Kern Wiskunde deel A+B - Hoofdstuk 3 - Verbanden oefentoetsen & antwoorden

a) De grafiek bij een lineair verband is een rechte lijn.  b) Een formule bij een lineair verband heeft altijd een startgetal en een hellingsgetal / richtingscoëfficiënt.  c) b) Omdat $a > 0$, oftewel: het getal dat vóór de $x^2$ staat is $3$: een positief getal en daarom is de grafiek een dalparabool. Tip: van een dalparabool kun je een lachend mondje maken, dus dat hoort bij een positief getal voor de $x^2$. d) Het zijn de x- en de y-coördinaat van de top, dus de top ligt op $(p, q)$. e)  Bij een omgekeerd evenredig verband hoort de vorm: $y=\frac{c}{x}$. De $y$ wordt net zo veel keer kleiner als de $x$ groter wordt. Bij een hyperbolisch verband staat de variabele ook in de noemer, maar hoeven de variabelen niet omgekeerd evenredig te zijn.    a)    x -3 -2 -1 01 2 3 y 36 16 4 04 16 36   b)  Yrsa heeft de -1 niet tussen haakjes gezet. Daardoor wordt het kwadraat van -1, -1 -1 vermenigvuldigd met 4 wordt -4. (In plaats daarvan had ze dus moeten doen: $4 \times (-1)^2 = 4 \times 1 = 4$. c) Let op dat je assen voldoende ruim zijn om alle punten te bevatten. Je parabool moet een vloeiende lijn zijn.   a)  1: Er zit er een kwadraat in de formule, dus is het een kwadratisch verband. 2: De variabele staat in de noemer, dus hierbij hoort een hyperbolisch verband. Merk op: het is geen omgekeerd evenredig verband, want dan moet het de vorm hebben: $y=\frac{c}{x}$.  3: Dit is een lineair verband, want het heeft de vorm $y= ax + b$. b) Parabolen horen bij kwadratische verbanden, dus bij formule 1.  c) Bij het lineaire verband, dus formule 3. Omdat de richtingscoëfficiënt $a$ kleiner is dan 0 is het een dalende lijn.  a) Het is een evenredig verband, want per cupcake maak je dezelfde vaste winst (en als je bijvoorbeeld twee keer zoveel cupcakes verkoopt maak je ook twee keer zoveel winst).   b) De winst per cupcake is €0,75 - €0,25 = €0,50 Dus formule: $W = 0,50 \cdot a$. c) Je moet uitrekenen wanneer $W = 45$. Dus wanneer is $45 = 0,50a$.  Deel door $0,50$ om $W$ te berekenen: $W = \frac{45}{0,50} = 90$ Conclusie: hij moet 90 cupcakes verkopen. a)  De richtingscoëfficiënt zegt hoeveel de grafiek toeneemt per stap.  Dus als $a=3$ dan zou $y$ voor ieder stapje van $x$ met $3$ moeten toenemen.  Dat klopt:  Van punt A naar punt B gaan we van $x=3$ naar $x=8$ (toename van $5$) en van $y=4$ naar $y=19$ (toename van $15$). Dat klopt met $a=3$, want $3 \cdot 5 = 15$. Of kijk naar punten B en C: $x$ neemt met $2$ toe en $y$ met $6$, en inderdaad is ook weer $3 \cdot 2 = 6$. b)  Lineaire formule: $y=ax+b$. Uit opgave a) gebruiken we dat $a=3$. Bereken b (=startgetal) door een punt te nemen en dit invullen in de formule: Neem bijvoorbeeld punt A; dat geeft $4 = 3 x 3 + b$ De oplossing is: $b = -5$ Dus formule: $y=3x-5$.   a) Vul $5$ in de formule in: $y=16 \cdot 5-2 \cdot 5^2=30$. b)  Het hoogste punt is de top, dus gebruik de formule: $x_{top} = -\frac{b}{2a}$ In deze formule is $a = -2$ en $b=16$.  