Getal en Ruimte 10e ed deel 1 - Hoofdstuk 3 - Kwadratische problemen oefentoetsen & antwoorden

a) Dan is $a > 0$. b) Ze geven de snijpunten met de x-as: $(d, 0)$ en $(e, 0)$. c) Je moet weten of het een dal- of bergparabool is, en weten waar de top ligt. Dat is voor een schets voldoende. (Als je de grafiek echt moet tekenen heb je de coördinaten van 7 punten nodig).  d) $x_{top} = \frac{-b}{2a}$. a)    x -3 -2 -1 01 2 3 y 36 16 4 04 16 36   b)  Yrsa heeft de -1 niet tussen haakjes gezet. Daardoor wordt het kwadraat van -1, -1 -1 vermenigvuldigd met 4 wordt -4. (In plaats daarvan had ze dus moeten doen: $4 \times (-1)^2 = 4 \times 1 = 4$. c) Let op dat je assen voldoende ruim zijn om alle punten te bevatten. Je parabool moet een vloeiende lijn zijn. d) De top ligt op de symmetrieas op het punt (0,0). a) De punten A en B zijn de snijpunten op de $x$-as. Daar geldt $y$=0, dus los de vergelijking $f(x)=x^2-3x-18=0$ op. $(x+3)(x-6)=0$ $x+3=0$ $\vee$ $x-6=0$ $x=-3$ $\vee$ $x=6$ De coördinaten zijn $A(-3,0)$ en $B(6,0)$. b) Het punt C is het snijpunt met de $y$-as. Daar geldt dat $x=0$, dus dat kunnen we invullen: $f(0)= -18$ Dus $C(0, -18)$. Gebruik wat je weet over de functie $y=a(x-p)^2+q$: $a<0$ is een bergparabool en $a>0$ een dalparabool, en de top ligt op $(p,q)$. Voor $f$: lees uit de formule af: Dalparabool, want $a$ is 2. Top ligt op $(-4, -5)$. Voor $g$: Dalparabool, want $a$ is 1. Top ligt op $(0, 2)$. Schets: ($g$ is een iets bredere grafiek, maar dat hoeft niet in je schets zichtbaar te zijn): a) Vul de verschuivingen in bij de formule van $g$:  3 omhoog, dus $y=5(x-2)^2+7-3$ 4 naar links, dus $y=5(x)=5(x-2-4)^2+4$ Dus $f(x)=5(x-6)^2+4$. Tip: Je kunt je antwoord controleren. $f(x)=5(x-6)^2+4$ verschuiven. 3 omhoog geeft $g(x)=5(x-6)^2+4+3$ en 4 naar links geeft $g(x)=5(x-6+4)^2+4+3=5(x-2)^2+7$. b) Werk de haakjes uit: $f(x)=5(x^2-12x+36)+4$ $f(x)=5x^2-60x+180+4$ $f(x)=5x^2-60x+184$.   a)  Het is een bergparabool omdat $a = -2 <0$. Controleer dat deze door (0,0) gaat: Vul in de formule in $x=0$. Dat geeft $y= 16 \cdot 0 - 2 \cdot (0)^2= 0$. Dus hij begint inderdaad in (0,0). b)  Vul $5$ in de formule in: $y=16 \cdot 5-2 \cdot (5)^2=30$. Dus 30 meter. c)  Als de bal 8 meter ver komt, moet hij dus na 8 meter op de grond landen. Dan is de grafiek dus op de x-as en daarbij hoort $y=0$.  We gaan dus $8$ invullen in de formule en laten zien dat er inderdaad $y=0$ uitkomt: $y=16 \cdot 8 - 2 \cdot 8^2 = 128 - 128 = 0 $. Het klopt dus. Tip: vind je dit lastig? Kijk dan naar onderstaande schets van de grafiek om te zien wat er gebeurt. De bal begint op x=0 met hoogte y=0, komt in het midden inderdaad maximaal 32 meter hoog en is na 8 meter weer terug op hoogte 0.    a)  Ontbind eerst in factoren: $(x+3)(x+2) = 0$ $A \dot B = 0$ geeft $A=0 \vee B=0$, dus: $x = -3 \vee x= -2$ b) Ontbind in factoren (met enkele haakjes): $2x(x+4) = 0$ $A \dot B = 0$ geeft $A=0 \vee B=0$:  $x = 0 \vee x= -4$ c) Ontbind in factoren: $(x-3)(x+2) = 0$ $x = 3 \vee x= -2$ d) $- 3x^2 + 6x = 0$  Ontbind in factoren (enkele haakjes zijn voldoende): $-3x(x - 2) = 0$ $A \dot B = 0$ geeft $A=0 \vee B=0$: $-3x = 0 \vee x= 2$ $x = 0 \vee x = 2$ e) $x^2 + x + 1 - 1 + x = 0$ $x^2 + 2x = 0$ $x(x+2) = 