Moderne Wiskunde 12e ed deel B - Hoofdstuk 9 - Functies en algebra oefentoetsen & antwoorden

Ja, dat klopt: $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$.Bij een gebroken functie staat de variabele $x$ in de noemer van de breuk. En omdat je niet kunt delen door 0, is er altijd een stuk op de grafiek dat je niet kunt tekenen (de verticale asymptoot). Daardoor bestaat de grafiek uit twee stukken.$f(x) = a \cdot x^n$: het grondtal van de macht is een variabele. $(a\cdot b)^n = a^n \cdot b^n$$(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$  Stel de uitdrukking onder het wortelteken gelijk aan 0: dus $x-2=0$.Dat geeft de x-coördinaat van het randpunt: $x=2$Invullen in de functie geeft $y=4 + 3 \sqrt{2-2}=4$.Het randpunt zit dus op $(2,4)$.Tabel: je kunt beginnen vanaf $x=2$. x2345y478,249,20Teken de grafiek. Let op dat een wortelgrafiek altijd een vloeiende lijn is. Verder moet de grafiek natuurlijk niet stoppen bij x=5 maar moet je de kromme doortrekken. $3 \sqrt\frac{15p}{5}+2\cdot 3\sqrt{3p}$$3\sqrt{3p}+6\sqrt{3p}$$9 \sqrt{3p}$ Schrijf als één breuk: $\sqrt{\frac{64}{25}}$Nu met de rekenregels:$\frac{\sqrt{64}}{\sqrt{25}}$$\frac{8}{5}$1$\frac{3}{5}$ $\frac{3\sqrt{96a^2b}}{2\sqrt{12ab}}+5\sqrt{3}\cdot 2\sqrt{6a}$$\frac{3}{2}\sqrt{\frac{96a^2b}{12ab}}+10\sqrt{18a}$$\frac{3}{2}\sqrt{8a}+10\cdot3\sqrt{2a}$$\frac{3}{2}\cdot 2\sqrt{2a} + 30\sqrt{2a}$$3\sqrt{2a}+30\sqrt{2a}$$33\sqrt{2a}$ $\sqrt{6x}(\sqrt{20xy}+5\sqrt{2x})$$\sqrt{120x^2y} + 5\sqrt{12x^2}$$\sqrt{4 \cdot 30x^2y} + 5 \sqrt{4 \cdot 3x^2}$$2 \sqrt{30x^2y}+10 \sqrt{3x^2}$ $\sqrt{\frac{2}{5}} \cdot \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{6}}$$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{6}}$$\frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{15}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{6}}$$\frac{\sqrt{30}}{\sqrt{30}}$$\frac{1}{1}=1$ $\frac{\sqrt{450x^2y^3}}{\sqrt{3xy^3}}$$\sqrt{150x}$$\sqrt{25 \cdot 6x}$$5 \sqrt{6x}$  Bedenken dat je bij een omgekeerd evenredig verband altijd dezelfde uitkomst krijgt door de twee getallen te vermenigvuldigen.  Hier is dat getal dus: $12 \cdot 5 = 60$.Dat geeft als formule:  $D \times a = 60$, oftewel: $D(a) = \frac{60}{a}$. Gebruik de formule: $3 = \frac{60}{a}$, dus $a = \frac{60}{3} = 20$. Gebruik de rekenregel: $(\frac{a}{b})^n=\frac{a^n}{b^n}$.Dat geeft: $(\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = \frac{1 \cdot 1}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2}$$(\frac{1}{2}\sqrt{2})^2 = \frac{1}{2}\sqrt{2} \cdot \frac{1}{2}\sqrt{2} = \frac{1}{4} \cdot 2 = \frac{1}{2}$De beide kwadraten zijn aan elkaar gelijk, en dus de twee originele termen ook. (Er is trouwens één uitzondering op deze regel: als de ene term negatief is en de ander positief, zijn de kwadraten weliswaar gelijk maar de termen zelf niet: $(2)^2 = (-2)^2 = 4$, maar $2 \not -2$.)$\frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{2} \sqrt{2}$.Omdat, als je boven en onder hetzelfde doet, je dat ook weer tegen elkaar zou kunnen wegdelen en je hetzelfde krijgt. Neem bijvoorbeeld de vorige uitwerking: als we die iets anders opschrijven dan zie je dat er niets verandert.