Moderne Wiskunde 12e ed deel B - Hoofdstuk 9 - Rekenen met variabelen oefentoetsen & antwoorden

Bovenkanten keer elkaar en onderkanten keer elkaar, dus: $\rm breuk   \times \ breuk = \frac{teller \ \times \ teller}{noemer \ \times \ noemer}$. $g^a \cdot g^b = g^{a+b}$$(g^a)^b=g^{ab}$$\frac{g^a}{g^b}=g^{a-b}$ $(a\cdot b)^n = a^n \cdot b^n$$(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$$\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$Ja, dat klopt: $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$. $2^3 \cdot 2^{5x} \cdot (2^x)^2 = 2^{3+5x} \cdot 2^{2x} = 2^{3+7x}$$\frac{6^{2x} \cdot (6^x)^3}{6^4} = \frac{6^{2x} \cdot 6^{3x}}{6^4} = \frac{6^{5x}}{6^4}=6^{5x-4}$$\frac{5^2 \cdot 5^x}{(5^2)^x} = \frac{5^{2+x}}{5^{2x}} = 5^{2-x}$ Manier 1: vereenvoudig eerst elke breuk en vermenigvuldig vervolgens. Dat geeft: $\frac{7^2}{7^x} \cdot \frac{7^{2x}}{7^3} = 7^{2-x} \cdot 7^{2x-3} = 7^{x-1}$Manier 2: vermenigvuldig eerst de breuken en vereenvoudig daarna. Dat geeft dezelfde uitkomst: $\frac{7^2}{7^x} \cdot \frac{7^{2x}}{7^3} = \frac{7^2 \cdot 7^{2x}}{7^x \cdot 7^3} = \frac{7^{2+2x}}{7^{x+3}} = 7^{2+2x - (x+3)} = 7^{2+2x - x-3} = 7^{x-1}$. Een kwadraat betekent dat je iets keer zichzelf doet. Als we dat hier uitschrijven krijgen we: $(a^3)^2 = a^3 \cdot a^3 = a^{3+3} = a^6$.Bijvoorbeeld: $2^3 \cdot 4^3 = (2\cdot 3)^3 = 6^3$. Er zijn uiteraard meerdere antwoorden mogelijk.We schrijven het helemaal uit: $(-a)^4=-a \cdot -a \cdot -a \cdot -a = a^4$, want $ - \times - = +$. Deze kun je bijvoorbeeld laten zien met een vermenigvuldigingstabel: $\times$$a$$b$$a$$a^2$$ab$$b$$ab$$b^2$Je mist dus de term $+ 2ab$.  Je kunt niet de wortel van een negatief getal nemen. Als je bij deze formule $x=2$ invult komt er precies 0 onder de wortel te staan, maar bij kleinere getallen heeft de formule dus geen uitkomst. Tabel: je kunt beginnen vanaf $x=2$. x2345y478,249,20Teken de grafiek. Let op dat een wortelgrafiek altijd een vloeiende lijn is. Verder moet de grafiek natuurlijk niet stoppen bij x=5 maar moet je de kromme doortrekken. $\frac{24x^4}{6x^2}\cdot 5x = 4x^2 \cdot 5x = 20x^3$$7\cdot\frac{20x^3}{5}\cdot\frac{4x}{8} = 7 \cdot \frac{80x^4}{40} = 7 \cdot 2x^4 = 14x^4$$\frac{-4x+4(3x-10)}{8}=\frac{-4x+12x-40}{8}=\frac{8x-40}{8}=x-5$$\frac{16x^3-6x^5}{x}=16x^2-6x^4$ (want delen door $x$ zorgt dat de macht één lager wordt)$\frac{15-2(11-14x)}{7}=\frac{15-22+28x}{7}=\frac{-7+28x}{7}=-1+4x$$\frac{16x^2}{5x^3} \cdot \frac{5x^4}{2x}=\frac{80x^6}{10x^4}=8x^2$  Dus $a=4$ en $b=2\frac{1}{2}$.Invullen geeft: $\frac{1}{c}=\frac{1}{2\frac{1}{2}}-\frac{1}{4}$Maak de rechter twee breuken gelijknamig om de breuken van elkaar af te kunnen trekken:$\frac{1}{c}=\frac{4}{4 \cdot 2\frac{1}{2}}-\frac{2\frac{1}{2}}{4 \cdot 2\frac{1}{2}}$$\frac{1}{c}=\frac{4}{10} - \frac{2\frac{1}{2}}{10}$$\frac{1}{c}=\frac{1\frac{1}{2}}{10}$Boven en onder $\times 2$ geeft dan:$\frac{1}{c}=\frac{3}{20}$. Je mag de breuken omkeren en zeggen: als $\frac{1}{c}=\frac{3}{20}$, dan is $\frac{c}{1}=\frac{20}{3}$.Dus dan is $c=\frac{20}{3}=6\frac{2}{3}$.We zetten nu in feite dezelfde stappen als bij opgaves a en b.Eerst maken we de rechter breuken gelijknamig en trekken we ze van elkaar af: $\frac{1}{c}=\frac{1}{b}-\frac{1}{a}$ $\frac{1}{c}=\frac{a}{ab}-\frac{b}{ab}$ $\frac{1}{c}=\frac{a-b}{ab}$En nu keren we de breuken om:$\frac{c}{1}=\frac{ab}{a-b}$Dus dan is $c=\frac{ab}{a-b}$. Schrijf de formule $y=4 \cdot 3^{x+2}$ in de vorm $y=b \cdot g^x$:$y=4 \cdot 3^x \cdot 3^2$ (regel $g^a \cdot g^b = g^{a+b}$)$y=4 \cdot 3^x \cdot 9 = 36 \cdot 3^x$.De twee formules zijn hetzelfde.Schrijf de formule $y=16 \cdot 2^{2x+3}$ in de vorm $y=b \cdot g^x$: $y=16 \cdot 2^{2x} \cdot 2^3$ (regel $g^a \cdot g^b = g^{a+b}$)$y=16 \cdot (2^2)^x \cdot 8$ (regel $(g^a)^b=g^{ab}$)$y=128 \cdot 4^x$. De twee formules zijn hetzelfde.Het beste kun je hier de tweede formule omschrijven:$y=\frac{5^{4+x}}{5^{3x}}$ kunnen we met de regel $\frac{g^a}{g^b}=g^{a-b}$ herleiden tot:$y=5^{4+x-3x}$$y=5^{4-2x}$. Nu moeten we de $125$ er voor krijgen, dus herschrijf de exponent:$y=5^{1-2x + 3}$ (regel $g^a \cdot g^b = g^{a+b}$)$y=5^{1-2x} \cdot 5^3 = 5^{1-2x} \cdot 125 = 125 \cdot 5^{1-2x}$. De formules zijn hetzelfde.Schrijf de formule $y= 12 \cdot 2^{4x+6}$ in de vorm $y=b \cdot g^x$: $y=3 \cdot 4 \cdot 2^{4x+6}$$y=3 \cdot 2^2 \cdot 2^{4x+6}$$y=3 \cdot 2^{2+4x+6}$ (regel $g^a \cdot g^b = g^{a+b}$)$y=3 \cdot 2^{4x+8}$$y=3 \cdot (2^2)^{2x+4}$ (regel $(g^a)^b=g^{ab}$)$y=3 \cdot 4^{2x+4}$, dus de formules zijn hetzelfde. Vul $r=\frac{1}{2}$ in bij de formule voor $A$:$A = 4 \pi \cdot (\frac{1}{2})^2$ (denk om de haakjes)$A = 4 \pi \cdot \frac{1^2}{2^2}$ (gebruik de rekenregel $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$$A = 4 \pi \cdot \frac{1}{4} = \pi$. Dus het klopt.Het quotiënt is $\frac{V}{A} = \frac{ \frac{4}{3} \pi r^3}{4 \pi r^2}$. Vul in $r=\frac{1}{2}$:$A = \pi$ (opgave a)$V = \frac{4}{3} \pi \cdot (\frac{1}{2})^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot \frac{1}{2^3} = \frac{4}{3} \pi \cdot \frac{1}{8} = \frac{4}{24} \pi = \frac{1}{6} \pi$.Dit invullen in de breuk $\frac{V}{A}$ geeft inderdaad: $\frac{\frac{1}{6}\pi}{\pi}=\frac{1}{6}$. Vul de formule in en vereenvoudig:$\frac{V}{A} = \frac{ \frac{4}{3} \pi r^3}{4 \pi r^2}$ $\frac{V}{A} = \frac{1}{3} r$Nu staat het gelijk in de juiste vorm (met macht $n=1$). Gebruik de formule uit de vorige opgave.Dan moet dus de waarde van $\frac{1}{3}r < 1$.Dat geldt als $r<3$, dus als de straal maximaal 3 cm groot is.  