Moderne Wiskunde 12e ed deel B - Hoofdstuk 8 - Rekenen oefentoetsen & antwoorden

Het quotiënt van twee getallen vormt een deelsom. Bijvoorbeeld: het quotiënt van $15$ en $3$ is: $15:3=5$.De getallen 5 en 8 noem je de factoren van het product. 40 is het product.In 5$^4$   noemen we de 5 het grondtal en 4 de exponent.De rekenvolgorde is:Bereken wat tussen haakjes staatMachtsverheffen van  links naar rechtsVermenigvuldigen en delen van links naar rechtsOptellen en aftrekken van links naar rechts.Dan verplaats je de komma één of twee plekken naar links. Bijvoorbeeld: neem het getal 150.10x zo klein geeft: 0,1 x 150 = 15100x zo klein geeft: 0,01 x 150 = 1,5.Doe teller x teller en noemer x noemer. (Boven de breukstreep staat de teller en eronder de noemer.)Deze moet je uit je hoofd weten:$10\% = \frac{1}{10}$$50\%=\frac{1}{2}$$66\frac{2}{3}\%=\frac{2}{3}$$75\%=\frac{3}{4}$ Zonder haakjes houden we gewoon de rekenvolgorde aan en zou er uit de opgave komen:$3^2+5 \times 4-2 =$Machten eerst:$9+5\times 4-2=$Nu vermenigvuldigen. Dan kun je daarna optellen en aftrekken:$9 +20 - 2=27$Er moet $54$ uitkomen, een groter getal. Om de uitkomst te veranderen kunnen we haakjes zetten als $(3^2+5)\times 4 - 2$, of als $3^2+5\times (4-2)$ (of zelfs op beide plekken). De eerste optie zorgt voor een grotere uitkomst, want dan gaan we met een groter getal vermenigvuldigen, dus laten we die controleren:$(3^2+5)\times 4 - 2=$Haakjes eerst (en daarbinnen de macht):$(9+5)\times 4 - 2=$$14 \times 4 - 2=Nu uitwerken:$56 - 2 = 54$. Klopt! Het makkelijkst hier qua aanpak is alles omzetten naar een decimaal getal, zodat je alles met elkaar kunt vergelijken, en dan pas op volgorde zetten.$\frac{6}{8} = \frac{3}{4} = 0,75$ (als je deze niet herkent, dan kun je hem eerst omzetten naar $\frac{75}{100}$ om er een decimaal getal van te maken)$\frac{3}{5} = \frac{60}{100} = 0,6$ $75\%=\frac{75}{100}=0,75$$5 \times \frac{151}{1000} = \frac{755}{1000} = 0,755$Dus de juiste volgorde is: $\frac{3}{5}$, $\frac{6}{8}$, $75\%$, $5 \times \frac{151}{1000}$ (of de tweede en de derde omgedraaid) Gebruik hier steeds de rekenvolgorde.$18 : 2 + 5 \times 6 = $Eerst delen:$9 + 5 \times 6 = $Nu vermenigvuldigen en daarna optellen:$9 + 30 = 39$$4 \times (3 + 2) - 9 \times 2 = $Eerst tussen haakjes:$4 \times 5 - 9 \times 2 = $Nu vermenigvuldigen…$20 - 9 \times 2 = $En nogmaals en daarna aftrekken:$20 - 18= 2$$12 \times (5 -3) = $Eerst tussen haakjes:$12 \times 2 = $Vermenigvuldigen geeft dan:$24$ $15 : 3 - 8 \times 2 + 13 = $Eerst delen…$5 - 8 \times 2 + 13 = $En vermenigvuldigen:$5-16+13 = $En nu kun je optellen en aftrekken:$2$. Bereken wat je kunt via de rekenvolgorde. Bedenk vervolgens wat er op de puntjes moet staan zodat het antwoord klopt.Reken de som zo ver mogelijk uit.