Moderne Wiskunde 12e ed deel A - Hoofdstuk 7 - Kwadratische functies oefentoetsen & antwoorden

Dan is $a > 0$.Ze geven de snijpunten met de x-as: $(s, 0)$ en $(t, 0)$.De top van een parabool ligt op de symmetrieas, dus zoek de symmetrie-as: die ligt midden tussen de snijpunten met de x-as in. En die worden gegeven door $(s, 0)$ en $(t, 0)$.Het zijn de x- en de y-coördinaat van de top, dus de top ligt op $(p, q)$.Je moet weten of het een dal- of bergparabool is, en weten waar de top ligt. Ook kun je altijd in ieder geval het snijpunt met de y-as gebruiken. Dat is voor een schets voldoende. (Als je de grafiek echt moet tekenen heb je de coördinaten van 7 punten nodig).  Het snijpunt met de y-as is het punt $(0, c)$.Door de functie (met behulp van kwadraat afsplitsen) om te schrijven naar de vorm: $y=a(x-p)^2+q$. Dan zijn de coördinaten van de top het punt $(p, q)$. Je weet dus het snijpunt met de -yas en de coördinaten van twee andere punten. Het beste kun je de vorm $y=ax^2+bx+c$ gebruiken, want het snijpunt met de y-as geeft je dan de waarde van $c$.Je weet de coördinaten van de top. Die kun je gebruiken om de formule op te stellen met de vorm: $y=a(x-p)^2+q$ (met $(p, q)$ de coördinaten van de top). $s$ en $t$ geven aan waar de snijpunten met de x-as liggen.Dat is bij $x=-5$ en $x=1$, dus $s=-5$ en $t=1$.De symmetrie-as ligt midden tussen de snijpunten met de x-as, dus op $x=-2$. OF: De symmetrie-as ligt bij de top, dus op $x=-2$.Werkwijze: vul de coördinaten van een punt op de grafiek in om a te berekenen. Gebruik bijvoorbeeld punt $(0,10).Dat geeft: $10 = a(0– -5)(0-1)$\$10 = a(5)(-1)$$10 = a \times -5$$a = -2$Dus formule: $y=-2(x+5)(x-1)$. Vul $5$ in de formule in: $y=-2 (5-4)^2+32 = -2 \cdot 1 +32=30$.Het hoogste punt is de top. Bij de vorm $y=a(x-p)^2+q$ is dat het punt $(p,q)$.Hier is $p=4$ en $q=32$, dus top $(4,32)$.De bal komt dus maximaal 32 meter hoog.Als de bal 8 meter ver komt, moet hij dus na 8 meter op de grond landen. Dan is de grafiek dus op de x-as en daarbij hoort $y=0$. We gaan dus $8$ invullen in de formule en laten zien dat er inderdaad $y=0$ uitkomt: $y=-2(8-4)^2+32 = -2 \cdot 16 +32 = 0 $.Het klopt dus.Tip: vind je dit lastig? Kijk dan naar onderstaande schets van de grafiek om te zien wat er gebeurt. De bal begint op x=0 met hoogte y=0, komt in het midden inderdaad maximaal 32 meter hoog en is na 8 meter weer terug op hoogte 0.  Merk op dat in alle vormen de $a$ hetzelfde is, en in dit geval gelijk aan $1$. We moeten nu ontbinden in factoren. Voor het product geldt $-2 \cdot -4 = 8$, en voor de som is $-2 -4 = -8$, dus de $s, t$ zijn $-2$ en $-4$:$y=(x-2)(x-4)$.Voor deze vorm moeten we zorgen dat uit het kwadraat $(x-p)^2$ de juiste termen met $x^2$ en $x$ komen. Via de waarde van het getal $q$ kunnen we het losse getal daarna juist zetten. $p=-3$ zorgt daarvoor, want $(x-3)^2 = x^2-6x+9$.Het losse getal klopt nog niet. We moeten uitkomen op $+8$, dus er moet $1$ af: $y=(x-3)^2-1$. Werkwijze: We moeten de top van deze parabool vinden, en dan kunnen we gebruiken dat $x_{top}=4$ om de waarde van n te berekenen.Manier 1: Om de top te vinden schrijven we de functie om naar de vorm $y=a(x-p)^2+q$.