Moderne Wiskunde AC 12e ed/FLEX deel 1 - Hoofdstuk 6 - Veranderingen oefentoetsen & antwoorden

a) b)       De formule $\large \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ stelt de gemiddelde verandering van een functie $f$ over een interval $[a, b]$ voor. (Dit wordt ook het differentiequotiënt van $f(x)$ over het interval $[a,b]$ genoemd.) Laat in je schets zien waar $\Delta x$ en $\Delta y$ gevonden kunnen worden! De vorm van je functie $f(x)$ mag je zelf kiezen. De grafiek van $f$ en de lijn $k$ hebben precies één punt gemeenschappelijk (het punt $P$) en snijden elkaar niet. Dan is de helling van de grafiek in punt $P$ gelijk aan de helling van de raaklijn $k$. a) Tussen de punten $A$ en $B$ is er sprake van afnemende daling want (1) de grafiek daalt en(2) de daling neemt geleidelijk afb) Tussen de punten $B$ en $C$ is er sprake van toenemende stijging want (1) de grafiek stijgt en(2) de stijging neemt toec) Tussen de punten $C$ en $D$ is er sprake van afnemende stijging want(1) de grafiek stijgt en (2) de stijging neemt afd) In het punt $B$ wordt een laagste waarde bereikt: De grafiek gaat over van dalend naar stijgend. Er is sprake van een minimum. e) In het punt $C$ is sprake van een buigpunt:De grafiek gaat van toenemend stijgend over naar afnemend stijgend. f) In het punt $D$ wordt een hoogste waarde bereikt: De grafiek gaat over van stijgend naar dalend.  Er is sprake van een maximum. Maak een tabel met punten van de grafiek die voldoenDe grafiek gaat door het punt (2,1)(2,1)(2,1):x0123456y1Δ\DeltaΔyLees de veranderingen uit het toenamediagram en zet die in de tabelx0123456y1Δ\DeltaΔy-13101-1Bepaal de punten van de grafiek voor x2x>2 De verandering tussen x=2x=2x=2 en x=3x=3x=3 is een toename van 111. De grafiek gaat door het punt (3,2)(3,2)(3,2)x0123456y-1-212232Δ\DeltaΔy-13101-1Tip: Controleer de tabel en ga na: De verandering van y tussen x=0x=0x=0 en x=1x=1x=1 is gelijk aan een afname van 1.  Dus als je kijkt vanuit het punt (0,−1)(0,-1)(0,−1) krijg je het punt (1,−2)(1,-2)(1,−2), enz.  Teken in een assenstelsel de punten (0,−1)(0,-1)(0,−1), (1,−2)(1,-2)(1,−2), (2,1)(2,1)(2,1), (3,2)(3,2)(3,2), (4,2)(4,2)(4,2), (5,3)(5,3)(5,3) en (6,2)(6,2)(6,2) aan en teken een grafiek door deze punten. Gevraagd wordt naar het differentiequotiënt van $f$ op het interval $[10,40]$. Het differentiequotiënt is de gemiddelde verandering van $f$ op dit interval:$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{f(40) - f(10)}{40-10}$Tip: Vind je dit lastig? Plot de grafiek op je GR en maak zelf een schets, zoals in deze uitwerking.We bepalen eerst $f(10)$ en $f(40)$ en daarna het differentiequotiënt.$f(10) = -\frac{1}{25} \cdot 10^2 + 4 \cdot 10 - 60 = -4 + 40 - 60 = -24$  $f(40) = -\frac{1}{25} \cdot 40^2 + 4 \cdot 40 - 60 = -\frac{1600}{25} + 160 - 60 = -64 + 160 - 60 = 36$ Bepaal het differentiequotiënt: $\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{f(40)-f(10)}{40-10} = \frac{36 - \, -24}{40 - 10} = \frac{60}{30} = 2$ De helling van de grafiek $f$ in het punt $P$ bepalen we door de helling van de raaklijn $k$ aan de grafiek $f$ in het punt $P$. We kiezen twee geschikte punten op lijn $k$ waarvan de coördinaten goed zijn af te lezen. Hier zijn deze punten gegeven, namelijk punten $A$ en $B$.