$24 - 4 \times 5 +  …^2 = 13$Vermenigvuldigen:$24 - 20 + …^2 = 13$Optellen:$4 + … ^2 = 13$Dus $...^2$ moet 9 zijn om de som te laten kloppen. $3^2=9$, dus het juiste antwoord is $3$. Reken de som zo ver mogelijk uit in de juiste volgorde van bewerkingen:$8^2 : 2 - (5- ..)^2 = 16$$64 : 2 - (5 - …)^2=16$$32 - (5 - …)^2 = 16$Dus $(5-...)^2$ moet $16$ zijn, dus tussen de haakjes moet $4$ staan. Dat betekent dat op de puntjes $1$ staat.  Reken eerst zo ver mogelijk uit:$7 + … \times 4^2 : 8 = 13$ $7 + … \times 16 : 8 = 13$ $7 + … \times 2  = 13$ (Je mag alvast uitrekenen wat er uit de deelsom komt, want je kunt de vermenigvuldiging nog niet uitvoeren) Dus $... \times 2$ moet gelijk zijn aan 6. Daarom moet er op de puntjes staan: $3$.  Reken opnieuw eerst uit wat je kunt.$5^2 \times 2^{...} −3^4  = 119$$25 \times 2^{...} - 3^4 = 119$$25 \times 2^{...} - 81 = 119$Dan moet dus $25 \times 2^{...}$ gelijk zijn aan 200.$25 \times 8 = 200$, dus $2^{...}$ moet $8$ zijn.Dus op de puntjes moet staan: $3$ (want $2^3=8$).  Reken uit wat je kunt. $11^2 + … \times 4^1 - (4^3 -2^5)=101$Tussen haakjes eerst:$11^2 + … \times 4^1 - (64 - 32) = 101$$11^2 + … \times 4^1 - 32 = 101$Machten (en let op: $4^1=1$, want een tot de macht $1$ blijft gewoon hetzelfde):$121 + …\times 4 -32 = 101$Aftrekken:$89 + …\times 4  =101$Dus $... \times 4$ moet gelijk zijn aan 12$. Op de plek van de puntjes moet dus staan: $3$. Reken uit wat je kunt:$2 \times 6^2 - …^2 + (5-2) \times 2^4 - 13=82$ Eerst de haakjes:$2 \times 6^2 - …^2 + 3 \times 2^4 - 13=82$Nu de machten:$2 \times 36 - …^2 + 3 \times 2^4 - 13= 82$$2 \times 36 - …^2 + 3 \times 16 - 13 = 82 $Vermenigvuldigen, van links naar rechts:$72 - …^2 + 3 \times 16 - 13 = 82 $$72 - …^2 + 48 - 13 = 82$Optellen en aftrekken:$107 - …^2 = 82$Dus dan moet $...^2$ gelijk zijn aan 25. Op de puntjes moet dus staan: $5$. Werk deze sommen stap voor stap uit in de juiste volgorde van bewerkingen. 4,3+1,2×4:(1,44+0,56)=4,3 + 1,2 \times 4 : (1,44 + 0,56) = 4,3+1,2×4:(1,44+0,56)=Eerst tussen de haakjes:4,3+1,2×4:2=4,3 + 1,2 \times 4 : 2 = 4,3+1,2×4:2=Vermenigvuldigen:4,3+4,8:2=4,3 + 4,8 : 2 = 4,3+4,8:2=Nu delen en vervolgens optellen:4,3+2,4=6,64,3 + 2,4=6,64,3+2,4=6,7 (3,2+2×0,9)3+0,01×45=(3,2 + 2 \times 0,9)^3 + 0,01 \times 45= (3,2+2×0,9)3+0,01×45=Eerst tussen haakjes, en daarbinnen eerst vermenigvuldigen:(3,2+1,8)3+0,01×45=(3,2 + 1,8)^3 + 0,01 \times 45 = (3,2+1,8)3+0,01×45=53+0,01×45=5^3+0,01 \times 45 = 53+0,01×45=Nu de macht:125+0,01×45=125 + 0,01 \times 45 = 125+0,01×45=Vermenigvuldigen met 0,010,010,01 betekent dat de komma twee naar links verschuift, want het getal wordt 100×100 \times100×  zo klein:125+0,45=125,45125 +0,45 = 125,45125+0,45=125,45  0,5×7,6+0,43−3,3=0,5 \times 7,6 + 0,4^3 - 3,3 = 0,5×7,6+0,43−3,3=Eerst de macht. 