Moderne Wiskunde AC 12e ed/FLEX deel 2 - Hoofdstuk 8C - Vorm en ruimte oefentoetsen & antwoorden

a) Indien twee figuren gelijkvormig heten, wordt elke lengte uit de tweede figuur worden berekend door een lengte in de eerste figuur te vermenigvuldigen met een zelfde  (vergrotings)factor. b) Indien twee figuren gelijkvormig heten, dan is elke hoek in de tweede figuur precies even groot als elke overeenkomstige hoek in de eerste figuur. Er zijn drie vormen van symmetrie: lijnsymmetrie, draaisymmetrie en puntsymmetrie. Bij de lijnsymmetrie wordt de figuur gespiegeld in een lijn, bij draaisymmetrie wordt de figuur gedraaid om een punt en bij puntsymmetrie wordt de figuur gespiegeld in een punt, zodanig dat na spiegeling of draaiing de figuur samenvalt met de oorspronkelijke figuur.a) Er is sprake van draaisymmetrie bij een figuur wanneer je de figuur:om een bepaald punt (het draaipunt) kunt draaienover een bepaalde hoekwaarbij de figuur samenvalt met de oorspronkelijke figuurVoorbeeld: Vierhoek ABCD is een vierkant. Het punt M is het snijpunt van de diagonalen AC en BD. Wanneer het vierkant om punt M wordt gedraaid over een hoek van 90° dan valt elk punt van de figuur na draaiing over 90° samen met de oorspronkelijke figuur. In het bijzonder A wordt afgebeeld op D, B wordt afgebeeld op A, etc. De kleinste draaihoek waarover je de figuur kunt draaien om punt M is 90°.b) Er is sprake van puntsymmetrie bij een figuur wanneer:er bestaat een punt is (centrum van puntsymmetrie)waarbij je elk punt van de figuur kunt spiegelen in dat punten elk beeldpunt samenvalt met een punt op de figuurVoorbeeld: Het punt M is het centrum van puntsymmetrie. Elke willekeurig gekozen punt A van de figuur (de cirkel c) heeft een beeldpunt A' die ook weer op de figuur (de cirkel c) ligt.c) Er is sprake van lijnsymmetrie bij een figuur wanneer:Er één of meer lijnen bestaan (symmetrie-assen)Waarbij je elk punt van de figuur kunt spiegelen in de symmetrie-aszodanig dat elk beeldpunt samenvalt met een putn op de figuurVoorbeeld: Het vierkant ABCD heeft vier symmetrie-assen. Ga na dat bij elke symmetrie-as elk willekeurig punt op het vierkant na spiegeling in de symmetrie-as weer op het vierkant valt. a) De cilinder heeft een hoogte h=10h = 10h=10 cm en de straal r=5r = 5r=5 cm van het cirkelvormige grondvlak.  Maak een visuele voorstelling hiervan en zet er de maten bij.Het grond- en bovenvlak heeft de vorm van een cirkel. Voor de oppervlakte van het grondvlak GGG geldt: G=πr2G = \pi r^2G=πr2Voor de inhoud III van de cilinder geldt: I=G⋅g=πr2hI = G \cdot g = \pi r^2 hI=G⋅h=πr2hBerekening: I=π⋅52⋅10=250π≈785I = \pi \cdot 5^2 \cdot 10 = 250 \pi \approx 785I=π⋅52⋅10=250π≈785 cm3^33b) Twee stappen:Stel vast dat de twee cilinders gelijkvormig zijn. Immers elke afmeting van de tweede cilinder is twee keer groter dan van de eerste cilinder. De vergrotingsfactor is 2.Dan is de inhoud van de tweede cilinder 23=82^3 = 823=8 keer groter dan de inhoud van de eerste cilinder. Elke kubus heeft een breedte, diepte en hoogte.a) Bij het vooraanzicht teken je breedte en hoogte van de kubussen op de juiste schaal.b) Bij het bovenaanzicht teken je breedte en diepte van de kubussen op de juiste schaal.c) Bij het linkerzijaanzicht teken je diepte en hoogte op de juiste schaal. Het werkelijke schip en het schaalmodel zijn gelijkvormig. Tip: rangschik de bekende gegevens in een verhoudingstabel. a) De schaal is $1 : 200$. De lengte van het schaalmodel is $\frac{251 \, m}{200} = 125$ cm.b) De schaal is $1 : 200$. De werkelijke breedte en hoogte zijn 200 keer groter dan de breedte en hoogte van het schaalmodel:Werkelijke breedte: $200 \cdot 18 \, cm = 3600 \, cm = 36 \, m$Werkelijke hoogte: $200 \cdot 32 \, cm = 6400 \, cm = 64 \, m$ Bereken eerst de afmetingen van een kleine rechthoek in het kunstwerk. Bepaal de beide