Kern Wiskunde - Hoofdstuk 4 - Kansrekening oefentoetsen & antwoorden

De vereniging bevat alle elementen die in één van beide verzamelingen voorkomen.De doorsnede bevat alle elementen die in beide verzamelingen voorkomen.De vereniging is dus (bijna) altijd groter dan de doorsnede.Bijvoorbeeld: kijk naar A = {0,2,5,8} en B = {1,3,4,7,9}. De vereniging bevat alle elementen samen, dus die is {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.De doorsnede van de verzamelingen A en B is {}. De verzameling is leeg omdat er geen elementen zijn die in beide verzamelingen voorkomen.Boomdiagram (want bij een wegendiagram moeten de takken bij een keuze steeds gelijk zijn).De kans op een gebeurtenis is aantal gunstige uitkomsten gedeeld door totaal aantal uitkomsten.De wet van grote aantallen zegt dat naarmate je vaker gooit, de relatieve frequentie steeds dichter bij de kans komt te liggen.Als je bij een kans probleem van alle mogelijkheden de kansen bij elkaar optelt, dan komt er altijd 1 uit.  Het getal $6$ is het enige element (= onderdeel) dat in alledrie voorkomt.$\subset$ betekent dat het een deelverzameling is, oftewel dat het een aantal van de elementen van verzameling $A$ moet bevatten.Dat is het geval, want zowel $0$ als $6$ komt in $A$ voor.Dus je kunt zeggen dat $\{0,6\} \subset A$. $\cup$ betekent de vereniging: dat zijn alle elementen die in $A$ en $B$ samen voorkomen.Dus $A \cup B = \{-3, -2, 0, 2, 3, 4, 6\}$.$\cap$ betekent de doorsnede: dus alle elementen die in $B$ én in $C$ voorkomen.Dus $B \cap C = \{6 \}$.Het oranje gedeelte is de doorsnede $A \cap C$. Die bevat alleen het element $6$, dus het oranje stuk is $\{ 6 \}$.Voor het blauwe gedeelte blijft dan de rest van $C$ over: dus dat is $\{ -4, 1, 11 \}$. Omdat er hier drie verschillende keuzes worden gemaakt: broek, t-shirt en sokken. Een roosterdiagram kan alleen bij twee keuzes.Zie het boomdiagram hieronder met alle mogelijke combinaties;Tel het aantal keer blauw in de combinaties. In totaal zijn er 16 mogelijkheden waar blauw in staat. Van Honduras naar Utila kan op 3 manieren énVan Utila naar Roatan kan op 4 manieren.Dus totaal 3 x 4 = 12 manieren.Van Honduras naar Roatan via Utila kan op 12 manieren.Van Honduras naar Cayos Cochinos kan op 2 manieren énvan Cayos Cochinos naar Roatan kan op 3 manieren.Totaal is dat 2 x 3 = 6 manierenVan Honduras naar Roatan via Cayos Cochinos kan op 6 manieren.Van Honduras naar Roatan via Utila óf van Honduras naar Roatan via Cayos Cochinos kan op 12 óf 6 manieren.Tel ze op: totaal 12 + 6 = 18 manierenIn totaal kun je van Honduras naar Roatan op 18 manieren.Tip: Let op de woorden én en óf. én betekent het aantal mogelijkheden vermenigvuldigen en óf betekent optellen. Nee, die is niet even groot.De kans dat je een 3 draait is 2 op 8, dat geeft als breuk $\frac{2}{8}$ = $\frac{1}{4}$.De kans voor blauw is 3 op 8, dat geeft als breuk $\frac{3}{8}$. Gebruik dezelfde manier als vraag 3a.Cijfer (kleur)1 (blauw)2 (rood)3 (geel)4 (groen)Kans$\frac{3}{8}$$\frac{1}{4}$$\frac{1}{4}$$\frac{1}{8}Manier 1: Gebruik de