0,43=0,4×0,4×0,4=0,16×0,4=0,0640,4^3 = 0,4 \times 0,4 \times 0,4 = 0,16 \times 0,4 = 0,0640,43=0,4×0,4×0,4=0,16×0,4=0,064 (let op dat het steeds kleiner wordt!), dus dat geeft:0,5×7,6+0,064−3,3=0,5 \times 7,6 + 0,064 - 3,3 = 0,5×7,6+0,064−3,3=Nu vermenigvuldigen en vervolgens optellen en aftrekken.3,8+0,064−3,3=3,8 + 0,064 - 3,3 = 3,8+0,064−3,3=3,864−3,3=0,5643,864 - 3,3 = 0,5643,864−3,3=0,564 0,82+5×(3×0,2)2=0,8^2 + 5\times (3 \times 0,2)^2 = 0,82+5×(3×0,2)2=Eerst binnen de haakjes:0,82+5×(0,6)2=0,8^2 + 5 \times (0,6)^2 = 0,82+5×(0,6)2=Machten (en let goed op de plek van de komma):0,64+5×0,62=0,64 + 5 \times 0,6^2 = 0,64+5×0,62=0,64+5×0,36=0,64 + 5 \times 0,36 = 0,64+5×0,36=Vermenigvuldigen en daarna optellen:0,64+1,8=2,440,64 + 1,8 = 2,440,64+1,8=2,44 Tip: maak een eigen schets van de situatie. Zie het plaatje hieronder.Om de buitenmaten uit te rekenen moet de dikte van het hout er bij opgeteld worden. Allereerst is het handig om de dikte van het hout om te zetten van millimeters naar centimeters. Zo heb je alle maten in dezelfde eenheid staan en kun je er mee rekenen.6 mm = 0,6 cm, want gegeven was dat 1 mm tien keer zo klein is als een cm.De binnenmaat van de doos is 50 cm, zoals ook te zien op het plaatje hieronder. Aan de zijkanten zie je de dikte van de doos. Om de buitenmaten te berekenen tel je dus twee maal de dikte van het hout bij de binnenmaten op.$50+2 \times 0,6=51,2$Dit doe je ook voor de breedte: $17+2 \times 0,6=18,2$.Conclusie: de buitenmaten zijn 51,2 cm bij 18,2 cm. $\frac{1}{5}+\frac{4}{6}=$Maak de breuken gelijknamig. Dit doe je door de noemers met elkaar te vermenigvuldigen: $5 \times 6=30$, dus je nieuwe noemer wordt $30$. Dat geeft:$\frac{6}{30}+\frac{20}{30}=$ Nu mag je de breuken bij elkaar optellen. De noemer blijft gelijk en de tellers tel je bij elkaar op.$\frac{26}{30}=$ Vereenvoudig de breuk: je deelt de teller en noemer door 2.$\frac{13}{15}$.  $2\frac{1}{3} - 1\frac{1}{2}=$Hier moeten we de helen eerst als breuk schrijven. Daarna maken we ze gelijknamig.$\frac{7}{3} - \frac{3}{2}=$$\frac{14}{6} - \frac{9}{6} = $Nu kunnen we ze van elkaar aftrekken. $\frac{5}{6}$ $2\frac{4}{5} + 3\frac{1}{2} - 1\frac{1}{5}=$We halen eerst de helen eruit, zodat we vervolgens eerst de derde breuk van de eerste kunnen aftrekken, want die zijn al gelijknamig:$\frac{14}{5} + \frac{7}{2} - \frac{6}{5} = $$\frac{8}{5} + \frac{7}{2}=$Nu maken we ze gelijknamig. Dan kunnen we optellen en de helen eruit halen:$\frac{16}{10}+\frac{35}{10} = $$\frac{51}{10} =5 \frac{1}{10}$ $\frac{3}{7} + \frac{4}{6}=$Maak gelijknamig:$\frac{18}{42} + \frac{28}{42} = $Nu optellen en de helen eruit halen.$\frac{46}{42} = 1\frac{2}{21}$ $(3-\frac{1}{3})\cdot\frac{1}{6}=$Bereken eerst wat tussen de haakjes staat. Maak van het getal $3$ een breuk met het cijfer $3$ als noemer, zodat je de breuk er vanaf kunt trekken.