0$ $x = 0 v x = -2$ f) $x^2 - 4x + 6 - 38 = 0$ $x^2 - 4x - 32 = 0$ Ontbind in factoren: $(x-8)(x+4) = 0$ $x = 8 \vee x = -4$ g) Zorg eerst voor … = 0: $x^2-12x+35=0$ Oplossen met ontbinden in factoren (de product-som methode) geeft: $(x-7)(x-5)=0$ $x-7=0$ $\vee$ $x-5=0$ $x=7$ $\vee$ $x=5$ h) $(x+3)(x+5)=3$ Werk eerst de haakjes uit: want je kunt deze niet direct oplossen, omdat er nog niet … = 0 staat. $x^2+3x+5x+15=3$ $x^2+8x+15=3$ $x^2+8x+12=0$ Oplossen met ontbinden geeft: $(x+6)(x+2)=0$ $x=-6$ $\vee$ $x=-2$ i) Eerst herleiden tot … =0: $p(p+3)-10p=18$ $p^2+3p-10p=18$ $p^2-7p-18=0$ Oplossen met ontbinden geeft: $(p+2)(p-9)=0$ $p=-2$ $\vee$ $p=9$ j) $\frac{1}{3}x^2+1\frac{1}{3}x-4=0$ Vermenigvuldig alle termen met 3 om de breuken weg te halen: $x^2+4x-12=0$ Oplossen met ontbinden in factoren geeft: $(x+6)(x-2)=0$ $x+6=0$ $\vee$ $x-2=0$ $x=-6 \vee x=2$   a)  De totale lengte van het hek is 60 meter. Beide zijkanten zijn x meter. Dus de lengte van het hek is $60 - 2 \times x$ De oppervlakte = lengte x breedte = $x (60 - 2x) = 60x - 2x^2 = -2x^2 + 60 x$ Dus $O(x) =  -2x^2 + 60x$ b) De functie voor de oppervlakte is een parabolische functie. Het maximum van de functie is de top. Gebruik de formule $x_{top} = - \frac{b}{2a}$. Dat geeft $x_{top} = - \frac{60}{2 \times -2} = 15$. Dus de maximale oppervlakte is als $x=15$. De breedte van het land is dan 15 meter en de lengte is $60 - 2x = 60 - 2 \times 15 = 30$ meter. De oppervlakte is dan: Oppervlakte = lengte x breedte = $\rm 30 \times 15 = 450 \, m^2$. c)  De functie voor de oppervlakte is gegeven door: $O(x) =  -2x^2 + 60x$. Van de gemeente Gouda mag de oppervlakte $\rm 112 \, m^2$ zijn. Hiervoor moeten we de volgende vergelijking oplossen: $ -2x^2 + 60x = 112$. Dat geeft: $-2x^{2} + 60x - 112 = 0$ $x^{2} - 30x - 56 = 0$ (alle termen delen door -2) $(x - 28)(x - 2) = 0$ $x = 28 \vee x = 2$ De mogelijke afmetingen zijn dus: Bij $x=2$: 2 meter breed en $60 - 2x = 60 - 2 \times 2 = 56$ meter lang. Bij $x=28$: 28 meter breed en $60 - 2x = 60 - 2 \times 28 = 4$ meter lang.   a) a = 0 invullen in de formule. $h=0,25\cdot(0-2,4)^2 +0,5=1,94$ De hangmat is op 1,94 m aan de bomen vastgeknoopt. Tip: De hoogte van is bij de linker boom hetzelfde als bij de rechter boom. Voor de linker boom geldt a = 0. b) De top van de parabool $a(x-p)^2+q$ ligt op het punt $(p,q)$. Hier is $p=2,4$ en $q=0,5$. Dus de top ligt op $(2,4; 0,5)$. Het laagste punt van de hangmat is dus op een hoogte van 50 centimeter boven de grond.     Dit kan op 2 manieren. Manier 1 met de formule voor de  $x_top$:  $x_{top}=4$ (want daar ligt de symmetrieas) $x_{top}=\frac{--p}{2\cdot 1}=4$ $x_{top}=\frac{p}{2}=4$ Dus $p=8$. Manier 2 met behulp van de snijpunten met de x-as, want de top van de grafiek ligt tussen de coördinaten van de snijpunten met de x-as.: Los op: $x^2-px=0$ $x(x-p)=0$ $x=0$ $\vee$ $x=p$ Coördinaten van de snijpunten met de x-as zijn: $(0,0) \vee (p,0)$. De top ligt hier midden tussenin, dus los op: $\frac{0+p}{2}=4$ Dus $p=8$.   a)  Formule 1:  Deze formule heeft de vorm $y=a(x-p)^2+q$.  In deze vorm zijn de coördinaten van de top $(p, q)$. Hier zijn $a=3, p=-2$ (let op de min!) en $q=10$. Dus coördinaten: $(-2, 10)$. Formule 2: Deze formule heeft de vorm $y=a(x-d)(x-e)$.  