Moderne Wiskunde 12e ed deel B - Hoofdstuk 10 - Bijzondere lijnen in driehoeken oefentoetsen & antwoorden

Een middelloodlijn is een lijn die door het midden van een lijnstuk gaat en loodrecht op het lijnstuk staat.Een hoogtelijn is een lijn die vanuit een hoekpunt loodrecht op de overstaande zijde staat. Een lijn die een hoek in twee gelijke delen verdeelt.Het punt waar de drie zwaartelijnen (die de zijdes tegenover de hoekpunten in gelijke delen verdeelt) elkaar snijden. Teken eerst lijnstuk AB = 7 cm. Zet je passerpunt in A en teken een halve cirkel met straal 6 cm. Zet je passerpunt in B en teken een halve cirkel met straal 4 cmHet snijpunt van de twee halve cirkels is punt C.Maak de driehoek nu af: teken lijnstuk AC en BC. Zie tekening.Toelichting: het is niet toegestaan om deze zonder passer te doen (met alleen je geodriehoek), want dan werk je niet nauwkeurig genoeg! Bedenk dat een hoogtelijn start in een hoekpunt en loodrecht op de tegenoverliggende zijde van het betreffende hoekpunt staat: Aanpak:Teken zijde $KL$ met lengte $5 cm$Gebruik je geodriehoek om een hoek van $65 \degree$ af te meten(leg de lange kant langs zijde $KL$ met de $0$ precies op punt $K$)enTeken een lijn vanuit punt $K$ waarop zijde $KM$ komt te liggenDoe dit ook om een hoek van $80 \degree$ af te meten en de lijn waarop zijde $LM$ komt te tekenenTeken punt $M$. Tekening: Het betreft de punten die samen de deellijn van $\angle L$ vormen.(Bedenk: de deellijn deelt $\angle L$ precies doormidden, dus je krijgt bij $L$ twee hoeken van ieder $40 \degree$)Maar dan alleen het deel van de deellijn dat binnen $\bigtriangleup KLM$ ligt: Gebruik eerst dat lijn $BD$ een zwaartelijn is:Dus de verhouding van $DZ : BZ = 1 : 2$. Dat betekent dat $BZ = 2 \cdot 3\frac{1}{3} = 6\frac{2}{3}$.Dan is $BD = BZ + DZ = 10$.Zwaartelijn $BD$ deelt zijde $AC$ in twee gelijke delen, dus $AD = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6$.Nu kunnen we in de rechthoekige driehoek $ABD$ de stelling van Pythagoras gebruiken om zijde $AB$ te berekenen:zijdekwadraat$AD = 6$$36$$AB = …$… +$BD = 10$$100$Dus $AB^2=100-36=64$ en dat geeft $AB = \sqrt{64}=8$. De deellijnen gaan door het middelpunt van de ingeschreven cirkel van de driehoek.De middelloodlijnen op de zijden gaan door het middelpunt van de omgeschreven cirkel van de driehoek. Zie tekening. Stappen:Teken lijn AB = 12 cm.Teken de cirkel met straal 7 cm en middelpunt B.Teken de lijn loodrecht op AB, zodat deze lijn in twee delen wordt verdeeld met lengte 8 cm en 4 cm.Het snijpunt van deze loodlijn en de cirkel is punt C. (Nu is de loodlijn ook een hoogtelijn geworden, doordat deze door hoekpunt C gaat). Maak de tekening af door lijnen AC en BC te tekenen.b. Dat zijn de punten op de middelloodlijn van zijde $AC$, hieronder rood getekend. Zorg dat je aangeeft dat de lijnstukken AD en CD even lang zijn (je mag punt D natuurlijk ook een andere naam geven) en geef ook aan dat de lijn loodrecht staat op zijde AC. Er zijn meerdere manieren mogelijk om tot het antwoord te komen, dus je hoeft niet in dezelfde volgorde de hoeken te berekenen als wij hieronder doen.Als eerste kunnen we in $\triangle BEH$ de grootte van $\angle H_4$ berekenen. Hoekensom driehoek: $\angle B_1 + angle BEH + \angle H_4 = 180 \degree$.Dus $\angle H_4 = 180 \degree - \angle B_1 - \angle BEH = 180 \degree - 33 \degree - 90 \degree = 57 \degree$.Om verder te rekenen berekenen we eerst de grootte van hoek $C_1$. Hoekensom driehoek $ADC: \angle A_{12} + \angle ADC + \angle C_1 = 180 \degree$.Dus $\angle C_1 = 180 \degree - 90 \degree - 48 \degree = 42 \degree$.Nu kunnen we $\angle H_2$ berekenen.Hoekensom $\triangle CFH$: $\angle H_2 + \angle CFH + \angle C_1 = 180 \degree$.Dus $\angle $H_2 = 180 \degree - 90 \degree - 42 \degree = 48 \degree$.Je kunt op veel manieren verder. Wij gebruiken dat alle drie de hoeken langs een lijn samen $180 \degree$ zijn (gestrekte hoek). Dus $\angle H_2 +\angle H_3 + \angle H_4 = 180 \degree$, dus $\angle H_3 = 180 \degree - 48 \degree - 57 \degree = 75 \degree$.En overstaande hoeken zijn gelijk, dus $\angle H_1 = \angle H_4 = 57 \degree$, $\angle H_5 = \angle H_2 = 48 \degree$ en $\angle H_6 = \angle H_3 = 75 \degree$. Gebruik de hoekensom van de driehoek $ABC$: dan is $\angle CAB + \angle ACB + \angle CBA = 180 \degree$.Verder weten we dat lijn $BF$ de deellijn is van $\angle CBA$, dus die deelt de hoek in tweeën en $\CBF = \angle FBA$. Dus kun je schrijven dat $\angle CBA = 2 \cdot \angle CBF$.Op dezelfde manier is $\angle BCA = 2 \cdot \angle BCD$, omdat $CD$ de deellijn is van $\angle BCA$.Deze twee gegevens invullen in de hoekensom geeft: $\angle CAB + 2 \cdot \angle CBF + 2 \cdot \angle BCD = 180 \degree$. $\angle CAB = 50 \degree$ (gegeven). Vul dat in de hoekensom in:$\angle CAB + 2 \cdot \angle CBF + 2 \cdot \angle BCD = 180 \degree$, dus$50 \degree + 2 \cdot \angle CBF + 2 \cdot \angle BCD = 180 \degree$Dus $2 \cdot \angle CBF + 2 \cdot \angle BCD = 180 \degree - 50 \degree = 130 \degree$. Delen door twee geeft voor de som van de hoeken: $\angle CBF + \angle BCD = 65 \degree$. Voor $\angle CSB$ kijken we in $\triangle CSB$: daarin zijn ook de drie hoeken gelijk aan $180 \degree$. Om precies te zijn: $\angle CSB + \angle BCS + \angle CBS = 180 \degree$.Gebruik het gegeven uit opgave b om $\angle CBS$ en $\angle BCS$ uit te drukken. Gebruik dat $\angle CBS = \angle CBF, \angle BCS = \angle BCD$ (volgt uit de figuur). Dus $\angle CBS + angle BCS = 65 \degree$.Invullen in de hoekensom van $\triangle CSB$ geeft: $\angle CSB + 65 \degree = 180 \degree$, dus $\angle CSB = 115 \degree$. Tip: zet de gegevens in de tekening, dus welke lijnen parallel zijn en welke hoeken gelijk zijn vanwege de deellijn, zoals hieronder$AD$ is parallel aan $BC$ (parallellogram)Dus $\angle ADE = \angle BED $ (want het zijn Z-hoeken)Vanwege de deellijn geldt dat $\angle ADE = \angle BDE$Hieruit volgt dat $\angle BED = \angle BDE$Omdat deze hoeken gelijk zijn, is aangetoond dat driehoek BDE gelijkbenig is. Toelichting: hier gebruiken we het feit dat in een gelijkbenige driehoek twee hoeken gelijk zijn. Het zwaartepunt verdeelt de zwaartelijnen in stukken die zich verhouden als $2 : 1$. Dus $AZ : ZD = 2 : 1$ en ook $CZ : ZE = 2 : 1$.Dus $ZD = 4$ en $CZ = 6$.Nu kunnen we in de rechthoekige driehoek $CZD$ de stelling van Pythagoras gebruiken om zijde $CD$ te berekenen:zijdekwadraat$CZ = 6$$36$$ZD = 4$$16$ +$CD = ….