tabel. Kans op kleiner dan 3 = kans op 1 + kans 2 = $\frac{3}{8} + \frac{1}{4} = \frac{5}{8}$Kans op 3 en groter   = kans op 3 + kans op 4 = $\frac{1}{4} + \frac{1}{8} = \frac{3}{8}$Samen geeft dat $\frac{5}{8} + \frac{3}{8} = 1$.Manier 2:Bedenk dat 3 of hoger en lager dan 3 samen alle opties zijn.De optelsom van alle kansen is altijd 1, dus het antwoord is 1. Er zijn 5 dobbelstenen, waarvan 1 een groene dobbelsteen. Dat geeft kans 1 op 5De kans op 5 is dus $\frac{1}{5}$Hoger dan 5; het gaat dan om de getallen  6, 7 of 8De kans op 6 is  $\frac{1}{8}$De kans op 7 is  $\frac{1}{8}$De kans op 8 is  $\frac{1}{8}$Dus de kans op hoger dan 5 is $3 \times \frac{1}{8} = \frac{3}{8}$.De kans op een blauwe dobbelsteen is $\frac{1}{5}$.De kans op oneven getal (1, 3, 5 of 7) $ = 4 \times {1}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.Blauwe dobbelsteen en oneven getal = $\frac{1}{5} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{10}$ (vermenigvuldig de kansen).De gevraagde kans is dus $\frac{1}{10}$. Dit is zonder terugleggen: je pakt een pen en haalt die uit de bak, en bij de volgende pen die je pakt heb je de pen niet tussendoor teruggelegd in de bak.  Dit is met terugleggen: want je haalt geen kaarten uit de stapel, maar laat ze er steeds inzitten en schudt tussendoor. Zo is de kans dat een bepaalde kaart bovenaan ligt steeds hetzelfde.Dit is zonder terugleggen. Je kunt elke leerling namelijk maar één keer kiezen, en stopt de namen van degene die je hebt gekozen niet weer terug in de stapel. Dat klopt, deze zijn gelijk. Verzamelingen zijn namelijk gelijk aan elkaar als ze dezelfde elementen bevatten.De volgorde maakt daarbij niet uit en gelijke elementen tellen maar één keer mee (dus ook al staat er drie keer het element $4$ in, voor de verzameling telt het maar één keer mee).Dat is niet waar.Als twee verzamelingen gelijk zijn, is hun doorsnede namelijk precies even groot als hun vereniging. Bijvoorbeeld: bij A={1,2} en B={1,2} is zowel de vereniging als de doorsnede ook weer gelijk aan {1,2}.(De vereniging is in ieder geval nooit kleiner dan de doorsnede.)Niet waar.Een deelverzameling kan namelijk ook bestaan uit de gehele verzameling zelf, en verzamelingen kunnen oneindig groot zijn. Bijvoorbeeld: bij de verzameling van alle gehele getallen, is een mogelijke deelverzameling ook weer de verzameling van alle gehele getallen, en die is oneindig groot.Dat is waar. Zelfs als de doorsnede leeg is heb je een verzameling: de lege verzameling $\emptyset$. Tel de uiteindelijke combinaties in het boomdiagram, dat zijn er 8. Of: met een berekening: 2 × 2 × 2 = 8 mogelijkheden.Minstens twee jongens wil zeggen dat er in het gezin 2 of 3 jongens zijn. Dit kan geteld worden uit het boomdiagram.4 manieren (jjj, jjm, jmj en mjj)Toelichting: aan het einde van de takken hebben we hierbij gezet welke combinaties je krijgt. Dus bijvoorbeeld de bovenste is de mogelijkheid dat het 1e, 2e en 3e kind een jongen is: jjj.Voor 3 meisjes is er maar 1 manier mogelijk en dat is mmm. Dan zijn er dus geen verschillende combinaties.Voor