$A(0,-80)$ en $B(8,100)$ zijn twee punten op lijn $k$.De helling van de raaklijn is ongeveer $\frac{y_B - y_A}{x_A - x_B} = \frac{100 - \, - 80}{8-0} = \frac{180}{8} = 22.5$De helling van de grafiek van $f$ in punt $P$ is gelijk aan de helling van raaklijn $k$, dus gelijk aan $22.5$. Op hoofdlijnen zijn er de volgende stappen:Stap 1: bepaal de toenamenStap 2: teken het toenamediagramStap 3: trek uit Stap 1 en Stap 2 de conclusie  Stap 1: bepaal de toenamenMaak een tabel en bereken de waarden van AAA behorende bij de intervalgrenzen. Bepaal vervolgens ΔA\Delta AΔA.vvvA=0.005v2+0.28vA = 0.005v^2 + 0.28vA=0.005v2+0.28vΔA\Delta AΔA000A(0)=0.005⋅02+0.28⋅0A(0) = 0.005 \cdot 0^2 + 0.28 \cdot 0A(0)=0.005⋅02+0.28⋅0202020A(20)=0.005⋅202+0.28⋅20=7.6A(20) = 0.005 \cdot 20^2 + 0.28 \cdot 20 = 7.6A(20)=0.005⋅202+0.28⋅20=7.67.6=0=7.67.6 = 0 = 7.67.6=0=7.6404040A(40)=0.005⋅402+0.28⋅40=19.2A(40) = 0.005 \cdot 40^2 + 0.28 \cdot 40 = 19.2A(40)=0.005⋅402+0.28⋅40=19.219.2−7.6=11.619.2 - 7.6 = 11.619.2−7.6=11.6606060A(60)=0.005⋅602+0.28⋅60=34.2A(60) = 0.005 \cdot 60^2 + 0.28 \cdot 60 = 34.2A(60)=0.005⋅602+0.28⋅60=34.234.8−19.2=15.634.8 - 19.2 = 15.634.8−19.2=15.680808054.454.454.419.619.619.610010010078787823.623.623.6120120120105.6105.6105.627.627.627.6Stap 2: teken het toenamediagram:Stap 3: trek uit Stap 1 en Stap 2 de conclusie:Uit de tabel en het toenamediagram is te zien dat de toenamen van AAA steeds groter worden. AAA is dus toenemend stijgend. Om 08:00 uur is het aantal reizigers toegenomen met $6$ ten opzichte van 07:00 uur, om 09:00 uur is het aantal reizigers toegenomen met $2$ ten opzichte van 08:00 uur, dus met $6+2 = 8$ passagiers ten opzichte van 07:00 uur.Zet dit in een tabel$tijd$$7:00$$8:00$$9:00$$10:00$$11:00$$12:00$$13:00$$14:00$$\Delta N$-$6$$2$$-10$$-5$$4$$5$$1$$N$$n$$n+6$$n+8$$n-2$$n-7$$n-3$$n+2$$n+3$Stel vast dat er nooit een negatief aantal reizigers in de bus kunnen zitten. Dan moet altijd $n - 7 \geq 0$, dus $n$ is minimaal 7. Conclusie: Om 07:00 uur zitten minstens $7$ reizigers in de bus. Op hoofdlijnen zijn er volgende stappen:Stap 1: Bepaal de maximale daling van de overkappingStap 2: Bepaal de maximale daling van de trapStap 3: Laat zien dat de maximale daling van de trap groter is dan de maximale daling van de overkappingStap 1: Bepaal de maximale daling van de overkappingAAA is een buigpunt: tussen PPP en AAA is sprake van toenemende daling, tussen AAA en QQQ is sprake van afnemende daling. De daling in AAA is maximaal.Benader grafisch de helling van de grafiek in punt AAA.De raaklijn gaat ongeveer door P(2,7)P(2,7)P(2,7) en Q(14,2)Q(14,2)Q(14,2).De helling is ongeveer:2−714−2=−512≃−0.42\frac{2-7}{14-2} = \frac{-5}{12} \simeq -0.4214−22−7​=12−5​≃−0.42Conclusie: De helling van de raaklijn in punt AAA is dus ongeveer −0.42- 0.42−0.42.Stap 2: Bepaal de maximale daling van de trap:Schat de coördinaten van de punten BBB, CCC, DDD en EEE: B(3,4)B(3,4)B(3,4), C(7,2)C(7,2)C(7,2), D(815,2)D(8 \frac{1}{5}, 2)D(851​,2) en E(1215,0)E(12 \frac{1}{5}, 0)E(1251​,0).Tip: Het is mogelijk dat bij het aflezen van de x-coördinaat van DDD en EEE een andere waarde wordt afgelezen. Een afwijking van ±110\pm \frac{1}{10}±101​ wordt niet fout gerekend.Tussen punten B(3,4)B(3,4)B(3,4) en C(7,2)C(7,2)C(7,2) is sprake van constante daling. De helling is ongeveer:2−47−3=−24≃0.50\frac{2-4}{7-3} = \frac{-2}{4} \simeq 0.507−32−4​=4−2​≃0.50Tussen punten D(815,2)D(8 \frac{1}{5}, 2)D(851​,2) en E(1215,0)E(12 \frac{1}{5}, 0)E(1251​,0) is sprake van constante daling. De helling is ongeveer:0−21215−815=−24≃−0.50\frac{0-2}{12 \frac{1}{5} - 8 \frac{1}{5}} = \frac{-2}{4} \simeq -0.501251​−851​0−2​=4−2​≃−0.50Stap 3: Laat zien dat de maximale daling van de trap groter is dan de maximale daling van de overkappingDe helling van de trap is ongeveer −0.50-0.50−0.50. De maximale helling van de overkapping is ongeveer −0.42-0.42−0.42 en is groter dan de helling van de trap.Conclusie: De trap daalt sneller en is dus steiler dan de maximale helling van de overkapping.