$\frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \frac{1}{1} = \frac{1}{\sqrt{2}}$. $\frac{1}{\sqrt{3}}$ is gelijk aan $\frac{1}{3}\sqrt{3}$.Vermenigvuldig daartoe boven en onder met $\sqrt{3}$:$\frac{1 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{1}{3} \sqrt{3}$. Bijvoorbeeld: $2^3 \cdot 2^5 = 2^8$. Er zijn uiteraard meerdere antwoorden mogelijk.We schrijven het helemaal uit: $(-a)^4=-a \cdot -a \cdot -a \cdot -a = a^4$, want $ - \times - = +$.Een kwadraat betekent dat je iets keer zichzelf doet. Als we dat hier uitschrijven krijgen we: $(a^3)^2 = a^3 \cdot a^3 = a^{3+3} = a^6$. Deze kun je bijvoorbeeld laten zien met een vermenigvuldigingstabel: $\times$$a$$b$$a$$a^2$$ab$$b$$ab$$b^2$Je mist dus de term $+ 2ab$. Vul in: $h=4$. Dat geeft: $v = 18,4 \sqrt{2 \times 4 - 4} = 18,4 \sqrt{4} = 36,8$. Dus 36,8 cm/s.  1. Stel de binnenkant van de wortel gelijk aan 0: $2h-4=0$2. Dat geeft: $2h=4$, dus $h=2$.3. De waarde van $v$ vinden we door $h=2$ in te vullen: $v = 18,4 \sqrt{0} = 0$.4. Dus het randpunt ligt op $(2,0)$.Deze formule gaat over de valsnelheid, en we zien dat de snelheid bij 0 cm/s begint voor een hoogte van de dominostenen van 2 cm.  (Dat is overigens ook logisch: want in de opgave staat dat de dominostenen 2 cm uit elkaar staan. Als je lagere dominostenen zou gebruiken zouden ze elkaar niet raken en zou de rij nooit omvallen). Wat je hier moet doen is het getal $18,4$ binnen de wortel te brengen. Dat kun je doen door er een kwadraat van te maken (bijvoorbeeld: $2 =\sqrt{4}$, en zo is $2\sqrt{x} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{x} = \sqrt{4x}$.$18,4^2 =338,56 $, dus krijgen we: $v = \sqrt{338,56} \cdot \sqrt{2h-4} = \sqrt{338,56 \cdot (2h-4)} = \sqrt{677,12h - 1354,24}$.Dus $a \approx 677,1$ en $b \approx 1354,2$. Het aantal folders per bezorger vind je door het totaal aantal folders te delen door het aantal bezorgers, dus 2000 : 20 = 100.Een omgekeerd evenredig verband betekent dat als de ene waarde groter wordt, de andere net zo veel keer kleiner wordt. Dat zie je ook in deze tabel: als x 2 keer zo groot wordt, wordt y juist 2 keer zo klein.OF: Je herkent een omgekeerd evenredig verband als het getal dat je krijgt als je de twee waardes vermenigvuldigt, steeds hetzelfde is. Hier: $x \times y = 2000$, op iedere plek in de tabel. $y= \frac{2000}{x}$ (standaard is een omgekeerd evenredig verband dat je deelt door $x$)$x \times y = 2000$ (zie ook de tweede uitleg bij opgave b) Het randpunt is het punt waar de grafiek begint. De uitdrukking onder het wortelteken is er gelijk aan 0. Dat geeft: $x=0$.De x-coördinaat van het randpunt is dus 0. Invullen in $g$ geeft de y-coördinaat: $g(0)=\sqrt{0}=0$.Dus het randpunt is inderdaad de oorsprong: punt $O(0,0)$. Invullen in $f$ geeft: $f(2\frac{1}{4})=1+\frac{3}{4\cdot 2\frac{1}{4}-3}=1+\frac{3}{9-3}=1+\frac{3}{6}=1\frac{1}{2}$.Invullen in $g$ geeft: $g(2\frac{1}{4}=\sqrt{2\frac{1}{4}}=1\frac{1}{2}$ (want $2\frac{1}{4}=\frac{9}{4}$, en $\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{4}}=\frac{3}{2}=1\frac{1}{2}$.Conclusie: er komt inderdaad dezelfde y-waarde uit, namelijk $1\frac{1}{2}$. Horizontale asymptoot:Op den duur (als je voor x een heel groot getal invult) komt de grafiek heel dicht bij de waarde $y=1$. (Dit kun je zien doordat de waarde van de breuk dan ongeveer gelijk wordt aan 0, want als x heel groot wordt deel je door een heel groot getal).Dus formule: $y=1$.Verticale asymptoot:Een verticale asymptoot komt doordat er is geen functiewaarde is als je in de breuk deelt