Moderne Wiskunde A 12e ed/FLEX deel 1 - Hoofdstuk 5 - Lineaire en exponentiële groei oefentoetsen & antwoorden

a) Er is sprake van een lineair verband tussen twee variabelen als er sprake is van een constante toename of constante afname. Voorbeeld: het bedrag dat je betaalt voor de huur van een bestelbus, neemt met een vast bedrag toe voor elke kilometer die je met de bestelbus aflegt. In de grafiek hieronder is te zien dat voor elke afgelegde $10$ kilometer het te betalen bedrag met $5$ euro toeneemt. De grafiek is een rechte lijn.b) Bij een procentuele toename $12.5 \%$ kun je de vermenigvuldigingsfactor berekenen:De oude prijs komt overeen met $100 \%$.Als het bedrag toeneemt met $12.5 \%$, dan komt de nieuwe prijs overeen met $100 \% + 12.5 \% = 112.5 \%$.De factor is $\frac{112.5}{100} = 1.125$.c) Bij vermenigvuldiging met een factor $0.85$ kun je de procentuele afname berekenen:De oude prijs komt overeen met $100 \%$Als de factor $0.85$ is, komt de nieuwe prijs overeen met $0.85 \cdot 100 \% = 85 \%$De procentuele afname is $100 \% - 85 \% = 15 \%$.d) Een algemene formule voor een exponentieel verband is van de vorm $N = b \cdot g^t$, hierbij is:$N$ de hoeveelheid op tijdstip $t$$b$ de beginhoeveelheid, dat is de hoeveelheid op tijdstip $t=0$.$g$ de groeifactor per (tijds)eenheid Een lineaire vergelijking heeft een algemene vorm: $y = ax + b$ waarbij een lineair verband is tussen $y$ en $x$. Hier is sprake van een lineair verband tussen de kosten $K$ en het aantal dagen t dat de machine wordt gehuurd want de kosten nemen toe met een vast bedrag voor elke dag dat de machine wordt gehuurd. Dus $K = a \cdot t + b$, waarbij er een lineair verband is tussen $K$ en $t$$K$ de totale huurkosten$a$ de toename kosten in Euro per dag$b$ de vaste kosten in Euro om de machine te brengen en op te halen en $t$ het aantal dagen dat de machine wordt gehuurd.De kosten nemen met een vast bedrag per dag dat de machine wordt gehuurd toe, nl. € $450$ per dag: $a = 450$De beginkosten bedragen een vast bedrag, namelijk € $1000 : b = 1000$Dus $K = 450t + 1000$ a) Bij een procentuele afname van $12.7 \%$ kun je de groeifactor berekenen:De oude prijs komt overeen met $100 \%$.Als het bedrag afneemt met $12.7 \%$, dan komt de nieuwe prijs overeen met $100 \% - 12.7 \% = 87.3 \%$.De groeifactor is $\frac{87.3}{100} = 0.873$.b) Bepaal eerst de groeifactor per maand en vervolgens de groeifactor per kwartaal. Bedenk dat een kwartaal bestaat uit drie maanden.De oude prijs komt overeen met $100 \%$.Als het bedrag afneemt in een maand met $6.8 \%$ dan komt de prijs na één maand overeen met $100 - 6.8 \% = 93.2 \%$.De groeifactor per maand is dan $\frac{93.2}{100} = 0.932$.De groeifactor per twee maanden is $0.932 \cdot 0.932 = 0.932^2$.De groeifactor per drie maanden, dus per kwartaal is $0.932 \cdot 0.932 \cdot 0.932 = 0.932^3 \approx 0.810$.Dit betekent dat na drie maanden het afnamepercentage $100\% - 81 \% = 19 \%$c) Bepaal eerst de groeifactor per dag en vervolgens de groeifactor