$(\frac{9}{3}-\frac{1}{3}) \times \frac{1}{6}=$$\frac{8}{3} \times \frac{1}{6}=$ Vermenigvuldig nu de breuken: doe $\rm \frac{teller \times teller}{noemer \times noemer}$. Je hoeft de noemers niet eerst gelijknamig te maken.Vermenigvuldig nu de breuken: doe $\rm \frac{teller \times teller}{noemer \times noemer}$. Je hoeft de noemers niet eerst gelijknamig te maken.$\frac{8}{18}=$Nu vereenvoudigen:$\frac{4}{9}$ $\frac{2}{3} \times 2\frac{3}{4} - 1\frac{1}{4}=$Eerst $2\frac{3}{4}$ schrijven als één breuk, zodat je kunt vermenigvuldigen.$\frac{2}{3} \times \frac{11}{4} - 1\frac{1}{4}=$$\frac{22}{12}-1\frac{1}{4}=$Schrijf ook bij de tweede breuk de helen in de breuk.$\frac{22}{12} - \frac{5}{4}=$Nu gelijknamig maken om de breuken van elkaar te kunnen aftrekken. Het makkelijkste is om eerst de voorste breuk nog te vereenvoudigen.$\frac{11}{6} -  \frac{5}{4}=$$\frac{44}{24} - \frac{30}{24} = $$\frac{14}{24}=\frac{7}{12}$$5\frac{1}{6} \times \frac{1}{3}-4\times \frac{1}{3}=$We gaan eerst de eerste twee breuken vermenigvuldigen. Schrijf de helen in de breuk om dat te kunnen doen.$\frac{31}{6} \times \frac{1}{3} - 4\times \frac{1}{3} = $$\frac{31}{18} - 4\times \frac{1}{3}=$De tweede vermenigvuldiging, met een geheel getal, hoeft alleen aan de bovenkant van de breuk:$\frac{31}{18} - \frac{4}{3}=$Nu gelijknamig maken. Dat kan eenvoudig door de teller en noemer van de tweede breuk $\times 6$ te doen:$\frac{31}{18} - \frac{24}{18}=$Dan kun je daarna aftrekken:$\frac{7}{18}$.Je had bij de vorige stap ook gelijknamig kunnen maken door echt teller x teller en noemer x noemer te doen. Dan moet je vervolgens de breuk nog vereenvoudigen totdat je ook op $\frac{7}{18}$ uitkomt. $2\frac{2}{3} \times 3\frac{3}{4} - \frac{5}{6}=$Helen in de breuk schrijven en vermenigvuldigen:$\frac{8}{3} \times \frac{15}{4} - \frac{5}{6} = $$\frac{120}{12}-\frac{5}{6}=$$10 - \frac{5}{6}=$Schrijf $10$ ook als breuk en haal de helen eruit voor je eindantwoord:$\frac{60}{6} - \frac{5}{6} = \frac{55}{6} = 9\frac{1}{6}$ (of zonder tussenstap)Tip: Let op dat je bij het optellen en aftrekken van breuken de noemer gelijknamig moet maken. Bij breuken vermenigvuldigen hoeft dit niet.  Er moet uitgerekend worden welk deel van de leerlingen er in een vrijstaand huis woont. Je antwoord moet daarom een breuk zijn en niet het aantal leerlingen (dat is vraag b).Dit bereken je als volgt. Je telt de breuken $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{6}$ en $\frac{1}{4}$ bij elkaar op. Deze breuken staan namelijk voor het aantal leerlingen die in een flat, woonboot en rijtjeshuis wonen. Door deze breuken op te tellen bereken je het deel van de leerlingen dat niet in een vrijstaand huis woont.