac{0,6}{15}$ =
0,04
b) Hellingspercentage bereken je met de formule helling x 100
hellings % = 0,04 x 100 = 4%
c) Vanuit hoek A is de helling gelijk aan de goniometrische verhouding van de tangens. Dus BC is de O en AB is de A , dus TOA gaat er gebruikt worden.
stap 1, schrijf dit op als berekening en bereken met de rekenmachine:
tan $\angle{A}$ = $\frac{BC}{AB}$ =
$\frac{0,6}{15}$ =
0,04
stap 2, tik in je rekenmachine en dit hoef je NIET op te schrijven:
$tan^{-1}$(0,04) via de knoppen 2ND tan 2ND ans(-) enter
stap 3, schrijf de uitkomst van je display op en rond af op twee decimalen dit keer:
$\angle{A}$ = 2,290… ≈ 2,29 °
d) Een schets maken van de situatie mag gewoon uit de losse hand getekend worden. Dus zelfs niet verplicht met potlood!
Zie het plaatje hieronder:
e) De hoogte AB van het huis bereken je met de Stelling van Pythagoras. Ook hier weer de korte vorm.
AB = $\sqrt{AC^2-BC^2}$ =
$\sqrt{16^2-0,7^2}$ =
$\sqrt{255,51}$ =
15,984… ≈
15,98
Hoogte van het huis is 15,98 meter
f) Om te weten of dit huis schever staat dan het andere moet je hier eveneens de hellingshoek bepalen, wat weer met elke goniometrische verhouding kan worden uitgewerkt. Voor nu wordt volstaan met de Sinus omdat je van vooraf zekere waarden AC (S) en BC (O) kan uitgaan, dus SOS.
stap 1, schrijf dit op als berekening:
sin $\angle{A}$ = $\frac{BC}{AC}$ =
$\frac{0,7}{16}$ =
0,04375
stap 2, tik in je rekenmachine en dit hoef je NIET op te schrijven:
$sin^{-1}$(0,04375) via de knoppen 2ND sin 2ND ans(-) enter
stap 3, schrijf de uitkomst van je display op en rond af op hele graden:
$\angle{A}$ = 2,507… ≈ 2,51 °
stap 4, Conclusie:
Dit huis staat schever dan het eerste huis met 2,29°
Deze toets bestellen?
Voordeligst
Lidmaatschap ToetsMij
€ 12,99/mnd
Snel nog even wat toetsen oefenen? Kies dan onze meest flexibele optie.