per uur. Bedenk dat een dag bestaat uit 24 uren.De oude prijs komt overeen met $100 \%$.Als de oude prijs in een dag toeneemt met $26.4 \%$ dan is de nieuwe prijs na één dag $100 \% + 26.4 \% = 126.4 \%$.De groeifactor per dag is dan $\frac{126.4}{100} = 1.264$.Voor de groeifactor $g$ per uur geldt $g^{24} = 1.264$ (= groeifactor per dag).De groeifactor per uur is dan $g = 1.264^{\frac{1}{24}} = \sqrt[24]{1.264} \approx 1.00981$.Het groeipercentage per uur is dan $0.981 \%$. a) De totale kosten bestaan uit een optelling van de kosten voor de huur van tennisbanen, de bijdrage aan de bond en de kosten voor de organisatie van tennisevenementen. Gevraagd wordt welk deel de kosten van de huur van tennisbanen deel uitmaakt van de totale kosten uitgedrukt in een percentage.Kosten huur tennisbanen = 136.Totaal kosten = 174.Percentage van totale kosten dat aan huur tennisbanen wordt besteed:$\frac{huur \, tennisbanen}{totaal \, tennisbanen} \cdot 100 \% = 78.16 \% \approx 78 \%$b) Zet het toenamepercentage eerst om in een groeifactor. Bereken vervolgens de groei over 10 jaar.Stel de huur in 2021 komt overeen met $100 \%$.Als de nieuwe huur in een jaar toeneemt met $1.9 \%$ dan is de nieuwe prijs na één jaar $100 \% + 1.9 \% = 101.9 \%$.De groeifactor per jaar is dan $\frac{101.9}{100} = 1.019$.De huur na 10 jaar komt dan overeen met een groei van $1.019^{10}$.De huur na 10 jaar is dan $136 \cdot 1.019^{10} = 164.165 \approx 164$ duizend euro (let op dat de bedragen in de tabel in duizenden euro’s zijn).     c) Oplossing met gebruikmaking van negatieve exponenten:De huur in 2020 bedraagt: $136 \cdot 1.019^{-1}$ duizend euro.De huur in 2019 bedraagt: $136 \cdot 1.019^{-2} = 130.976 \approx 131$ duizend euro.Een oplossing is ook als volgt te beredeneren:De huur in 2020 is weer verhoogd met $1.9 \%$ ten opzichte van de huur in 2019: $huur \, 2020 = 1.019 \cdot huur \, 2019$.De huur in 2021 is weer verhoogd met $1.9 \%$ ten opzichte van de huur in 2020: $huur \, 2021 = 1.019 \cdot huur \, 2020$.Dus:$huur \, 2019 \cdot 1.019 \cdot 1.019 = huur \ 2021$$huur \, 2018 \cdot 1.019^2 = huur \ 2021$$huur \, 2018 = \frac{huur \, 2021}{1.019^2} = \frac{136}{1.019^2} = 130.976 \approx 131$De huur in 2018 bedroeg dus $131$ duizend euro.Opmerking: De gegevens zijn gegeven in duizenden euro's. Het antwoord wordt eveneens in duizenden euro's gegeven. a) Stel vast dat de hoge schatting tussen de jaren 1994 en 1999 lineair kan worden benaderd. De vergelijking heeft dus een vorm: $y = ax + b$. Bepaal vervolgens richtingscoëfficiënt $a$ en startgetal $b$ en schrijf tenslotte de vergelijking op:Een lineaire vergelijking is van de vorm $y = ax + b$. Een vergelijking van het verband tussen het uitgavebedrag $B$ en de tijd $t$ in jaren is gevraagd. Dus, neem als vergelijking $B = at + b$ (In plaats van $y$ nemen we het bedrag $B$ van de uitgave, in plaats van $x$ nemen we de tijd $t$ in jaren)Bepaal eerst het bedrag $B$ voor $t = 0$ (1994) en voor $t = 5$ (1999). De gegevens zijn nodig om de