Moderne Wiskunde 12e ed deel A - Hoofdstuk 6 - Goniometrie oefentoetsen & antwoorden

a) De tangens geeft de verhouding tussen de overstaande rechthoekszijde (de “hoogte” van de driehoek) en de aanliggende rechthoekszijde (de horizontale “afstand”), dus: $\tan \angle B = \frac{AC}{AB}$. b) De langste zijde zit altijd tegenover de rechte hoek in de driehoek. c) Dit is een ezelsbruggetje om te onthouden hoe je de sinus, cosinus en tangens kunt gebruiken. Dat mag alleen in een rechthoekige driehoek.  De afkortingen staan voor: SOL betekent Sinus = $\frac{overstaande\\\ rechthoekzijde}{langste\ zijde}$. CAL betekent Cosinus = $\frac{aanliggende\\\ rechthoekzijde}{langste\ zijde}$. TAN betekent Tangens = $\frac{overstaande \\\ rechthoekzijde}{ aanliggende\\\ rechthoekzijde }$. d)  1. Zoek een hulpvlak waar de hoek in ligt (en de lijnstukken die deze hoek maken). 2. Schets dit vlak (met een rechthoekige driehoek erin, zodat je een berekening kunt maken!). Zet de gegevens erin. 3. Als er lengtes van lijnstukken ontbreken: bereken deze. Rond niet tussendoor af. 4. Bereken de gevraagde hoek.  a) $\angle Q = \angle PQR$, met Q in het midden. (Dus niet in een andere volgorde plaatsen want wordt daarmee direct een andere hoek bedoeld!) b) $\angle R_2 = \angle PRQ$, of ook wel: $\angle QRP$.  c) Daarmee bedoelen we $\angle P_1$. Die kun je ook schrijven als: $\angle SPR$.       De hellingshoek is hier $\angle A$.  We hebben de overstaande en aanliggende zijde, dus gebruik de tangens (TOA). $\tan \angle R = \frac{BC}{AB} = \frac{2}{6}$. Dat geeft: $\angle A = \tan^{-1}( \frac{2}{6}) \approx 18 \degree$. (Rond altijd af op hele graden). a)  We hebben de overstaande zijde (DF) en de aanliggende zijde (EF), dus gebruik de tangens.  $\tan \angle E = \frac{DF}{EF} = \frac{4.5}{2.7}$ Dus $\angle E = 59 \degree$ (gebruik de knop $\tan^{-1}$ op je rekenmachine). b)  We hebben de aanliggende zijde (AB) en de langste zijde (BC), dus gebruik cosinus. $\cos \angle B =  \frac{AB}{BC} = \frac{2.9}{7.8}$. Dus $\angle B = 68 \degree$. c)  We hebben de langste zijde (QR) en de overstaande zijde (PQ), dus hier hebben we de sinus nodig. $\sin \angle R =  \frac{PQ}{QR} = \frac{14.5}{18.1}$ Dus $\angle R = 53 \degree$.   In $\triangle ABC$:  De aanliggende rechthoekzijde is gegeven, de langste zijde is gevraagd. Gebruik dus de cosinus (CAL). $\cos 34 \degree = \frac{6}{AC}$. Dus $AC = \frac{6}{\cos 34 \degree}$. Dat geeft: $AC \approx 7.24$. In $\triangle DEF$: De langste zijde is gegeven. De aanliggende rechthoekszijde is gevraagd. Gebruik de cosinus (CAL). $\cos 41 \degree = \frac{DE}{7}$. Dus $DE = 7 \times \cos 41 \degree$. Dat geeft: $DE \approx 5.28$. Maak eerst een schets. Let op: de driehoek waarin de kijkhoek zit, heeft als hoogte: de hoogte van de boom - de hoogte van Jason, dus 11,19 - 1,85 = 9,34 m. We noemen de top van de boom T en het punt waar Jason zich bevindt J. We hebben de overstaande en aanliggende zijde, dus gebruik tangens. $\tan \angle J = \frac{BT}{JB} = \frac{9.34}{12}$. Dat geeft: $\angle J = \tan^{-1}( \frac{9.34}{12}) \approx 38 \degree$. Dus de kijkhoek is ongeveer 38 graden. a) $\triangle PQR$ is een gelijkbenige driehoek, want twee zijdes zijn gelijk. Schets: b) We hebben een rechte hoek nodig om te kunnen rekenen. Teken daartoe hulplijn RS, loodrecht op PQ. S is het midden van PQ (en dus is PS = 2,5). Zie schets hieronder. Nu is $\triangle PSR$ een rechthoekige driehoek. Om $\angle P$ te berekenen hebben we de langste zijde en de aanliggende rechthoekszijde, dus gebruiken we de cosinus (CAL).  $\cos \angle P = \frac{PS}{PR} = \frac{2.5}{6}$. Dat geeft: $\angle P = \cos^{-1}( \frac{2.5}{6}) \approx 65 \degree$. $\angle P = \angle Q \approx 65 \degree$ (gelijkbenige driehoek). De drie hoeken in een driehoek zijn samen $180 \degree$, dus $\angle R = 180 \degree - \angle P - \angle Q \approx 50 \degree$. (of $49 \degree$ als je tussendoor niet had afgerond).   a) We moeten dus hoek S berekenen. Als je een hulplijn tekent van S recht naar beneden, ontstaat een rechthoekige driehoek en kunnen we SOL CAL TOA gebruiken.  Schets: We hebben in $\triangle ADS$ de overstaande zijde (kijk vanuit hoek S: dan is overstaande zijde AD de helft van AB) en de langste zijde AS. Dus $\sin \angle DSA = \frac{0.885}{2.93}$. Dat geeft: $\angle DSA = 17.58 … \degree$ $\angle DSA$ is de helft van hoek S, dus heel hoek S is gelijk aan: $2 \times 17.58… = 35 \degree$. b)  Eerst een schets. F ligt halverwege zijde AS, dus lengte FS = 0.5 x 2.95  =1.465 m. We hebben de aanliggende zijde en willen de overstaande, dus gebruik tangens: $\tan 35 \degree = \frac{FG}{1.465}$ Dus $FG = 1.465 \cdot \tan 35 = 1.025…$ Dus FG is 103 cm lang. c)  Maak een schets met de gegevens erin: Gevraagd is de aanliggende zijde en we hebben de overstaande, dus gebruik de tangens: $\tan 18 \degree = \frac{1.18}{CD}$. Dus $CD = \frac{1.18}{\tan 18 \degree} = 3.63$ m, oftewel 363 cm.   a) Zie figuur hieronder: we berekenen eerst AC en daarmee hoogte ST. Teken hulplijn AC en BD. Noem het snijpunt S. AS is de helft van AC. Bereken AC in $\triangle ABC$ met Pythagoras: zijde kwadraat AB = 5 25 BC = 5 25 + AC = ... Dus $AC^2 = 50$ en dat geeft $AC = \sqrt{50} = 7.07….$ $AS = AC : 2 = 3.5355………$ (niet tussendoor afronden) Nu kunnen we ST ook met Pythagoras berekenen in $\triangle AST$: zijde kwadraat AS = 3,53…. 12,5 ST = ... ... + AT = 6 36 Dus $ST= \sqrt{23.5} = 4.847…$ Dus de hoogte is 4,85. Tip: Niet tussendoor afronden. Gebruik de knop ans op je rekenmachine. b) Gebruik dat $\angle CAT = \angle SAT$. $\angle S$ in driehoek $AST$ is een rechte hoek, en we kennen nu alle zijdes in die driehoek. Dus we kunnen op meerdere manieren de hoek uitrekenen. Manier 1: Gebruik de sinus met langste zijde $AT = 6$ en overstaande rechthoekszijde $ST \approx 4.847$: $\sin \angle SAT = \frac{4.847}{6}$ Dus $\angle SAT = \sin^{-1} \left( \frac{4.847}{6} \right) = 53.9.. \degree$ Dat geeft: $\angle CAT = 54 \degree$. Manier 2: Gebruik de cosinus met langste zijde $AT = 6$ en aanliggende rechthoekszijde $AS \approx 3.5355$: $\cos \angle SAT = \frac{3.5355}{6}$ Dus $\angle CAT = \cos^{-1} \left( \frac{3.5355….}{6} \right) =53.9… \degree$. Dat geeft: $\angle CAT = 54 \degree$.   a) Gebruik het werkschema uit opgave 1d: 1. $\angle CAG$ ligt in hulpvlak $ACGE$. 2. We weten dat $CG = 20$. Schets: 3. We hebben nog een extra lengte nodig om de hoek te kunnen berekenen. Met Pythagoras kunnen we in $\triangle ABC$ zijde $AC$ berekenen:   zijde kwadraat AB = 8 64 BC = 14 196 + AC = ... 260 Dus $AC = \sqrt{260}$. 4. Bereken de hoek: In $\triangle ACG$ hebben we nu aanliggende en overstaande rechthoekszijde, dus met de tangens: $\tan \angle CAG = \frac{20}{\sqrt{260}}$ Dus $\angle CAG = 51 \degree$.  b) De figuur wordt in tweeën gedeeld: Met opnieuw het werkschema van opgave 1d): 1. Gebruik hulpvlak $AIQE$. 2. Schets: 3. We hebben nog een extra lengte nodig om de hoek te kunnen berekenen. Met Pythagoras kunnen we in $\triangle ABI$ zijde $AI$ berekenen:   zijde kwadraat AB = 8 64 BI = 7 49 + AI = ... ... Dus $AI = \sqrt{113}$. 4. Bereken de hoek: In $\triangle AIE$ hebben we nu aanliggende en overstaande rechthoekszijde, dus met de tangens: $\tan \angle AIE = \frac{20}{\sqrt{113}}$ Dus $\angle AIE = 62 \degree$.