$\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{4}=$Maak de breuken allemaal gelijknamig. Het makkelijkst kun je dan de noemer het getal $12$ maken, want het getal 12 zit in de tafel van 2, 4 en 6. (Je mag ook noemer 24 maken en daarna vereenvoudigen).$\frac{6}{12}+\frac{2}{12}+\frac{3}{12}=$Tel de breuken bij elkaar op:$\frac{11}{12}$Nu hebben we berekend dat $\frac{11}{12}$ deel niet in een vrijstaand huis woont. We willen berekenen welk deel van de leerlingen wel in een vrijstaand huis woont.Dit bereken je door $1-\frac{11}{12}=\frac{1}{12}$. (Het getal 1 staat namelijk voor het totaal aantal leerlingen. Daar haal je $\frac{11}{12}$ deel vanaf.)En zo kom je op het juiste antwoord, namelijk: $\frac{1}{12}$ deel.We moeten dus $\frac{1}{12}$ deel van $180$ berekenen:$\frac{1}{12} \times 180 = \frac{180}{12} = 15$ leerlingen. We weten dat $\frac{1}{4}$ deel in een rijtjeshuis woont.Daarvan heeft $\frac{2}{5}$ deel een voortuin.Deze vermenigvuldigen geeft het antwoord:$\frac{1}{4} \times \frac{2}{5} = \frac{2}{20} = \frac{1}{10}$.Dus $\frac{1}{10}$ deel van alle leerlingen woont in een rijtjeshuis met voortuin.  Om een decimaal getal te maken gebruiken we dat een procent één honderdste is: $36\% = \frac{36}{100} = 0,36$ (komma twee naar links)Nu de breuk vereenvoudigen: $\frac{36}{100} = \frac{18}{50}=\frac{9}{25}$ Decimaal getal: $40\% = \frac{40}{100} = 0,4$Breuk vereenvoudigen: $\frac{40}{100} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$ Decimaal getal: $95\% = \frac{95}{100} = 0,95$Breuk vereenvoudigen: $\frac{95}{100} = \frac{19}{20}$ Decimaal getal: $16 \% = \frac{16}{100} = 0,16$Breuk vereenvoudigen: $\frac{16}{100} = \frac{8}{50} = \frac{4}{25}$. Het totaal aantal leerlingen is $20+20+20=60$Het aantal leerlingen dat meehelpt uit de tweede en derde klas klas is: $37,5\%$ van $40$ is gelijk aan $\frac{3}{8}$ deel (want $12,5 \% = \frac{3}{8}$ deel)$\frac{1}{8}$ deel van $40$ is $5$ leerlingen, dus $\frac{3}{8}$ deel zijn $15$ leerlingen.Het totaal aantal leerlingen dat meehelpt is $5+15=20$. $20$ van $60$ is $\frac{1}{3}$ deel.Dat is dus $33\frac{1}{3}\%$. Tip: zorg dat je de handige percentages met bijbehorende breuk uit je hoofd kent, zoals $10\% = \frac{1}{10}, 25\% = \frac{1}{4}$ en $33\frac{1}{3}\% = \frac{1}{3}$.  Bij $1 ^\circ/_{\circ \circ}$ hoort de breuk $\frac{1}{1000}$ (want het is één tiende van een procent, en $1\% = \frac{1}{100}$)Decimale getal is dus $0,001$ (komma drie plekken naar links)1 promille is één duizendste deel, dus dan krijgen we hier $\frac{0,5}{1000} = \frac{5}{10 000}$ Er wordt dus gevraagd naar $\frac{5}{10 000}$ deel van 5 liter.Dat is $5 \times \frac{5}{10 000} = \frac{25}{10 000}$ liter.Als decimaal getal geschreven: $0,0025$ liter.