Dat geeft: $x_{top} = -\frac{16}{2 \cdot -2} = 4$. De hoogte is de $y$, dus vul deze waarde in de formule in: $y_{top} = 16 \cdot 4 - 2 \cdot (4)^2 = 32$. Het hoogste punt is dus 32 meter. c)  Als de bal 8 meter ver komt, moet hij dus na 8 meter op de grond landen. Dan is de grafiek dus op de x-as en daarbij hoort $y=0$.  We gaan dus $8$ invullen in de formule en laten zien dat er inderdaad $y=0$ uitkomt: $y=16 \cdot 8 - 2 \cdot 8^2 = 128 - 128 = 0 $. Het klopt dus. Tip: vind je dit lastig? Kijk dan naar onderstaande schets van de grafiek om te zien wat er gebeurt. De bal begint op x=0 met hoogte y=0, komt in het midden inderdaad maximaal 32 meter hoogt en is na 8 meter weer terug op hoogte 0.   a)  Formule 1:  Deze formule heeft de vorm $y=a(x-p)^2+q$.  In deze vorm zijn de coördinaten van de top $(p, q)$. Hier zijn $a=3, p=-2$ (let op de min!) en $q=10$. Dus coördinaten: $(-2, 10)$. Formule 2: Deze formule heeft de vorm $y=a(x-m)(x-n)$.  Hier zijn $a\frac{1}{4}, m= 1, n=-5$ (let opnieuw op het min-teken!). We kunnen uit deze vorm de snijpunten met de x-as aflezen: dat zijn $(m, 0)$ en $(n, 0)$, dus in dit geval: $(1, 0)$ en $(-5, 0)$. De top ligt op de symmetrie-as, en die ligt midden tussen de snijpunten met de x-as, dus op $x=\frac{1 +-5}{2}=-2$. $y_{top}$ vinden we door $x_{top}$ in de formule in te vullen: $y_{top} = \frac{1}{4}{-2-1}{-2+5}=\frac{1}{4}\cdot -3 \cdot 3 = -2 \frac{1}{4}$. Coördinaten zijn dus: $(-2, -2\frac{1}{4}$. Formule 3: Deze formule heeft de vorm $y=a(x-p)^2+q$. (Want $(2-x)^2 = (x-2)^2$. Dat komt doordat het kwadraat van een negatief getal hetzelfde is als het kwadraat van hetzelfde positieve getal, zoals $(-2)^2 = 2^2 = 4$. We kunnen deze formule dus ook schrijven als: $y=-(x-2)^2$. Werk vooral de haakjes uit om te zien dat je hetzelfde krijgt!) In deze vorm zijn de coördinaten van de top $(p, q)$. Hier zijn $a=-1, p=-2, q=0$. Dus coördinaten: $(-2, 0)$. b) We werken steeds de haakjes uit om toe te werken naar de algemene vorm $y=ax^2 + bx + c$: Formule 1: $y=3(x+2)^2+10$ $y=3(x+2)(x+2)+10$ (of sla deze stap over en gebruik meteen dat $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$) $y=3(x^2+4x+4)+10$ (let op: de haakjes moeten blijven staan!) $y=3x^2+12x+12+10$ $y=3x^2+12x+22$ Formule 2: $y=\frac{1}{4}(x-1)(x+5)$ $y=\frac{1}{4}(x^2-x+5x-5)$ (laat de haakjes nog staan, want alles moet nog keer $\frac{1}{4}$) $y=\frac{1}{4}(x^2+4x-5)$ $y=\frac{1}{4}x^2+x-1\frac{1}{4}$ Formule 3: $y=-(2-x)^2$ $y=-(2-x)(2-x)$ $y=-(4-4x+x^2)$ $y=-x^2+4x-4$.   a)  Merk op dat in alle vormen de $a$ hetzelfde is, en in dit geval gelijk aan $1$.  We moeten nu ontbinden in factoren. Voor het product geldt $-2 \cdot -4 = 8$, en voor de som is $-2 -4 = -8$, dus de $n, m$ zijn $-2$ en $-4$: $y=(x-2)(x-4)$. b)  Voor deze vorm moeten we zorgen dat uit het kwadraat $(x-p)^2$ de juiste termen met $x^2$ en $x$ komen. Via de waarde van het getal $q$ kunnen we het losse getal daarna juist zetten.  $p=-3$ zorgt daarvoor, want $(x-3)^2 = x^2-6x+9$. Het losse getal klopt nog niet. We moeten uitkomen op $+8$, dus er moet $1$ af: $y=(x-3)^2-1$.   