Moderne Wiskunde 12e ed deel B - Hoofdstuk 11 - Ontbinden in factoren oefentoetsen & antwoorden

a) Een vermenigvuldigingstabel of boogjes.b) $2$ is een priemfactor maar $24$ is geen priemfactor.Dat komt omdat $24$ deelbaar is door meer dan alleen $1$ en zichzelf.c)Zoek de grootste gemeenschappelijke factor van beide termen.Maak een vermenigvuldigingstabel, vul de twee termen en de gevonden factor in.Vul de ontbrekende factoren in.Schrijf de tweeterm als een product van twee factoren.d) Het product is $6$ en de som is $5$.e) “Het product van twee factoren is nul als ten minste één van de factoren nul is.”f) Dat betekent dat je links en rechts van het gelijkteken hetzelfde erbij doet of eraf haalt zodat je aan één kant van de vergelijking het getal nul krijgt. twee factoren:bijvoorbeeld $36 = 2 \times 16$ maar ook $36 = 3 \times 12$ of $36 = 4 \times 9$ of $36 = 6 \times 6$drie factoren:bijvoorbeeld $36 = 2 \times 3 \times 6$ of $36 = 2 \times 2 \times 9$ of $36 = 3 \times 3 \times 4$vier factoren:$36 = 2 \times 2 \times 3 \times 3$als je $36$ in vier factoren ontbindt, dan heb je $36$ als het product van vier priemfactoren geschreven. Deze priemfactoren kunnen zelf niet verder ontbonden worden. Daarom kun je $36$ in maximaal vier factoren ontbinden en dus niet in vijf. Dat zijn de twee factoren $3x$ en $(2x + 4)$. vermenigvuldigingstabel:$\times$$x$$+3$$x$$x^2$$+3x$$+2$$+2x$$+6$dat betekent dat je de formule $y = (x + 2)(x + 3)$ kunt schrijven als $y = x^2 + 2x + 3x + 6$ en dit kun je herleiden tot de drieterm $y = x^2 + 5x + 6$het product in deze drieterm is gelijk aan $6$ en dat is meteen in de vermenigvuldigingstabel te vinden: $+2 \times +3 = +6$de som in deze drieterm is $5$ en deze som ontstaat bij het herleiden naar een drieterm: je telt $2x$ en $3x$ bij elkaar op en zo ontstaat de $5$ in de term $5x$ Bij de parabool hoort een kwadratische formule.De $x$-coördinaten van de snijpunten van de parabool met de $x$-as bereken je door in de formule voor $y$ de waarde $0$ in te vullen.Je hebt dan een kwadratische vergelijking die je moet oplossen.Als de kwadratische formule een drieterm is, los je de vergelijking op door te ontbinden in factoren.De drieterm bestaat dan uit twee factoren, ieder tussen haakjes.Als je de ene factor $A$ noemt en de tweede factor $B$ dan krijg je de vergelijking $A \times B = 0$.Met de regel $A \times B = 0$ dus $A = 0$ of $B = 0$ los je de vergelijking op.Je hebt dan de $x$-coördinaten van de snijpunten van de parabool met de $x$-as gevonden. Je hebt dan aan de ene kant van het gelijkteken een formule tussen haakjes in het kwadraat en aan de andere kant van het gelijkteken een getal, bijvoorbeeld $(2x - 4)^2 = 7$. Het bordje leg je vervolgens op $(2x - 4)$ en zo kun je de vergelijking verder oplossen. a) Tip: deel het getal eerst zoveel mogelijk door $2$ (de kleinste priemfactor) en, als dat niet meer kan, door $3$ (de eerstvolgende priemfactor) en, als dat niet meer kan, door $5$, en, als dat niet meer kan, door $7$ en als dat niet meer kan, door de eerstvolgende priemfactor etc.$56 = 2 \times 2 \times 2 \times 7$Bedenk: $56x^2 = 56 \times x \times x$$y = 56x^2 = 2 \times 2 \times 2 \times 7 \times x \times x$ of, korter:$y = 56x^2 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 7 \cdot x\cdot x$b)$y = 56x^2 = 7x \cdot 8x$want$7 \cdot 8 = 56$$x \cdot x = x^2$$56 \cdot x^2 = 56x^2$c)Er zijn veel mogelijkheden (zie ook uitwerking vraag a en b):$y = 56 \cdot x \cdot x$$y = 2 \cdot 28 \cdot x^2$$y = 4 \cdot 14 \cdot x^2$$y = 8 \cdot 7 \cdot x^2$$y = 2 \cdot 28x \cdot x$$y = 2x \cdot 28 \cdot x$$y = 4 \cdot 14x \cdot x$$y = 4x \cdot 14 \cdot x$$y = 8 \cdot 7x \cdot x$$y = 8x \cdot 7 \cdot x$Dus als je minimaal vijf van deze tien mogelijkheden hebt, dan heb je het goede antwoord gegeven! a)Tip: gebruik een vermenigvuldigingstabel of boogjes (in deze uitwerking is dat als voorbeeld bij formule A gedaan).De formules B en D zijn hetzelfde als de formule b=12a+36b = 12a + 36b=12a+36.Formule A: b=12(a+36)b = 12(a + 36)b=12(a+36) heeft als vermenigvuldigingstabel:×\times×aaa+36+36+3612121212a12a12a+432+432+432en is dus hetzelfde als formule b=12a+432b = 12a + 432b=12a+432.Formule C: b=6(2a+3)b = 6(2a + 3)b=6(2a+3) is hetzelfde als formule b=12a+18b = 12a + 18b=12a+18want 6×2a=12a6 \times 2a = 12a6×2a=12a en 6 ×3=186  \times 3 = 186 ×3=18.b)Tip: ook nu kun je voor het linker rijtje gebruik maken van een vermenigvuldigingstabel of boogjes…Formule A:r=−3(4s−3)=−3⋅4s+−3⋅−3=−12s+9r = -3(4s - 3) = -3 \cdot 4s + -3 \cdot -3 = -12s + 9r=−3(4s−3)=−3⋅4s+−3⋅−3=−12s+9formule A is hetzelfde als formule 3Formule B:r=3s(3s−4)=3s⋅3s+3s⋅−4=9s2−12r = 3s(3s - 4) = 3s \cdot 3s + 3s \cdot -4 = 9s^2 - 12r=3s(3s−4)=3s⋅3s+3s⋅−4=9s2−12sformule B is hetzelfde als formule 4Formule C:r=4(3s−2)=4⋅3s+4⋅−2=12s−8r = 4(3s - 2) = 4 \cdot 3s + 4 \cdot -2 = 12s - 8r=4(3s−2)=4⋅3s+4⋅−2=12s−8formule C is hetzelfde als formule 1Formule D:r=3s⋅−4s=−12s2r = 3s \cdot -4s = -12s^2r=3s⋅−4s=−12s2formule D is hetzelfde als formule 2 Tip: Gebruik de aanpak (het stappenplan) uit het boek.a) De grootste gemeenschappelijke factor in de termen van formule $y = 9x + 6$ is het getal $3$want $9x = 3 \cdot 3 \cdot x$ en $6 = 2 \cdot 3$.Vermenigvuldigingstabel:$\times$$3$$9x$$+6$Term $9x$ is de te schrijven als $3 \times 3x$ dus linksboven komt $3x$ te staan;term $6$ is te schrijven als $3 \times 2$ dus rechtsboven komt $+2$ te staan:$\times$$3x$$+2$$3$$9x$$+6$Dit geeft de formule $y = 3(3x + 2)$b)De grootste gemeenschappelijke factor in de termen van formule $y = 5x^2 - 20x$ is de term $5x$want $5x^2 = 5 \cdot x \cdot x$ en $-20x = -2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot x$.Vermenigvuldigingstabel:$\times$$5x$$5x^2$$-20x$Term $5x^2$ is de te schrijven als $5x \times x$ dus linksboven komt $x$ te staan;term $-20x$ is te schrijven als $5x \times -4$ dus rechtsboven komt $-4$ te