$Dus $CD^2 = 52$ en dat geeft $CD = \sqrt{52} =\sqrt{4 \cdot 13} = 2\sqrt{13}$. Een hoogtelijn is de loodlijn (loodrecht) vanuit een hoekpunt van de driehoek naar de zijde er tegenover. Lijn $CZ$ is inderdaad de lijn vanuit hoekpunt $C$ loodrecht op zijde $AD$ (want gegeven is dat lijn $CE$ loodrecht staat op lijn $AD$). Om de oppervlakte van driehoeken te kunnen berekenen hebben we de basis en de hoogte en de basis nodig (en dan gebruiken we de formule: Opp. driehoek = $\frac{1}{2}$ x basis x hoogte). We hebben niet de hoogte van heel driehoek $ABC$, maar kunnen de zwaartelijnen gebruiken. Een zwaartelijn verdeelt namelijk de oppervlakte van de driehoek in twee gelijke delen. Kijk in dit geval naar zwaartelijn $AD$: die verdeelt de driehoek in twee delen, driehoeken $ADC$ en $ADB$Van driehoek $ADC$ is de hoogte $CZ = 6$ en de basis $AD = 12$. Dus opp. driehoek $ADC = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 6 = 36$.De totale driehoek $ABC$ is twee maal zo groot en heeft dus oppervlakte $72$.Alternatief mag je natuurlijk ook de driehoek verdelen met zwaartelijn CE: dan kun je van driehoek ACE de oppervlakte berekenen met hoogtelijn AZ = 8. Je komt dan op hetzelfde antwoord uit. Bedenk dat je een driehoek kunt construeren door eerst één van de gegeven zijden te tekenen de andere twee zijden met behulp van een passer af te meten. In dit geval:Kun je met zijde $AB$ met lengte $6 cm$ startenTeken dan met je passer een cirkel met straal $2$ (want $AC$ heeft lengte $2$) en middelpunt $A$ (zet de passerpunt in punt $A$ en meet $2 cm$ af tussen de passerpunt en het passerpotlood)En ook een cirkel met straal $5$ (want $BC$ heeft lengte $5$) en middelpunt $B$ (zet de passerpunt in punt $B$ en meet $5 cm$ af tussen de passerpunt en het passerpotlood)De twee cirkels snijden elkaar in twee punten: kies één van beide als punt $C$(in de afbeelding zie je dat daar de bovenste is gekozen)Teken nu zijde $AC$ en zijde $BC$(in de afbeelding zijn de cirkels voor het overzicht even weggelaten maar in jouw tekening moeten ze blijven staan)Bedenk dat je de omgeschreven cirkel kunt tekenen door eerst de middelloodlijnen op de driehoekszijden te tekenen: het punt waar de middelloodlijnen elkaar snijden is het middelpunt van de omgeschreven cirkel.De middelloodlijn op zijde $AC$ teken je loodrecht op $AC$ en precies door het midden van zijde $AC$(dus op afstand $3$ van punt $A$ en van punt $B$)Zo teken je ook de middelloodlijnen op zijden $AC$ en $BC$(en je zou er eentje kunnen weglaten: 2 middelloodlijnen zijn eigenlijk voldoende om het middelpunt van de omgeschreven cirkel te vinden)Zet dan de passerpunt in het snijpunt van de middelloodlijnen en zet het passerpotlood in één van de drie hoeken van de driehoek: als je het passerpotlood nu gaat draaien zie je dat de cirkel vanzelf ook door de andere twee hoeken van de driehoek gaatDe punten die even ver van $A$ als van $C$ liggen zijn alle punten die op de middelloodlijn van driehoekszijde $AC$ liggen.De punten waarvan de afstand tot $B$ groter is dan $5$ zijn alle punten die buiten de cirkel met straal $5 cm$ en middelpunt $B$ liggen.Als je deze twee eisen combineert, dan voldoen alle punten op de middelloodlijn van driehoekszijde $AC$ die NIET binnen of op de genoemde cirkel liggen:En jouw tekening ziet er, na deze drie deelopgaven, als het goed is zo uit: