Kern Wiskunde - Hoofdstuk 5 - De stelling van Pythagoras oefentoetsen & antwoorden

In elke rechthoekige driehoek is $(ene \, rechthoekszijde)^2 + (andere \, rechthoekszijde)^2 = (schuine \, zijde)^2$.Je maakt een schets van de rechte driehoek waarin je de Stelling van Pythagoras gaat toepassen en je geeft de hoekpunten van de driehoek een naam. (Teken eventueel ook een hulplijn).De doorsnede van een voorwerp is de vlakke figuur die je krijgt als je het voorwerp doorsnijdt. $AG$ is de lichaamsdiagonaal. $AH$ is de diagonaal van zijvlak $ADHE$.Als in een driehoek geldt $(ene \, zijde)^2 + (andere \, zijde)^2 = (langste \, zijde)^2$ dan is de hoek tegenover de langste zijde een rechte hoek.De verhoudingen tussen de lengtes van de zijden is $1:\sqrt{3}:2$. Er zijn 3 diagonaalvlakken waarin zowel punt $A$ als punt $G$ een hoekpunt zijn: Maak een assenstelsel en teken de punten. Teken vervolgens langs de roosterlijnen een rechthoekige driehoek waarvan het lijnstuk tussen de punten $A$ en $B$ de schuine zijde is; noem de rechte hoek bijvoorbeeld $\angle P$:Nu kun je met de stelling van Pythagoras in $\triangle BPA$ de lengte van zijde $AB$ berekenen en daarmee de afstand tussen de punten $A$ en $B$.Dat geeft:$a^2+ b^2 = c^2$$AP^2 + BP^2 = AB^2$$8^2 + 6^2 = AB^2$$64 + 36 = AB^2$$AB ^2 = 100$$AB = \sqrt{100} = 10$Dus de afstand tussen $A$ en $B$ is gelijk aan $10$.(Je kunt trouwens ook een andere rechthoekige driehoek tekenen:Dan kun je met de stelling van Pythagoras in $\triangle APB$ de lengte van zijde $AB$ berekenen en daarmee de afstand tussen de punten $A$ en $B$.)  Gebruik eerst $\triangle ABC$ om zijde $AC$ uit te rekenen.We weten $AB =2, BC = 6$. Gebruik de stelling van Pythagoras: $a^2 + b^2 = c^2$ geeft $AB^2 + BC^2 = AC^2$, dus:$2^2 + 6^2 = AC^2$$AC^2 = 4 + 136 = 40$$AC = \sqrt{40}$.Nu kijken we in de schets van opgave a en gebruiken de stelling van Pythagoras in driehoek $ACG$.$a^2 + b^2 = c^2$ geeft $AC^2 + CG^2 = AG^2$, dus:$(\sqrt{40})^2+ 4^2 = AC^2$$AC^2 = 40 + 16 = 56$$AC = \sqrt{56} \approx 7,48$. Een pythagoreïsch drietal voldoet aan $a^2 + b^2 = c^2$. We kunnen het nagaan door te controleren of het voor deze getallen klopt.Vul in: $a^2 + b^2 = 7^2 + 11^2 = 49 + 121 = 170$.$c^2 = 13^2 = 169$Dus $a^2 + b^2 \neq c^2$, dus dit is geen pythagoreïsch drietal. Vul opnieuw in om te controleren of de getallen voldoen aan  $a^2 + b^2 = c^2$:$a^2 + b^2 =24^2 + 45^2 = 576 + 2025 = 2601$$c^2 = 51^2 = 2601$Dus  $a^2 + b^2 = c^2$, dus dit is inderdaad een pythagoreïsch drietal. De getallen (24, 45, 51) hebben als grootste gemeenschappelijke deler het getal 3. Daarom is het geen primitief pythagoreïsch drietal, maar is het een veelvoud (3x) van het primitieve pythagoreïsche drietal (8, 15, 17). Maak eerst een schets en zet de gegevens erin. Maak een hulplijn waarmee je de driehoek doormidden deelt, zodat je een hoogte hebt (want we kunnen de oppervlakte berekenen met de formule O=12×basis×hoogteO = \frac{1}{2} \times basis \times hoogteO=21​×basis×hoogte). Bedenk dat de hoeken van een gelijkzijdige driehoek allemaal 60°60 \degree60° zijn. Met de hoogtelijn ontstaan dus twee 30∘−60∘−90∘30^{\circ}-60^{\circ}-90^{\circ}30∘−60∘−90∘-driehoeken. Geef de hoekpunten een naam zodat je de berekening goed kunt noteren.In driehoek DBCDBCDBC is de verhouding van de zijden DB:DC:BC=1:3:2DB : DC : BC = 1 : \sqrt{3} : 2DB:DC:BC=1:3​:2.Daarom is lengte DC=BD×31=63DC = BD \times \frac{\sqrt{3}}{1} = 6 \sqrt{3}DC=BD×13​​=63​.De oppervlakte van de gelijkzijdige driehoek ABCABCABC is dus: \frac{1}{2} \times basis \times hoogte = \frac{1}{2} \times AB \times DC = \frac{1}{2} \times 12 \times 6\sqrt{3} = 36 \sqrt{3}$. $AB$ is de schuine zijde omdat dit de zijde is die tegenover de rechte hoek van $\triangle ABC$ ligt, dus de stelling van Pythagoras is hier:$AC^2 + BC^2= AB^2$$(6+6)^2 + 12^2 = AB^2$$144 + 144 = AB^2$$288 = AB^2$$AB = \sqrt{288} = 16,97$.Gebruik dat $\triangle ABC$ een gelijkbenige driehoek is. Daarom wordt deze door zijn hoogtelijn $CD$ in twee volledig gelijke driehoeken opgedeeld.$DE$ is een korte zijde in $\triangle ADE$$AD$ is hierin de schuine zijde, met als lengte: $AD = 0,5 \cdot AB = 0,5 \cdot \sqrt{288}$ (vanwege de hoogtelijn. Gebruik de wortel en niet de benadering als je doorrekent, zoals nu)Stelling van Pythagoras in $\triangle ADE$ is:$AE^2 + DE^2= AD^2$$6^2 + DE^2 = (0,5 \cdot \sqrt{288})^2$$36 + DE^2 = 0,5^2 \cdot 288$ (het kwadraat van een wortel is gelijk het getal onder het wortelteken)$36 + DE^2 = 72$$DE^2 = 72 - 36$$DE^2 = 36$$DE = \sqrt{36} = 6$ Maak een eigen schets met alleen de vorm en de maten van het naamplaatje, zet letters bij de hoekpunten, zoek de rechthoekige driehoeken en laat ze duidelijk zien met behulp van een hulplijn:Gevraagd wordt dus naar de lengte van lijnstuk $EQ$. Je ziet dat we in ieder geval de lengte van lijnstuk $DE$ (onderdeel van $EQ$) kunnen berekenen met de stelling van Pythagoras. $DE$ is een korte zijde in $\triangle CDE$:$CD^2 + DE^2 = CE^2$$3^2 + DE^2 =  3,16^2$$9 + DE^2 = 9,9856$$DE^2 = 9,9856 - 9 = 0,9856$$DE = \sqrt{0,9856} = 0,99…$ cm.Aan de linkerkant van het naamplaatje weten we dat lijnstuk $AP$ 9 cm lang is. Als we $AB$ berekenen, kunnen we daarmee ook $BP$ berekenen. Bedenk: deze is even lang als $DQ$ en daarmee kunnen we $EQ$ berekenen.$AB$ is een korte zijde in $\triangle ABC$:$AB^2 + BC^2 = AC^2$$AB^2 + 10^2 =  12,21^2$$AB^2 + 100 = 149,0841$$AB^2 = 149,0841 - 100 = 49,0841$$AB = \sqrt{49,0841} = 7,006…$ cm.$BP$ kunnen we nu berekenen:$BP = 9 - AB = 9 - 7,006… = 1,993...