constante verandering per jaar te berekenen (richtingscoëfficiënt $a$)De constante verandering per jaar, oftewel de richtingscoëfficiënt:$a = \frac{\Delta B}{\Delta t} = \frac{56 - 37}{5 - 0} = \frac{19 \, miljard \, dollar}{5 \, jaar} = 4.8$ miljard dollar per jaar.Het startgetal is de waarde van het bedrag $B$ voor $t=0$, dus $b = 37$.Met $a = 4.8$ en $b = 37$ wordt de vergelijking $B = 4.8t + 37$ (miljard dollar).b) In de opgave wordt vermeld dat tussen 2001 en 2005 de groei van de uitgaven exponentieel is. De groeifactor over deze vier jaren wordt bepaald en daarna omgerekend naar een groeifactor per jaar. Deze groeifactor kan worden omgezet naar een groeipercentage per jaar:Bepaal eerst het bedrag $B$ voor het jaar 2001 en voor het jaar 2005:De groeifactor over vier jaren (2001-2005) is dus $\frac{93}{65}$.Stel de groeifactor per jaar $g$, dan geldt voor de groei over vier jaar:$g^4 = \frac{93}{65}$Dus:$(g^4)^{\frac{1}{4}} = (\frac{93}{65})^{\frac{1}{4}}$$g = (\frac{93}{65})^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{\frac{93}{65}} \approx 1.094$Extra toelichting over gebruikte rekenregels machten:$(x^a)^b = x^{a \cdot b}$, dus $(g^4)^{\frac{1}{4}} = g$ is de groeifactor per jaar.$\sqrt[q]{x^p} = x^{\frac{p}{q}}$, dus $(\frac{93}{65})^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{\frac{93}{65}}$Het groeipercentage is $(\sqrt[4]{\frac{93}{65}} - 1) \cdot 100 \% = (1.094 - 1) \cdot 100 \% \approx 9.4 \%$.c) De algemene formule van een exponentieel verband is van de vorm $N = b \cdot g^t$. Bepaal groeifactor per tijdseenheid $g$ en de beginhoeveelheid $b$: Het exponentieel verband is van de vorm: $B = b \cdot g^t$ (hierbij is in de plaats van $N$ de variabele $B$ genomen).De groeifactor per jaar is bepaald in onderdeel b: $g = 1.094$.De beginhoeveelheid kan worden bepaald aan de hand van een bekend bedrag $B$ voor een bepaalde waarde van $t$. Uit de grafiek volgt dat voor $t = 7$ (2001) geldt $B = 65$ miljard dollar. Er geldt:$B = b \cdot g^t$dus$65 = b \cdot 1.094^7$en er volgt$b = \frac{65}{1.094^7} \approx 34.7$ miljard dollarDe exponentiële vergelijking wordt:$B = 34.7 \cdot 1.094^t$ (waarbij geldt $7 \leq t \leq 11$)Waarbij $B$ het bedrag in miljard dollar, $t$ de tijd in jaren.  Toelichting: het gevonden exponentieel verband geldt alleen voor de jaren tussen 2001 en 2005, dus $7 \leq t \leq 11$. Er is sprake van een exponentieel proces. Reken eerst het rentepercentage per jaar om in een groeifactor per jaar. Bepaal daarna wat de hoeveelheid is vijf jaar eerder.Het stortingsbedrag komt overeen met $100 \%$.Als de oude prijs in een jaar toeneemt met $4.5 \%$ dan is de nieuwe prijs na één jaar $100 \% + 4.5 \% = 104.5 \%$.De groeifactor per jaar is dan $\frac{104.5}{100} = 1.045$Mogelijkheid I: De hoeveelheid op $t=0$ is bekend. Bepaald moet worden wat de hoeveelheid vijf jaar eerder is.De exponentiële vergelijking is $B = B_0 \cdot g^t$, waarbij $B_0$ het beginbedrag $t=0$ is en $g$ de groeifactor per jaar.Het bedrag op $t=0$ is $B_0 = 30000$.De rente per jaar bedraagt $4.5 \%$. De groeifactor per jaar is $g = 1.045$.De hoeveelheid 5 jaren voor $t=0$ bedroeg: $B = 30000 \cdot 1.045^{-5} = 24073.53$’Mogelijkheid II: De hoeveelheid op $t=5$ is bekend. Bepaald moet worden wat de hoeveelheid vijf jaar eerder op $t=0$ is.De exponentiële vergelijking is $B = B_0 \cdot g^t$, waarbij $B_0$ het beginbedrag $t=0$ is en $g$ de groeifactor per jaar.Het bedrag op $t=5$ is $B=30000$.De rente per jaar bedraagt $4.5 \%$. De groeifactor per jaar is $g = 1.045$.De hoeveelheid na 5 jaren is $B = B_0 \cdot 1.045^5 = 30000$.Hieruit kan het te storten bedrag, de beginhoeveelheid $B_0$ worden berekend: $B_0 = \frac{30000}{1.045^5} \approx 24073.53$Kees moet een storting doen van € $24073.53$ om over vijf jaar een bedrag van precies € $30000$ te kunnen ontvangen. a) Merk op dat in de periode 2011-2013 de gemiddelde koopsom telkens met een gelijk bedrag daalt ten opzichte van het jaar daarvoor. De grafiek is over deze periode een rechte lijn en er is sprake van een constante afname. De gemiddelde koopsom $P$ wordt benaderd met een lineaire vergelijking $P = at + b$ (vergelijk: $y = ax + b$).Voor $t = 9$ is $P = 240059$Voor $t = 11$ is $P = 213353$De verandering per jaar is $\frac{213353 - 240059}{11-9}= -13353$.Negatief, dus elk jaar later een afname.Op $t=0$ is dan $P = 240059 - 9 \cdot - 13353 = 360236$.De formule wordt: $P = -13353t + 360236$.Merk op dat deze formule alleen voor $9 \leq t \leq 11$ een benadering van de waarnemingen oplevert.b) Merk op dat in de periode 2009-2011 de woningprijzen stabiel zijn. De gemiddelde koopsom $P$ wordt benaderd met $P = c$ waarbij $c$ wordt benaderd door de gemiddelde koopsom in de periode 2009-2011 (vergelijk een lijn parallel met de y-as: $y=c$).De gemiddelde koopsom in deze periode is $\frac{238259 + 239530 + 240059}{3} = 239283$.De formule wordt: $P = 239283$.Merk op dat deze formule alleen voor $7 \leq t \leq 9$ een benadering van de waarnemingen oplevert.c) Merk op dat in de periode 2002-2006 de toename van de koopsommen telkens groter wordt ten opzichte van het jaar daarvoor. De gemiddelde koopsom $P$ wordt benaderd met een exponentiële formule: $P = P_0 \cdot g^t$, waarbij $P_0$ de gemiddelde koopsom is in op $t=0$, het jaar 2002 en $g$ de groeifactor per jaar is. Uit de tabel volgt voor $t=4$ is $P = 235843$ en voor $t=0$ is $P = 199752$.Invullen van de gegevens levert:$235843 = 199752 \cdot g^4$$g^4 = \frac{235843}{199752}$$g = (\frac{235843}{199752})^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{\frac{235843}{199752}} \approx 1.0424$De formule wordt: $P = P_0 \cdot g^t = 199752 \cdot 1.0424^t$.Merk op dat deze formule alleen voor $0 \leq t \leq 4$ een benadering van de waarnemingen oplevert. d) Jaar 2013 komt overeen met $t=11$. Substitueer $t=11$ in de gevonden formule: $P = 199752 \cdot 1.0424^{11} = 315405$. In 2013 zou de gemiddelde koopsom $315405$ zijn geweest indien de groei volgens het gevonden exponentiële verband over 2002-2008 zou zijn voortgezet.