verhoudingen en vervolgens of zij aan elkaar gelijk zijn. Schrijf tot slot de conclusie op. Berekening afmetingen van kleine rechthoek In de hoogte bestaat het kunstwerk uit 41 rijen die gezamenlijk een hoogte hebben van $41.9$ cm. In de breedte bestaat het kunstwerk uit 83 kolommen met een gezamenlijke breedte $114.9$ cm.Korte zijde kleine rechthoek:$k = \frac{41.9}{41} \approx 1.02$ cmLange zijde kleine rechthoek:$l = \frac{114.9}{83} \approx 1.38$ cmBereken de verhouding: $k : l$$k : l = \frac{1.02}{1.38} \approx 0.74$Bereken de verhouding: $l : (k + l)$$l : (k + l) = \frac{1.38}{1.02 + 1.38} \approx 0.58$Dus de twee berekende verhoudingen zijn niet gelijk aan elkaar:$k : l \approx 0.74 \neq 0.58 \approx l : (k + l)$Conclusie: de kleine rechthoek heeft geen gulden-snede-verhouding. Bij het vooraanzicht teken je de lengte en de hoogte van de kast op de juiste schaal.De werkelijke lengte is $168$ cm. Getekend op een schaal $1:10$ wordt dit $16.8$ cm.De lengte van één deel is de helft van de totale, $84$ cm.Getekend op een schaal $1 : 10$ wordt dit $8.4$ cm.De werkelijke hoogte is $40$ cm.Getekend op een schaal $1 : 10$ wordt dit $4.0$ cm. Vormen van symmetrie: (1) lijnsymmetrie, (2) puntsymmetrie (3) draaisymmetrie(1) lijnsymmetrieLijnsymmetrisch in twee assenIn de schets zijn de twee symmetrie-assen met dunne lijnen aangegeven.(2) puntsymmetriePuntsymmetrischIn de schets wordt laten zien dat elk willekeurig punt van de figuur bij spiegeling in het punt van symmetrie $M$ een beeldpunt op dezelfde figuur oplevert.(3) draaisymmetrischKleinste draaihoek $180 \degree$ Het draaipunt is het punt $M$ en de kleinste draaihoek is $180 \degree$. a) Bepaal de vermenigvuldigingsfactor van het kleinste ten opzichte van de grootste poppetje. Bepaal de vermenigvuldigingsfactor door de hoogte vier keer achtereenvolgens te vermenigvuldigen met factor $r$. Vergelijk beide uitkomsten en bereken dan $r$. Rond tenslotte de uitkomst af op drie decimalen.De vermenigvuldigingsfactor van het kleinste ten opzichte van het grootste poppetje is $\frac{5}{18}$ De hoogte van het tweede poppetje wordt verkregen door de hoogte van de eerste te vermenigvuldigen met $r$, de hoogte van het derde poppetje wordt verkregen door de hoogte van het tweede poppetje te vermenigvuldigen met $r$, etc. Dus de hoogte van het vijfde poppetje kan uit de hoogte van de eerste worden verkregen door te vermenigvuldigen met $r^4$.Er geldt dus: $r^4 = \frac{5}{18}$waaruit volgt: $r = (\frac{5}{18})^{\frac{1}{4}} \approx 0.72597$ …Afgerond op drie decimalen is de waarde van de vermenigvuldigingsfactor $r \approx 0.726$.b) Zijn twee ruimtelijke objecten gelijkvormig met vergrotingsfactor $k$, dan geldt voor de inhoud een vergrotingsfactor $k^3$. Als de afmetingen van het ruimtelijk object $k$ keer zo groot worden, dan is de inhoud van het hierdoor ontstane ruimtelijke object $k^3$ keer zo groot. Omdat de poppetjes gelijkvormig zijn, bepalen we eerst de vergrotingsfactor $k$ van het derde poppetje ten opzichte van de eerste. Vervolgens is de inhoud van het derde poppetje $k^3$ zo groot als de inhoud van het eerste poppetje. Tot slot bepalen we het aantal keren dat het derde poppetje kleiner is dan de eerste.Bepaling vergrotingsfactor $k$ van het derde poppetje ten opzichte van de eerste.Alle afmetingen van het tweede poppetje zijn vermenigvuldigd met $r$ ten opzichte van de eerste. Alle afmetingen van het derde poppetje zijn vermenigvuldigd met $r$ ten opzichte van de tweede, dus met $r \cdot r = r^2$ ten opzichte van de eerste. De vergrotingsfactor is dus $k = r^2$.De inhoud van het derde poppetje is dus $k^3$ zo groot: $k^3 = (r^2)^3 = r^3 = 0.726^6$De inhoud van het derde poppetje is dus $\frac{1}{k^3} = \frac{1}{r^6} = \frac{1}{0.726^6} \approx 6.8$ zo klein (indien is gerekend met $r = 0.7$ is de verkleining 8.5 keer).