$a=1$, want die is in elk vorm hetzelfde.Kwadraat afsplitsen geeft: $y=(x-\frac{1}{2}n)^2–\frac{1}{4}n^2$Bij deze vorm ligt de top op $(p,q)$, en $x_{top}=4$, dus dat betekent: $4=\frac{1}{2}n$$n=8$Dus $n = 8$.Manier 2: De top ligt op de symmetrieas, en die kun je vinden door om te schrijven naar de vorm $y=a(x-s)(x-t)$.Dat geeft: $y=x(x-n)$, dus $s=0$ en $t=n$.De symmetrie-as ligt daar tussenin, dus op $\frac{0+n}{2}$. $x_{top}=4$ geeft: $4=\frac{0+n}{2}$$n=8$Dus $n=8$. Formule 1: Deze formule heeft de vorm $y=a(x-p)^2+q$. In deze vorm zijn de coördinaten van de top $(p, q)$.Hier zijn $a=3, p=-2$ (let op de min!) en $q=10$.Dus coördinaten: $(-2, 10)$.Formule 2:Deze formule heeft de vorm $y=a(x-s)(x-t)$. Hier zijn $a\frac{1}{4}, s= 1, t=-5$ (let opnieuw op het min-teken!).We kunnen uit deze vorm de snijpunten met de x-as aflezen: dat zijn $(s, 0)$ en $(t, 0)$, dus in dit geval: $(1, 0)$ en $(-5, 0)$.De top ligt op de symmetrie-as, en die ligt midden tussen de snijpunten met de x-as, dus op $x=\frac{1 +-5}{2}=-2$.$y_{top}$ vinden we door $x_{top}$ in de formule in te vullen: $y_{top} = \frac{1}{4}{-2-1}{-2+5}=\frac{1}{4}\cdot -3 \cdot 3 = -2 \frac{1}{4}$.Coördinaten zijn dus: $(-2, -2\frac{1}{4}$.Formule 3:Deze formule heeft de vorm $y=a(x-p)^2+q$. (Want $(2-x)^2 = (x-2)^2$. Dat komt doordat het kwadraat van een negatief getal hetzelfde is als het kwadraat van hetzelfde positieve getal, zoals $(-2)^2 = 2^2 = 4$. We kunnen deze formule dus ook schrijven als: $y=-(x-2)^2$. Werk vooral de haakjes uit om te zien dat je hetzelfde krijgt!)In deze vorm zijn de coördinaten van de top $(p, q)$.Hier zijn $a=-1, p=-2, q=0$.Dus coördinaten: $(-2, 0)$.Formule 4: Bij de vorm $y=ax^2+bx+c$ moet je eerst met kwadraatafsplitsen omschrijven naar de vorm: $y=a(x-p)^2+q$.Dat geeft: $y=x^2+2x-4 = (x+1)^2-1-4=(x+1)^2-5$Dus de top ligt op $(-1,-5)$.Formule 5:Deze formule heeft de vorm $y=a(x-s)(x-t)$. Hier zijn $a = 1, s= 0, t=0$We kunnen uit deze vorm de snijpunten met de x-as aflezen: dat zijn $(s, 0)$ en $(t, 0)$, dus in dit geval: $(0, 0)$ en $(2, 0)$.De top ligt daar midden tussen, dus op $x=1$. Dat geeft $y=-2$.Top is dus $(1,-2)$.b. Zie schetsen hieronder in één figuur. Toelichting (zorg dat je al deze kenmerken benoemt!):Formule 1: $y=3(x+2)^2+10$$a=3$, dus $a>0$, dus dalparaboolTop ligt op  $(-2,10)$Snijpunt met de y-as op $f(0) = 3(2)^2+10 = 22$Formule 2: $y=\frac{1}{4}(x-1)(x+5)$$a=\frac{1}{4}$, dus $a>0$, dus dalparaboolSnijpunten met de x-as op $(1, 0)$ en $(-5, 0)$ (zie opgave a)Top $(-2, -2\frac{1}{4}$ Snijpunt met de y-as op $f(0) = \frac{1}{4}(-1)(5) = -1\frac{1}{4}$Formule 3: $y=-(2-x)^2$$a=-1$, dus bergparaboolTop $(-2, 0)$Snijpunt met de y-as op $f(0)=-(2)^2=-4$Formule 4: $y=x^2+2x-4$$a>0$, dus dalparaboolTop op $(-1,-5)$ (opgave a) Snijpunt met de y-as op $f(0)=0^2-2 \times 0 -4 = -4$Formule 5: $y=x(2x-4)$$a>0$ dus dalparaboolSnijpunten met de x-as op $(0, 0)$ en $(2, 0)$ en top op $(1,-2)$ (opgave a) Snijpunt met de y-as op $f(0) = 0$Schetsen in één figuur (je hoeft het niet zo precies te hebben getekend als hieronder, maar zorg wel dat de toppen en de snijpunten met de assen kloppen): c. We werken steeds de haakjes uit om toe te werken naar de algemene vorm $y=ax^2 + bx + c$:Formule 1:$y=3(x+2)^2+10$$y=3(x+2)(x+2)+10$ (of sla deze stap over en gebruik meteen dat $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$)$y=3(x^2+4x+4)+10$ (let op: de haakjes moeten blijven staan!)$y=3x^2+12x+12+10$$y=3x^2+12x+22$Formule 2:$y=\frac{1}{4}(x-1)(x+5)$$y=\frac{1}{4}(x^2-x+5x-5)$ (laat de haakjes nog staan, want alles moet nog keer $\frac{1}{4}$)$y=\frac{1}{4}(x^2+4x-5)$$y=\frac{1}{4}x^2+x-1\frac{1}{4}$Formule 3:$y=-(2-x)^2$$y=-(2-x)(2-x)$$y=-(4-4x+x^2)$$y=-x^2+4x-4$Formule 4: deze staat al in de goede vorm.Formule 5: $y=x(2x-4)$$y=2x^2-4x$. Stel $y=a(x-p)^2+q$.Top $(-3,18)$, dus $y=a(x+3)^2+18$ (want bij formules van deze vorm ligt de top op punt $(p,q)$.)Door $(3,0)$, dus invullen geeft:$0=a(3+3)^2+18$$0=a(6)^2+18$$0=36a+18$$36a=-18$$a=-\frac{1}{2}$Dus $y=-\frac{1}{2}(x+3)^2+18$.Stel $y=a(x-p)^2+q$.Top $(5,5)$, dus $y=a(x+5)^2+5$ Door $(0,20)$, dus invullen geeft:$20=a(0+5)^2+5$$20=a(5)^2+5$$15=25a$$a=\frac{15}{25}=\frac{3}{5}$Dus $y=\frac{3}{5}(x+5)^2+5$.We hebben nu het snijpunt met de y-as, $(0,6)$, en nog twee andere punten, dus stel $y=ax^2+bx+c$.De waarde van $c$ volgt uit het snijpunt met de y-as, dus $c=6$.Vul de andere punten in en maak een stelsel van vergelijkingen.$(-1,0)$ geeft: $0 = a \cdot (-1)^2 + b \cdot -1 +6$, oftewel $a -b +6=0$, oftewel $a = b-6$.$(2,12)$ geeft: $12 = a \cdot 2^2 + b \cdot 2 +6$, oftewel $12 = 4a +2b +6$.Los op door de eerste vergelijking bij de tweede in te vullen (op de plek van de $a$). Dat geeft:$12 = 4 (b-6) +2b +6$$12 = 4b-24+2b+6$$12 = 6b - 18$$6b = 30$$b=5$Nu kun je $a$ berekenen, via de eerste vergelijking:$a = b-6 = 5-6 = -1$Conclusie: $y=-x^2+5x+6$. Punt $A$ is een snijpunt met de x-as. Daarom is het handig om de functie om te schrijven naar de vorm  $y=a(x-s)(x-t)$, want dan zijn de snijpunten met de x-as $(s,0)$ en $(t,0)$.Dat geeft: $f(x) = x(x-6)$, dus $s=0$ en $t=6$.Dus dan zijn de coördinaten van het snijpunt met de x-as inderdaad die van punt $A(6,0)$.We weten de coördinaten van de top: $(6,0)$.Dus gebruik de vorm $y=a(x-p)^2+q$, met $p=6$ en $q=0$, dus $g(x)=a(x-6)^2$.We hebben nu een tweede punt nodig om $a$ te berekenen. Daartoe gebruiken we punt $T$.$T$ is de top van grafiek $f$. De top ligt op de symmetrie-as, dus midden tussen de snijpunten met de x-as. Dat betekent dat $x_T = 3$.Vind de y-coördinaat door in te vullen in de formule: $y_T= f(3) = 3^2-6\times 3= -9$Dus $T(3,-9)$Vul nu de coördinaten van $T$ in bij $g$:$g(x) = a(x-6)^2$$-9 = a(3-6)^2$$-9 = a \times 9$Dus $a=-1$Conclusie: $g(x) = -(x-6)^2$.