staan:$\times$$x$$-4$$5x$$5x^2$$-20x$Dit geeft de formule $y = 5x(x - 4)$c)De grootste gemeenschappelijke factor in de termen van formule $y = -4x - 16$ is het getal $-4$want $-4x = -2 \cdot 2 \cdot x$ en $-16 = -2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$.Vermenigvuldigingstabel:$\times$$-4$$-4x$$-16$Term $-4x$ is de te schrijven als $-4 \times x$ dus linksboven komt $x$ te staan;term $-16$ is te schrijven als $-4 \times 4$ dus rechtsboven komt $+4$ te staan:$\times$$x$$+4$$-4$$-4x$$-16$Dit geeft de formule $y = -4(x + 4)$d)De grootste gemeenschappelijke factor in de termen van formule $y = 2x - 2x^2$ is de term $2x$want $2x = 2 \cdot x$ en $-2x^2 = -2 \cdot x \cdot x$.Vermenigvuldigingstabel:$\times$$2x$$2x$$-2x^2$Term $2x$ is de te schrijven als $2x \times 1$ dus linksboven komt $1$ te staan;term $-2x^2$ is te schrijven als $2x \times -x$ dus rechtsboven komt $-x$ te staan:$\times$$1$$-x$$2x$$2x$$-2x^2$Dit geeft de formule $y = 2x(1 - x)$e)De termen in formule $y = -4x - 16$ van vraag c) hebben ook het getal $4$ als grootste gemeenschappelijke factor en daarom is deze formule ook te ontbinden als $y = 4(-x - 4)$.De termen in formule $y = 2x - 2x^2$ van vraag d) hebben ook de term $-2x$ als grootste gemeenschappelijke factor en daarom is deze formule ook te ontbinden als $y = -2x(-1 + x)$. a)Afbeelding: de hoogte van de vlag is gelijk aan $k + 3 + k$ meter.Geef de hoogte van de vlag een letter, bijvoorbeeld $h$De bijbehorende formule is dan $h = k + 3 + k$ en dat kun je herleiden tot $h = 2k + 3$b)Bedenk: de oppervlakte van een rechthoek is altijd gelijk aan breedte maal lengte, of, in dit geval: de hoogte keer de breedte.Bedenk: als je de oppervlakteformule ontbind in twee factoren en één van beide factoren is gelijk aan de hoogte…dan moet de andere factor wel gelijk zijn aan de breedte!$A = 10k + 15$ is te ontbinden als $A = 5(2k + 3)$ en inderdaad: één van beide factoren is gelijk aan de hoogte.Daarom moet de breedte van de vlag wel $5$ meter zijn.(als je moeite met het ontbinden van de tweeterm hebt: bedenk dat $5$ de grootste gemeenschappelijke factor is van $10$ en $15$ en gebruik daarmee een vermenigvuldigingstabel zoals gedaan is in de uitwerkingen van vraag 9) a)$y = x^2 - 16x + 28$ heeft als product $+28$ en als som $-16$product getallensom$+28$$1$ en $28$$29$$+28$$-1$ en $-28$$-29$$+28$$2$ en $14$$16$$+28$$-2$ en $-14$$-16$Met behulp van de getallen $-2$ en $-14$ kun je $y = x^2 - 16x + 28$ ontbinden tot $y = (x - 2)(x -14)$b) $y = x^2 +11x + 28$ heeft als product $+28$ en als som $+11$product getallensom$+28$$1$ en $28$$29$$+28$$-1$ en $-28$$-29$$+28$$2$ en $14$$16$$+28$$-2$ en $-14$$-16$$+28$$4$ en $7$$11$Met behulp van de getallen $4$ en $7$ kun je $y = x^2 + 11x + 28$ ontbinden tot $y = (x + 4)(x + 7)$c)$y = x^2 - 3x - 54$ heeft als product $-54$ en als som $-3$product getallensom$-54$$1$ en $-54$$-53$$-54$$-1$ en $54$$53$$-54$ en $2$$-27$$-25$$-54$$-2$ en $27$$25$$-54$$3$ en $-18$$-15$$-54$$-3$ en $18$$15$$-54$$6$ en $-9$$-3$Met behulp van de getallen $6$ en $-9$ kun je $y = x^2 -3x - 54$ ontbinden tot $y = (x + 6)(x - 9)$d)$p = a^2 + a - 72$ heeft als product $-72$ en als som $+1$ (want $+ a$ betekent $+ 1a$).De tabel wordt een lange lijst want $72$ heeft onder andere $2$, $3$, $4$, $6$ en $8$ als factoren en pas bij $8$ vindt je de juiste getallencombinatie, namelijk $-8$ en $9$.Daarmee kun je $p = a^2 + a - 72$ ontbinden tot $p = (a - 8 )(a + 9)$.e)$f = 1 - 2g + g^2$  eerst anders schrijven, met het kwadraat voorop en $1$ aan het eind: $f = g^2 - 2g + 1$$f = g^2 - 2g + 1$ heeft als product $+1$ en als som $-2$.Gebruik eventueel een tabel: al snel zie je dat je de getallen $-1$ en $-1$ nodig hebt.Daarmee kun je $f = g^2 - 2g + 1$ ontbinden tot $f = (g - 1)(g -1)$Deze formule is korter te schrijven als $f = (g - 1)^2$ Tip: Stel het rechterlid gelijk aan nul want de snijpunten met de $x$-as hebben $y$-waarde $0$.Kijk vervolgens eerst of er haakjes in de vergelijking staan.Zo ja, dan kun je meteen de regel $A \times B = 0$ toepassen! a) $-4x(5x - 5) = 0$ (Stel het rechterlid gelijk aan nul) (er staan al haakjes dus meteen $A \times B = 0$)$-4x = 0 \lor 5x - 5 = 0$ ($A = 0$ of $B = 0$) (links beide leden $: -4$ en rechts beide leden $+ 5$)$x = 0 \lor 5x = 5$ (links is klaar en rechts beide leden $: 5$)$x = 0 \lor x = 1$b) $(x - 4)(x + 6) = 0$ (Stel het rechterlid gelijk aan nul) (er staan al haakjes dus meteen $A \times B = 0$)$x - 4 = 0 \lor x + 6 = 0$ ($A = 0$ of $B = 0$) (links beide leden $+ 4$ en rechts beide leden $- 6$)$x = 4 \lor x = -6$c) $12x + x^2  - 13 = 0$ (Stel het rechterlid gelijk aan nul en zet het linkerlid in de goede volgorde)$x^2 + 12x - 13 = 0$ (geen haakjes dus eerst ontbinden; drie termen dus product-som methode met product $-13$ en som $12$: je vindt $-1$ en $13$)$(x - 1)(x + 13) = 0$ ($A \times B = 0$)$x - 1 = 0 \lor x + 13 = 0$ ($A = 0$ of $B = 0$) (links beide leden $+ 1$ , rechts beide leden $- 13$)$x = 1 \lor x = -13$d) $7x^2 - 14x = 0$ (Stel het rechterlid gelijk aan nul) (geen haakjes dus eerst ontbinden; twee termen dus zo groot mogelijk factor buiten haakjes halen: je vindt gemeenschappelijke factor $7x$)$7x(x - 2) = 0$ ($A \times B = 0$)$7x = 0 \lor x - 2 = 0$ ($A = 0$ of $B = 0$) (links beide leden $: 7$ , rechts beide leden $+ 2$)$x = 0 \lor x = 2$ Tip: Kijk eerst of je meteen een bordje kunt gebruiken. Zo nee, kijk dan of de vergelijking al herleid is op nul. Zo ja, kijk dan of er haakjes in de vergelijking staan. Zo ja, dan kun je meteen de regel $A \times B = 0$ toepassen! a) $q^2 - 8q = 9$ (rechterlid nul maken: beide leden $-9$)$q^2 - 8q - 9 = 0$ (drie termen: product-som met product $-9$ en som $-8$ : je vindt $1$ en $-9$)$(q + 1)(q - 9) = 0$ ($A \times B = 0$)$q + 1 = 0 \lor q - 9 = 0$ ($A = 0$ of $B = 0$) (links beide leden $- 1$ , rechts beide leden $+ 9$)$q = -1 \lor q = 9$b) $2h(-h + 3) = 0$ ($A \times B = 0$)$2h = 0 \lor -h + 3 = 0$ ($A = 0$ of $B = 0$) (links beide leden $: 2$, rechts beide leden $- 3$) $h = 0 \lor -h = -3$ (links is klaar, rechts beide leden $: -1$) $h = 0 \lor h = 3$c) $d^2 = 8d$ (rechterlid nul maken: beide leden $- 8d$)$d^2 - 8d = 0$ (twee termen: factor $d$ buiten haakjes halen)$d(d - 8) = 0$ ($A \times B = 0$)$d = 0 \lor d - 8 = 0$ ($A = 0$ of $B = 0$) (links is klaar, rechts beide leden $+ 8$) $d = 0 \lor d = 8$d) $(5 - 2b)^2 = 0$ (links een kwadraat dus een bordje erover leggen) (“bordje” in t kwadraat is nul geeft “bordje” is nul)$5 - 2b = 0$ (beide leden $- 5$)$-2b = -5$ (beide leden $: -2$)$b = 2\frac{1}{2}$e) $(t + 8)(t + 2) = 7$ (links dubbele haakjes maar rechts niet nul: haakjes wegwerken)$t^2 + 10t + 16 = 7$ (rechterlid nul maken: beide leden $-7$)$t^2 + 10t + 9 = 0$ (drie termen: product-som met product $9$ en som $10$ : je vindt $1$ en $9$)$(t + 1)(t + 9) = 0$ ($A \times B = 0$)$t + 1 = 0 \lor t + 9 = 0 $($A = 0$ of $B = 0$) (links beide leden $- 1$ , rechts beide leden $- 9$)$t = -1 \lor t = -9$f) $4k^2 = 144$ (links een kwadraat dus een bordje erover leggen… maar eerst beide leden $: 4$)$k^2 = 36$ (“bordje” in t kwadraat is $36$ geeft…)$k = 6 \lor k = -6$g) $(2a + 2)(a - 1) = 0$ ($A \times B = 0$)$2a + 2= 0 \lor a - 1 = 0$ $($A = 0$ of $B = 0$) (links beide leden $- 2$, rechts beide leden $+ 1$) $2a = -2 \lor a = 1$ (links beide leden $: 2$ , rechts is klaar) $a = -1 \lor a = 1$h) $(2 - g)^2 = 100$ (links een kwadraat dus een bordje erover leggen (“bordje” in t kwadraat is $100$ geeft…)$2 - g = 10 \lor 2 - g = -10$ (links en rechts beide leden $- 2$)$-g = 8 \lor -g = -12$ (links en rechts beide leden $: -1$)$g = -8 \lor g = 12$  a) De vaas ligt tussen de $x$-as (bij $y = 0$) en de horizontale lijn die de parabool en de $y$-as in hetzelfde punt snijdt.Bedenk: als de parabool de $y$-as snijdt, dan is de $x$-waarde gelijk aan $0$Je vult daarom $0$  in de formule $y = x^2 + 5x + 4$ in en dat geeft $y = 0^2 + 5 \cdot 0 + 4 = 4$De vaas is $4$ decimeter hoog.b)Bedenk: de diameter van de onderkant van de vaas is gelijk aan de afstand tussen de twee snijpunten van de parabool met de $x$-as.Om te weten bij welke $x$-waarden de parabool de $x$-as snijdt, los je de vergelijking $x^2 + 5x + 4 = 0$ op:$x^2 + 5x + 4 = 0$ (geen haakjes dus eerst ontbinden; drie termen dus product-som methode met product $+5$ en som$+4$: je vindt $+1$ en $+4$)$(x + 1)(x + 4) = 0$ ($A \times B = 0$)$x + 1 = 0 \lor x + 4 = 0$ ($A = 0$ of $B = 0$) (links beide leden $- 1$ , rechts beide leden $- 4$)$x = -1 \lor x = -4$De parabool snijdt de $x$-as bij $x = -1$ en bij $x = -4$(als je goed kijkt, had je dat ook kunnen gokken vanuit de grafiek!)De afstand tussen de twee snijpunten is te berekenen door de beide $x$-waarden van elkaar af te trekken: $-1 - -4 = 3$(of door af te meten hoeveel er tussen $-4$ en $-1$ in zit)De diameter van de onderkant van de vaas is dus $3$ decimeter.