a) Geen van beide. Wanneer er meer reizigers in de trein zitten, zal de trein er nog steeds 57 minuten over doen. b)  Evenredig. (Want voor iedere fiets betaal je hetzelfde vaste bedrag).  Voor zes fietsen betaal je €900. Voor tien fietsen betaal je: $\frac{10}{6} \times 900=1500$ euro. c)  Omgekeerd evenredig. (Hoe meer specialisten je inzet, hoe korter het duurt om het internet aan te leggen).  12 specialisten doen er 5 dagen over om internet in de wijk aan te leggen. Om te bereken hoeveel specialisten er nodig zijn om de klus te klaren in 3 dagen, bedenken we dat je bij een omgekeerd evenredig verband altijd een constante hebt (die krijg je door de twee variabelen te vermenigvuldigen).  De constante is hier: $12 \cdot 5 = 60$. Dus je hebt $60 : 3 = 20$ specialisten nodig.   a) Het aantal folders per bezorger is vind je door het totaal aantal folders te delen door het aantal bezorgers Dus 2000 : 10 = 200 b) Omdat het product van het aantal bezorgers en het aantal folders per bezorger altijd gelijk is: totaal worden er 2000 folders bezorgd. Daarbij hoort een omgekeerd evenredig verband. c)  Gebruik de algemene formule voor een omgekeerd evenredig verband: $y=\frac{c}{x}$. c is de constante, en die is hier gelijk aan 2000. Formule : $y=\frac{2000}{x}$. d) Om de grafiek te tekenen, maak je eerst een tabel.   x 10 20 40 50 80 100 y 200 100 50 40 25 20 Tip: $x \cdot y = 2000$ (de constante). a)  De horizontale asymptoot vind je door te kijken wat er gebeurt als $x$ heel groot wordt. Als $x$ in de noemer van een breuk staat, wordt de breuk ongeveer gelijk aan 0 (want je deelt door een heel groot getal). Kijk voor de horizontale asymptoot dus altijd naar die de formule krijgt als de breuk gelijk wordt aan 0. Dat is in dit geval $y=2$. Voor de verticale asymptoot zoek je naar het getal dat je op de plek van $x$ moet invullen om te zorgen dat de noemer van de breuk gelijk wordt aan $0$ (want je kunt niet delen door 0). Dat is hier $x=0$. b) We werken verder steeds op dezelfde wijze als bij opgave a: Horizontale asymptoot is $y= \frac{1}{2}$. Verticale asymptoot is waar de noemer 0 wordt, dus waar $x+4 = 0$. Dat is bij $x=-4$. c)  Horizontale asymptoot is $y=0$. Verticale asymptoot is $x=2$ (want daarvoor geldt dat de noemer, $10-5x = 0$). d) Horizontale asymptoot is $y=1$. Verticale asymptoot is $x=-\frac{1}{3}$, want daar wordt de noemer van de breuk gelijk aan 0.   a)  De getallen 0 en 1 kun je niet gebruiken. Dan moet je namelijk de wortel trekken uit een negatief getal, en de wortel van een negatief getal bestaat niet.  b) Het kleinste getal dat je kunt gebruiken is 2. (Want dan wordt het getal tussen de haakjes 0, en dat is het kleinste getal waarvan je de wortel kunt trekken). Het punt (2,4) is het randpunt van deze grafiek. c)  x 01 2 3 4 5 y k.n. k.n. 4 7 8,24 9,20 d) Let op dat een wortelgrafiek altijd een vloeiende lijn is. Verder moet de grafiek natuurlijk niet stoppen bij x=5 maar moet je de kromme doortrekken.