Kern Wiskunde deel A+B - Hoofdstuk 1 - Getallen oefentoetsen & antwoorden

a)  Delers zijn alle getallen waardoor je een getal kunt delen. Priemfactoren zijn delers die ook een priemgetal zijn. Er zijn dus altijd minder priemfactoren dan delers. Een voorbeeld: delers van 12 zijn 1, 2, 3, 4, 6 en 12; maar bij ontbinding van 12 in priemfactoren zijn alleen 2 en 3 de priemfactoren.  b) $a^b \cdot a^c = a^{b+c}$ $\frac{a^b}{a^c}= a^{b-c}$ c) Haakjes, machtsverheffen en worteltrekken, delen en vermenigvuldigen en optellen en aftrekken. Tip: hiervoor is een ezelsbruggetje: Hoe Komen We Van De Onvoldoendes Af - Haakjes, Kwadrateren (en dus Machtsverheffen), Worteltrekken, Vermenigvuldigen, Delen, Optellen, Aftrekken. d) $(\sqrt{a})^2 = a$. (En overigens is ook: $\sqrt{a^2} = a$). e) Ja, dat klopt: $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$. f) Een miljard is $1 \cdot 10^9$. Een duizendste is $1 \cdot 10^{-3}$.   a) Het getal 13 kun je alleen delen door 1 en door zichzelf en is daarom een priemgetal. Het getal 90 kun je delen door 1 en door zichzelf maar ook door bijvoorbeeld 2 en is daarom geen priemgetal. b) $90 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5$. c) Even getallen kun je altijd delen door 2. De enige uitzondering is het getal 2 zelf: dat kun je alleen delen door 1 en 2 (dus door zichzelf) en daarom is 2 een priemgetal.   a) Bijvoorbeeld: $2^3 \cdot 2^5 = 2^8$. Er zijn uiteraard meerdere antwoorden mogelijk. b) We schrijven het helemaal uit: $(-a)^4=-a \cdot -a \cdot -a \cdot -a = a^4$, want $ - \times - = +$. c) Een kwadraat betekent dat je iets keer zichzelf doet. Als we dat hier uitschrijven krijgen we: $(a^3)^2 = a^3 \cdot a^3 = a^{3+3} = a^6$.   a) Nee, je kunt alleen wortels bij elkaar optellen als de wortels gelijksoortig zijn, dus hetzelfde getal onder de wortel hebben. b) Nee, je kunt alleen wortels bij elkaar optellen als de wortels gelijksoortig zijn, dus hetzelfde getal onder de wortel hebben. c) Ja, wortels kun je altijd keer elkaar doen. Hier geeft dat: $\sqrt{15} \cdot \sqrt{7} = \sqrt{105}$. d) Nee, je kunt $\sqrt{131}$ niet verder herleiden, want $131$ is een priemgetal.   a) $10^5 = 100 000$ (5 nullen), dus $2,5 \cdot 10^5 = 250 000$ (de komma schuift 5 plekken naar rechts). b) 1 miljard is $10^9$, dus het antwoord is: $7,2 \cdot 10^9$. c)  Eerste manier: 1 millimeter is 1/1000 meter, dus $10^{-3}$ 24,6 millimeter is dus $24,6 \cdot 10^{-3}$ Let op! Er mag maar één getal vóór de komma. Het eindantwoord is dus: $2,46 \cdot 10^{-2}$. Tweede manier:  24,6 millimeter = 0,0246 m (komma drie plekken naar rechts) Dat is $2,46 \cdot 10^{-2}$ m. Tip: het is $10^{-2}$ omdat er twee nullen vóór het eerste getal, dus vóór de 2, staan.  a) Veelvouden van 4 zijn: 4, 8, 12, … Veelvouden van 12 zijn: 12, 24, … Het kleinste getal dat van zowel 4 als 12 een veelvoud is, is 12. Dus kgv(4, 12) = 12. b)  Veelvouden van 8 zijn: 8, 16, 24, 32, 40, … Veelvouden van 20 zijn: 20, 40, 60, … Dus kgv(8, 20) = 40. c)  De delers van 30 zijn: 1, 2, 3, 5, 6, 15, 30. De delers van 75 zijn: 1, 3, 5, 15, 25, 75. Het grootste getal dat een deler is van zowel 30 als 75 is 15. Dus ggd(30, 75) = 15. d)  Bij drie getallen werkt het precies hetzelfde: De delers van 12 zijn: 1, 2, 3, 4, 6, 12. De delers van 32 