Schrijf de eerste formule eenvoudiger:$y = 3 \sqrt\frac{15x}{5}+2\cdot 3\sqrt{3x}$$y = 3\sqrt{3x}+6\sqrt{3x}$$y = 9 \sqrt{3x}$Dus ze zijn gelijk. Vereenvoudig de eerste formule:$y=\frac{3\sqrt{96x^2}}{2\sqrt{12x}}+5\sqrt{3}\cdot 2\sqrt{6x}$$y=\frac{3}{2}\sqrt{\frac{96x^2}{12x}}+10\sqrt{18x}$$y=\frac{3}{2}\sqrt{8x}+10\cdot3\sqrt{2x}$$y=\frac{3}{2}\cdot 2\sqrt{2x} + 30\sqrt{2x}$ (want $\sqrt{8x} = \sqrt{4 \cdot 2x} = \sqrt{4}\cdot \sqrt{2x} = 2\sqrt{2x}$$y=3\sqrt{2x}+30\sqrt{2x}$$y=33\sqrt{2x}$.  Vereenvoudig de eerste formule:$y=\sqrt{\frac{2x}{5}} \cdot \frac{\sqrt{15x}}{\sqrt{6}}$$y=\frac{\sqrt{2x}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{15x}}{\sqrt{6}}$$y=\frac{\sqrt{2x} \cdot \sqrt{15x}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{6}}$$y=\frac{\sqrt{30x^2}}{\sqrt{30}}$$y=\sqrt{x^2}$, dus het klopt.  Vereenvoudig:$y=\frac{\sqrt{450x^2}}{\sqrt{3x}}$$y=\sqrt{150x}$$y=\sqrt{25 \cdot 6x}$$y=5 \sqrt{6x}$. De formules zijn inderdaad gelijk. $f(x) = (5x)^{3} \cdot 3x^6 + \frac{8x^{10}}{4x}$Werk haakjes weg en vereenvoudig de breuk:$f(x) = 125x^3 \cdot 3x^6 + 2x^9$ (want $5^3 = 125$ en in de breuk deel je één $x$ weg en houd je $x^9$ over)Dus $f(x) = 375 x^9 + 2x^9 = 377x^9$ $g(x) = \frac{1}{3} \cdot (3x)^4 \cdot x^2$Werk de haakjes uit: $g(x) = \frac{1}{3} \cdot 3^4 x^4 \cdot x^2$Dus $g(x) = \frac{1}{3} \cdot 81 \cdot x^6 = 27x^6$$h(x) = (2x-5)^2$Met een vermenigvuldigingstabel: $\times$$2x$$-5$$2x$$4x^2$$-10x$$-5$$-10x$$+25$Dus $h(x) = 4x^2 -20x + 25$ $k(x) = 5\sqrt{9x} \cdot \sqrt{2x^3}$Breng alles onder één wortel:$k(x) =5 \sqrt{18x^4}$Nu kunnen we de wortel nog vereenvoudigen, want $\sqrt{18}=\sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2}$.Dus $k(x) = 5\cdot 3\sqrt{x^4}=15\sqrt{4x}$ $l(x) = \frac{\sqrt{3x^5}}{\sqrt{2x^4}}$Schrijf als één wortel van een breuk: $l(x) = \sqrt{\frac{3x^5}{2x^4}}$Vereenvoudig nu de breuk. Dat geeft: $l(x) = \sqrt{6x}$. $m(x) = \frac{8x^3 + x^4 \cdot 6x^2}{2x}$Doe eerst de vermenigvuldiging: $m(x) = \frac{8x^3 + 6x^6}{2x}$Splits de breuk en vereenvoudig:$m(x) = \frac{8x^3}{2x} + \frac{6x^6}{2x}$Dus $m(x) = 4x^2 + 3x^5$. $n(x) = \sqrt{6x^3} \cdot \sqrt{3x} \cdot \sqrt{\frac{6x^2}{3x}}$We vereenvoudigen eerst de breuk binnen de wortel: $n(x) = \sqrt{6x^3} \cdot \sqrt{3x} \cdot \sqrt{2x}$Nu brengen we alles onder één wortel (mag zonder tussenstap): $n(x) = \sqrt{6 \cdot 3 \cdot 2 \cdot x^3 \cdot x \cdot x}$Vereenvoudigen geeft: $n(x) = \sqrt{36x^5} = 6\sqrt{x^5}$.