door 0. Dus dan is de noemer gelijk aan 0. Dat is het geval als $4x-3=0$.Deze vergelijking oplossen geeft: $4x-3=0$, dus $4x=3$, dus $x=\frac{3}{4}$.Formule voor de verticale asymptoot is dus: $x=\frac{3}{4}$.De y-waarde komt uit de horizontale asymptoot en de x-waarde komt uit de verticale asymptoot. Dat betekent dat $S$ ligt op punt $(\frac{3}{4}, 1)$. $x=\frac{3}{4}$ invullen in $g$ geeft: $g(x)=\sqrt{\frac{3}{4}}$.Dat kunnen we omschrijven tot: $\sqrt{\frac{3}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{2}\sqrt{3}$.  Dus $a=4$ en $b=2\frac{1}{2}$.Invullen geeft: $\frac{1}{c}=\frac{1}{2\frac{1}{2}}-\frac{1}{4}$Maak de rechter twee breuken gelijknamig om de breuken van elkaar af te kunnen trekken:$\frac{1}{c}=\frac{4}{4 \cdot 2\frac{1}{2}}-\frac{2\frac{1}{2}}{4 \cdot 2\frac{1}{2}}$$\frac{1}{c}=\frac{4}{10} - \frac{2\frac{1}{2}}{10}$$\frac{1}{c}=\frac{1\frac{1}{2}}{10}$Boven en onder $\times 2$ geeft dan:$\frac{1}{c}=\frac{3}{20}$. Je mag de breuken omkeren en zeggen: als $\frac{1}{c}=\frac{3}{20}$, dan is $\frac{c}{1}=\frac{20}{3}$.Dus dan is $c=\frac{20}{3}=6\frac{2}{3}$.We doen nu in feite hetzelfde als bij opgaves a en b.Eerst maken we de rechter breuken gelijknamig en trekken we ze van elkaar af: $\frac{1}{c}=\frac{1}{b}-\frac{1}{a}$ $\frac{1}{c}=\frac{a}{ab}-\frac{b}{ab}$ $\frac{1}{c}=\frac{a-b}{ab}$En nu keren we de breuken om:$\frac{c}{1}=\frac{ab}{a-b}$Dus dan is $c=\frac{ab}{a-b}$.  Machtsfuncties hebben de vorm: $y=a \cdot x^n$. Dus het grondtal van de macht is een variabele.Deze formule heeft dezelfde vorm (met $z$ de variabele en macht 3)De exponent van deze formule is 3, en dat is oneven. Daarbij hoort een grafiek zonder top. Vul in de formule in: $z=230$Dat geeft: $I = \frac{1}{3} \cdot 230^3 = 4055666,66…$Dus de inhoud is ongeveer 4,05 miljoen m$^3$. $f(x) = (5x)^{3} \cdot 3x^6 + \frac{8x^{10}}{4x}$Werk haakjes weg en vereenvoudig de breuk:$f(x) = 125x^3 \cdot 3x^6 + 2x^9$ (want $5^3 = 125$ en in de breuk deel je één $x$ weg en houd je $x^9$ over)Dus $f(x) = 375 x^9 + 2x^9 = 377x^9$ $g(x) = \frac{1}{3} \cdot (3x)^4 \cdot x^2$Werk de haakjes uit: $g(x) = \frac{1}{3} \cdot 3^4 x^4 \cdot x^2$Dus $g(x) = \frac{1}{3} \cdot 81 \cdot x^6 = 27x^6$$h(x) = (2x-5)^2$Met een vermenigvuldigingstabel: $\times$$2x$$-5$$2x$$4x^2$$-10x$$-5$$-10x$$+25$Dus $h(x) = 4x^2 -20x + 25$ $k(x) = 5\sqrt{9x} \cdot \sqrt{2x^3}$Breng alles onder één wortel:$k(x) = \sqrt{18x^4}$Nu kunnen we de wortel nog vereenvoudigen, want $\sqrt{18}=\sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2}$.Dus $k(x) = 5\cdot 3\sqrt{x^4}=15\sqrt{4x}$ $l(x) = \frac{\sqrt{3x^5}}{\sqrt{2x^4}}$Deel de $x$ weg: $l(x) = \frac{\sqrt{3x}}{\sqrt{2}}$Vereenvoudig nu de breuk. Vermenigvuldig daarvoor onder en boven met $\sqrt{2}$. Dat geeft: $l(x)$ = $\frac{\sqrt{6x}}{2}$. $m(x) = \frac{8x^3 + x^4 \cdot 6x^2}{2x^2}$Doe eerst de vermenigvuldiging: $m(x) = \frac{8x^3 + 6x^6}{2x^2}$Splits de breuk en vereenvoudig:$m(x) = \frac{8x^3}{2x^2} + \frac{6x^6}{2x^2}$Dus $m(x) = 4x + 3x^4$. $n(x) = \sqrt{6x^3} \cdot \sqrt{3x} \cdot \sqrt{\frac{6x^2}{3x}}$We vereenvoudigen eerst de breuk binnen de wortel: $n(x) = \sqrt{6x^3} \cdot \sqrt{3x} \cdot \sqrt{2x}$Nu brengen we alles onder één wortel (mag zonder tussenstap): $n(x) = \sqrt{6 \cdot 3 \cdot 2 \cdot x^3 \cdot x \cdot x}$Vereenvoudigen geeft: $n(x) = \sqrt{36x^5} = 6\sqrt{x^5}$.