zijn: 1, 2, 4, 8, 16, 32. De delers van 56 zijn: 1, 2, 4, 7, 8, 14, 28, 56. Dus ggd(12, 32, 56) = 4. a)  Eerst alle grondtallen gelijk maken. Gebruik dat $25 = 5 \cdot 5 = 5^2$: $5^{-3} \cdot 5^2 \cdot \frac{5}{5^3}$ Nu de breuk. Let op dat $5 = 5^1$! $5^{-3} \cdot 5^2 \cdot \frac{5^1}{5^3}$ $5^{-3} \cdot 5^2 \cdot 5^{-2}$ Nu de machten optellen en aftrekken: $5^{-3 +2-2}=5^{-3}$ b)  $\frac{1}{3} = 3^{-1}$, dus je krijgt: $3^{-1} \cdot 3^{4} = 3^3$. c)  $(1,3)^5 \cdot \frac{(1,3)^2}{(1,3)^3}$ Eerst de breuk: $(1,3)^5 \cdot (1,3)^{-1}$ Machten optellen: $(1,3)^4$ d)  We gaan alles als grondtal 2 schrijven, omdat zowel 4 als 8 een macht van 2 is. $8 = 2^3$ en $\frac{1}{4} = \frac{1}{2^2} = 2^{-2}$, dus: $8 \cdot \frac{1}{4} \cdot 2^4$ = $2^3 \cdot 2^{-2} \cdot 2^4$ =  $2^5$.     a)  $0,9^2 = 0,81$ Daarom is inderdaad $\sqrt{0,81}=0,9$. b) Deze klopt niet, want je kunt niet de wortel trekken van een negatief getal. $\sqrt{-4}$ bestaat niet. c) Deze klopt, want: $7 = \sqrt{49} = < \sqrt{60}$, en ook is $\sqrt{60} < \sqrt{64} = 8$. d)  $\sqrt{1 \frac{9}{16}} = \sqrt{\frac{25}{16}} = \frac{5}{4} = 1 \frac{1}{4}$. Dus dit klopt niet. (Je had ook mogen uitleggen dat $(1 \frac{1}{5})^2 = (\frac{6}{5})^2 = \frac{36}{25} = 1 \frac{11}{25}$, en niet $1 \frac{9}{16}$). e) Deze klopt niet: $\sqrt{4^2+5^2} = \sqrt{15 + 25} = \sqrt{41} \isnot 9$. In het algemeen is natuurlijk wel $\sqrt{a^2} = a$, maar als er meerdere getallen onder de wortel staan klopt het niet meer. f) Deze klopt: want de wortel van een getal dat kleiner is dan 1, is zelf ook kleiner dan 1. (En omgekeerd is de wortel van een getal groter dan 1, zelf ook groter dan 1).    a)  $\sqrt{6}(\sqrt{20}+5\sqrt{2})$ $\sqrt{120} + 5\sqrt{12}$ $\sqrt{4 \cdot 30} + 5 \sqrt{4 \cdot 3}$ $2 \sqrt{30}+10 \sqrt{3}$ b)  $\sqrt{2}{5} \cdot \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{6}}$ $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{6}}$ $\frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{15}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{6}}$ $\frac{\sqrt{30}}{\sqrt{30}}$ $\frac{1}{1}=1$ c)  $\frac{\sqrt{450}}{\sqrt{3}}$ $\sqrt{150}$ $\sqrt{25 \cdot 6}$ $5 \sqrt{6}$ d)  $(2\sqrt{2}-\sqrt{3})^2$ Schrijf eerst de  haakjes uit: $(2\sqrt(2)-\sqrt{3})(2\sqrt{2}-\sqrt{3})$ $2\sqrt{2} \cdot 2 \sqrt{2} - 2\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 2 \sqrt{2} + \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}$ $4 \cdot 2 - 4 \sqrt{6} + 3$ $11 - 4 \sqrt{6}$   $\frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \frac{1}{1} = \frac{1}{\sqrt{2}}$. d)  $\frac{1}{\sqrt{3}}$ is gelijk aan $\frac{1}{3}\sqrt{3}$. Vermenigvuldig daartoe boven en onder met $\sqrt{3}$: $\frac{1 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{1}{3} \sqrt{3}$.   a)  $7 \cdot 15 = 105$ nanometer. $105$ nanometer $= 105 \cdot 10^{-9}$ meter (een nanometer is één miljardste meter). $105 \cdot 10^{-9} = 1,05 \cdot 10^{-7}$ meter. De $7$ staafjes zijn samen dus $1,05 \cdot 10^{-7}$ meter breed. b) We moeten het antwoord geven in nm/s, dus we rekenen eerst de maten om in nm en s. 20 cm = 0,20 m = $0,20 \cdot 10^9$ m 2 dagen = 2 x 24 uur x 60 minuten x 60 seconden = 172 800 seconden Deel door elkaar om nm/s te krijgen: 1157 nm/s. (Dit mag ook met een verhoudingstabel).