$ cm.En omdat $DQ = BP = 1,993…$ kunnen we nu ook $EQ$ berekenen:$EQ = DE + DQ = 0,99… + 1,993… = 2,986…$ cm.Afgerond op één decimaal: $EQ = 3,0$ cm.De ontbrekende lengte van het naambordje is $3,0$ cm lang. We kunnen zijde $AG$ berekenen in vlak $ACGE$. $CG$ is bekend maar lengte $AC$ moeten we eerst nog berekenen.Voor zijde AC gebruiken we het grondvlak (zie figuur hieronder).We weten AB =8, BC = 14. Gebruik de stelling van Pythagoras: $a^2 + b^2 = c^2$ geeft $AB^2 + BC^2 = AC^2$, dus:$8^2 + 14^2 = AC^2$$AC^2 = 64 + 196 = 260$$AC = \sqrt{260}$.Nu kijken we vervolgens in $\triangle ACG$ om lengte $AG$ te vinden. We weten $AC = \sqrt{260}, CG = 20$. Gebruik de stelling van Pythagoras: $a^2 + b^2 = c^2$ geeft $AC^2 + CG^2 = AG^2$, dus:$(\sqrt{260})^2 + 20^2 = AG^2$$AG^2 = 260 + 400 = 660$$AC = \sqrt{660} \approx 25,7$.De figuur wordt in tweeën gedeeld:Eerst moeten we de lengte van zijde $AI$ vinden om in vlak $AIQE$ de lengte van $EI$ te kunnen berekenen.Kijk in het vlak $ABIJ$. Gebruik Pythagoras in driehoek $ABI$ om zijde $AI$ te berekenen:$a^2 + b^2 = c^2$ geeft $AB^2 + BI^2 = AI^2$, dus:$8^2+ 7^2 = AG^2$$AG^2 = 64 + 49 = 113 $$AC = \sqrt{113}$Nu kunnen we in $\triangle AIE$ de lengte van $EI$ berekenen, opnieuw met Pythagoras:$a^2 + b^2 = c^2$ geeft $AI^2 + AE^2 = EI^2$, dus:$(\sqrt{113})^2 + 20^2 = EI^2$$EI^2 = 113 + 400 = 513$$AC = \sqrt{513} \approx 22,6$. Schets de driehoek: De langste zijde is $KM$, dus $c=65$.$a^2+b^2 = 33^2 + 56^2 = 1089 +3136 = 4225 $$c^2 = 65^2 = 4225$$a^2 + b^2 = c^2$, dus de driehoek is rechthoekig.Schets de driehoek:We moeten eerst nog de lengtes van de zijden vinden. We tekenen hulplijnen zodat we Pythagoras kunnen gebruiken.Voor AB: teken hulplijnen met punt D en gebruik Pythagoras: $a^2 + b^2 = c^2$ geeft $AD^2 + BD^2 = AB^2$$4^2 + 1^2 = AB^2$$AB^2  = 16 + 1 = 17$$AB = \sqrt{17}$Voor BC tekenen we hulplijnen met punt E en gebruiken we opnieuw Pythagoras:$a^2 + b^2 = c^2$ geeft $BE^2 + CE^2 = BC^2$$5^2 + 4^2 = BC^2$$BC^2  = 25 + 16 = 41$$BC = \sqrt{41}$En zijde AC = 6.Nu weten we de lengtes van alle zijden. $BC$ is de langste (reken eventueel na hoe groot $\sqrt{41} is; we laten het als wortel staan en niet als kommagetal zodat we nauwkeurig kunnen doorrekenen). Stelling van Pythagoras invullen geeft: $a^2+b^2 = 6^2 + (\sqrt{17})^2 = 36 + 17 = 53$$c^2 = (\sqrt{41})^2 = 41$Dus $a^2 + b^2 \neq c^2$, dus de driehoek is niet rechthoekig. Om de inhoud te berekenen hebben we de hoogte (AE), de lengte (AB) en de breedte (DA) nodig). Voor $AE$ en $AD$ kijken we in zijvlak $DAEH$.$\triangle DAE$ is een $45 \degree, 45 \degree, 90\degree$-driehoek, dus de verhouding van de zijden $DA : AE : DE = 1:1:\sqrt{2}$. Dus $AD = AE = \frac{DE}{\sqrt{2}} = \frac{9}{\sqrt{2}}$.Nu gaan we in zijvlak $ABFE$ lengte $AB$ berekenen.In $\triangle ABE$ hebben we de langste zijde ($BE=8$) en weten we nu ook de lengte van zijde $AE = \frac{9}{\sqrt{2}}$.Vul de stelling van Pythagoras in om $AB$ te vinden.$a^2 + b^2 = c^2$$AB^2 + AE^2 = BE^2$$AB^2 + (\frac{9}{\sqrt{2}})^2 = 8^2$$AB ^2 + \frac{81}{2} = 64$$AB^2 = 64 - 40\frac{1}{2} = 23\frac{1}{2}$$AB = \sqrt{23\frac{1}{2}}$.De inhoud is lengte x breedte x hoogte = $AB \times DA \times AE = \frac{9}{\sqrt{2}} \times \frac{9}{\sqrt{2}} \times \sqrt{23\frac{1}{2}} \approx 196$ cm$^3$.