Hier zijn $a\frac{1}{4}, d= 1, e=-5$ (let opnieuw op het min-teken!). We kunnen uit deze vorm de snijpunten met de x-as aflezen: dat zijn $(d, 0)$ en $(e, 0)$, dus in dit geval: $(1, 0)$ en $(-5, 0)$. De top ligt op de symmetrie-as, en die ligt midden tussen de snijpunten met de x-as, dus op $x=\frac{1 +-5}{2}=-2$. $y_{top}$ vinden we door $x_{top}$ in de formule in te vullen: $y_{top} = \frac{1}{4}{-2-1}{-2+5}=\frac{1}{4}\cdot -3 \cdot 3 = -2 \frac{1}{4}$. Coördinaten zijn dus: $(-2, -2\frac{1}{4}$. Formule 3: Deze formule heeft de vorm $y=a(x-p)^2+q$. (Want $(2-x)^2 = (x-2)^2$. Dat komt doordat het kwadraat van een negatief getal hetzelfde is als het kwadraat van hetzelfde positieve getal, zoals $(-2)^2 = 2^2 = 4$. We kunnen deze formule dus ook schrijven als: $y=-(x-2)^2$. Werk vooral de haakjes uit om te zien dat je hetzelfde krijgt!) In deze vorm zijn de coördinaten van de top $(p, q)$. Hier zijn $a=-1, p=-2, q=0$. Dus coördinaten: $(-2, 0)$. Formule 4:  Bij de vorm $y=ax^2+bx+c$ ligt de top op $x_{top}=-\frac{b}{2a}$, dus: $x_{top} = -\frac{2}{2\cdot -2}=-\frac{2}{-4}=\frac{1}{2}$ $x_{top}=\frac{1}{2}$ invullen geeft $y_{top}=0$. Dus coördinaten $(\frac{1}{2}, 0)$. Formule 5: Deze formule heeft de vorm $y=a(x-d)(x-e)$.  Hier zijn $a=1, d= 0, e=4$. De top ligt dus op $x=2$. Dat geeft $y=-4$. Top is dus $(2,-4)$. b) We werken steeds de haakjes uit om toe te werken naar de algemene vorm $y=ax^2 + bx + c$: Formule 1: $y=3(x+2)^2+10$ $y=3(x+2)(x+2)+10$ (of sla deze stap over en gebruik meteen dat $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$) $y=3(x^2+4x+4)+10$ (let op: de haakjes moeten blijven staan!) $y=3x^2+12x+12+10$ $y=3x^2+12x+22$ Formule 2: $y=\frac{1}{4}(x-1)(x+5)$ $y=\frac{1}{4}(x^2-x+5x-5)$ (laat de haakjes nog staan, want alles moet nog keer $\frac{1}{4}$) $y=\frac{1}{4}(x^2+4x-5)$ $y=\frac{1}{4}x^2+x-1\frac{1}{4}$ Formule 3: $y=-(2-x)^2$ $y=-(2-x)(2-x)$ $y=-(4-4x+x^2)$ $y=-x^2+4x-4$ Formule 4: deze staat reeds in de goede vorm. Formule 5:  $y=x(x-4)$ $y=x^2-4x$.   a)  De coördinaten van het hoogste punt van de brug zijn te berekenen door de top van functie $h$ te berekenen. De top kan berekend worden met de formule: $x_{top} = -\frac{b}{2a}$ Dus $x_{top} = - \frac{1,7}{2 \cdot -0,85} = 1$ $y_{top} = -0,85 \cdot 1^2 + 1,7 \cdot 1 + 2,55 = 3,4$ Dus de coördinaten van het hoogste punt van de brug zijn: $(1;3,4)$ b) Bij deze vraag is het handig om eerst een schetsje te maken: De boot is 2,5 meter breed, dus als hij precies door het midden van de brug gaat zou hij er onder door moeten passen. De helft van de breedte van de boot is $2,5 : 2 = 1,25$ meter. Het midden van de brug zit op x=1 meter, want dat is de x-coördinaat van de top. Dat betekent dat de boot in de breedte komt tot aan x-coördinaat: 1 meter + 1,25 meter = 2,25 meter De hoogte van de boot is 2,25 meter, dus als de hoogte van de brug bij $x = 2,25$ groter of gelijk is aan 2,25 meter dan past de boot onder de brug door. De hoogte voor $x = 2,25$ berekenen we door $x= 2,25$ in te vullen in de formule van de hoogte: $h = -0,85 \times (2,25)^2 + 1,7 \times 2,25 + 2,55 \approx 2,07$ $2,07 < 2,25$ dus de partyboot past niet onder de brug door.