het 4e kind komen er 2 opties erbij: jongen of meisje.In totaal dus 2 × 2 × 2 × 2 = 16 mogelijkheden. Het totaal aantal mogelijkheden is te berekenen door te vermenigvuldigen: keuzes vlees x keuzes aardappel x keuzes groente. Er zijn totaal 66 mogelijkheden, dus dan zijn er 66 : 3 =22 voor de combinatie vleesgerecht en aardappelgerechtDe enige mogelijkheid is dan dat er 11 vleesgerechten zijn (en dus 2 aardappelgerechten) Deze opgave kun je het beste oplossen met een Venndiagram, want daarin kun je goed informatie verwerken over verschillende eigenschappen waar tegelijkertijd aan wordt voldaan (hier: welke spellen de kinderen eerder hebben gespeeld).Teken het Venndiagram: er zijn drie cirkels, voor drie spellen. Zet de gegevens erin.We weten verder nog dat zeven kinderen twee van de drie spellen hebben gespeeld. Dat zijn de ingevulde drie vakjes samen. Nu zijn alle hoeveelheden bekend, behalve die van de leerlingen die alleen De vloer is lava eerder hebben gespeeld. Dat zijn er dus: 22 - 5 - 8 - 3 - 4 = 2. Bord A heeft 16 velden, waarvan 8 zwart en 8 witte velden.  De kans op één zwart veld is $\frac{8}{16}$ =$\frac{1}{2}$.Bord B heeft 9 velden, waarvan 5 zwart en 4 witte velden. De kans op één zwart veld is $\frac{5}{9}$.Bord C heeft 25 velden, waarvan 13 zwarte en 12 witte velden. De kans op één zwart veld is $\frac{13}{25}$.BordABC Kans op zwarte velden $\frac{1}{2}$$\frac{5}{9}$  $\frac{13}{25}$De kans op een zwart veld is  $\frac{13}{25}$.$\frac{13}{25}$ × 425 = 221, dus de verwachting is 221 keer.De kans op een wit veld is $1 - \frac{5}{9} = \frac{4}{9}$.$\frac{4}{9}$ × 378 = 168 keer, dus naar verwachting 168 keer een wit veld. 3 × 3 × 3 = 27 verschillende mogelijkheden De kans dat Nederland een wedstrijd wint is $\frac{1}{3}$. Er worden 3 wedstrijden gespeeld, dat geeft $\frac{1}{3}$ × $\frac{1}{3}$ × $\frac{1}{3}$ = $\frac{1}{27}$ ≈ 0,037Dus de kans dat Nederland alle wedstrijden wint is 0,037Er zijn 2 mogelijkheden per wedstrijd.2 × 2 × 2 × 2 = 16 verschillende manierenDe kans dat Nederland een wedstrijd wint is $\frac{1}{2}$. Voor 4 wedstrijden geeft dan $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{16}$.  Na het eerste kaartje te hebben omgedraaid, liggen er nog 15 met het plaatje naar beneden.De kans dat het tweede kaartje hetzelfde plaatje heeft is dus $\frac{1}{15} \approx 0,067$.Ja, de kans op twee dezelfde wordt steeds groter. Bijvoorbeeld: als de eerste twee kaarten weg zijn, liggen er nog 14 kaarten. De kans dat je na de eerstvolgende kaart dan weer hetzelfde plaatje omdraait wordt $\frac{1}{13}$, dus groter. De kans dat je na het eerste kaartje een tweede met hetzelfde plaatje omdraait is $\frac{1}{7}$.Vervolgens liggen er nog 6 kaartjes. Dan kun je weer een willekeurig kaartje omdraaien en is vervolgens de kans op hetzelfde plaatje $\frac{1}{5}$.Daarna is (op dezelfde manier) de kans $\frac{1}{3}$.Het laatste paar gaat altijd goed (want dan liggen er nog maar twee kaartjes)Dus de kans is $\frac{1}{7} \cdot \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{3} \approx 0,010$.