Moderne Wiskunde A 12e ed/FLEX deel 1 - Hoofdstuk 6 - Grafieken en vergelijkingen oefentoetsen & antwoorden

De bedoeling van deze uitwerking is niet om een volledig en sluitend antwoord te geven op de vragen, maar om je te helpen na te denken over het nut en gebruik van grafieken. a) In het dagelijks leven worden vele gegevens verzameld, uit bijvoorbeeld enquêtes, metingen. De vraag is hoe je de informatie uit al die gegevens op een duidelijke manier kunt samenvatten zodanig dat de gegevens makkelijk zijn te begrijpen. Enkele voordelen:Een grafiek maakt het mogelijk verbanden op een visuele manier te laten zien, verbanden die moeilijker zijn te onderkennen dan uit tabellen. Een grafiek maakt het mogelijk vele gegevens op een bondige manier te presenteren.b) Belangrijk is dat de grafiek duidelijk moet zijn en goed af te lezen. Als je een grafiek tekent, ga dan voor jezelf na of jijzelf de grafiek begrijpt. Stel je vragen als:Welk verband wordt weergegevenEen horizontale as een verticale as met een aanduiding van een grootheid: Verbanden kun je weergeven door langs de assen van de grafiek aan te geven welke grootheden worden gebruikt. Voorbeelden van grootheden zijn tijd, lengte, temperatuurKan ik de gegevens uit de grafiek op de juiste wijze interpreterenNoteer bij de grootheid een eenheid: Om de gegevens goed te kunnen interpreteren moet je ook weten welke eenheid wordt gebruikt. Temperatuur kun je weergeven in graden Celsius, of Kelvin. Afstand kun je weergeven in millimeters, kilometers, etc. Kan ik gegevens goed aflezen Schaalverdeling: Om gegevens goed te kunnen aflezen is een schaalverdeling nodig met getallen langs de assen. a) De vergelijking van de horizontale lijn die door het punt $B(0,2)$ gaat is $y=2$.b) De vergelijking van de verticale lijn die door het punt $(4,2)$ gaat is $x = 4$.c) De uitdrukking $-2x + 3y \geq 6$ heet een lineaire ongelijkheid. a) De gegeven vergelijkingen zijn van de vorm $ax + by = c$ en zijn vergelijkingen van een lijn. De bijbehorende grafieken zijn rechte lijnen. Bereken voor elk van de twee lijnen twee punten die op de lijn liggen, bijvoorbeeld het snijpunt met de $x-as$ en $y-as$.Teken een assenstelsel$l: 4x - 3y = 12$Snijpunt met de $x-as$: voor alle punten op de $x-as$ geldt $y = 0$. Substitueer deze waarde in de vergelijking voor lijn l$. Dit geeft $4x = 12$, dus $x=3$. Het snijpunt met de $x-as$ is $(3,0)$.Teken dit punt in het assenstelsel.Snijpunt met de $y-as$: voor alle punten op de $y-as$ geldt $x=0$. Substitueer deze waarde in de vergelijking voor lijn $l$. Dit geeft $-3y = 12$, dus $y = -4$. Het snijpunt met de $y-as$ is (0,-4)$.Teken dit punt in het assenstelsel.Teken de rechte lijn $l$ door de punten $(3,0)$ en $(0,-4)$.$m: 2y - x = 2$Snijpunt met de $x-as$: voor alle punten op de $x-as$ geldt $y = 0$.Substitueer deze waarde in de vergelijking voor lijn $m$. Dit geeft $-x = 2$, dus $x = -2$. Het snijpunt met de $x-as$ is $(-2,0)$.Teken dit punt in het assenstelsel.Snijpunt met de $y-as$: voor alle punten op de $y-as$ geldt $x = 0$.Substitueer deze waarde in de vergelijking voor lijn $m$. Dit geeft $2y = 2$, dus $y=1$. Het snijpunt met de $y-as$ is $(0,1)$.Teken dit punt in het assenstelsel.Teken de rechte lijn $m$ door de punten $(-2,0)$ en $(0,1)$.b) Herschrijf de lineaire vergelijkingen in de vorm $y = ax + b$.$4x - 3y = 12$$-3y = -4x + 12$$3y = 4x - 12$$y = \frac{4}{3}x - 4$$2y - x = 12$$2y = x + 2$$y = \frac{1}{2}x + 1$c) Om de coördinaten van het snijpunt $S$ van de lijnen $l$ en $m$ te berekenen stellen we:Beide gevonden uitdrukkingen $y = ax + b$ aan elkaar gelijk. Want op het snijpunt van beide lijnen moeten gevonden waarde van $x$ en $y$ aan beide vergelijkingen voldoen.$\frac{4}{3}x - 4 = \frac{1}{2}x + 1$$\frac{5}{6}x = 5$$x = 6$Substitueer de gevonden waarde $x = 6$ in een vergelijking $y = ax + b$ om de waarde van $y$ te bepalen. $x = 6$, $y = \frac{1}{2}x + 1$Dit geeft $y = \frac{1}{2} \cdot 6 + 1 = 4$Conclusie: het snijpunt van lijnen $l$ en $m$ is $S(6,4)$. Teken het halfvlak bij de gegeven lineaire ongelijkheid in drie stappen (1) Teken de grenslijn, (2) Kies een punt dat niet op de grenslijn ligt, controleer of dit een oplossing is van de ongelijkheid. Indien een oplossing is, dan ligt dit punt in het halfvlak, (3) Arceer of kleur het halfvlak(1) Teken de grenslijnDe grenslijn is $3x - 4y = 12$Deze lijn gaat door de punten $(4,0)$ en $(0,-3)$.(2) Kies een punt, controleer of dit een oplossing isKies het punt $(0,0)$. Vul de coördinaten van dit punt in de gegeven ongelijkheid. Dit geeft:$3 \cdot 0 - 4 \cdot 0 = 0 - 0 = 0 < 12$Dus het punt $(0,0)$ voldoet niet aan de ongelijkheid $3x - 4y \geq 12$. De grenslijn is $3x - 4y = 12$ deelt het vlak in twee halfvlakken. Het gevraagde halfvlak is het gebied waar het punt $(0,0)$ niet in ligt.Eventueel kun je nog een ander punt kiezen, bijvoorbeeld $(3,-1)$. Vul de coördinaten van dit punt in de gegeven ongelijkheid. Dit geeft:$3 \cdot 3 - 4 \cdot -1 = 9 + 4 = 13 > 12$Dus het punt $(3,-1)$ voldoet wel aan de ongelijkheid $3x - 4y \geq 12$. Het gevraagde halfvlak is het gebied waar het punt $(3,-1)$ wel in ligt.(3) Arceer het halfvlakHet gevraagde halfvlak is het gebied waar het punt $(0,0)$ niet in ligt en het punt $(3,-1)$ wel in ligt. a) Berekeningsstappen:Het aantal volledig elektrische stekkerauto’s op 1 januari 2018 bedraagt $21.8 \, (\times 1000)$. Het aantal volledig elektrische stekkerauto’s op 1 januari 2021 bedraagt $174.0 \, (\times 1000)$. De vermenigvuldigingsfactor is $\frac{174.0}{21.8} = 7.98$. Het aantal volledig elektrische auto’s is gestegen met $698 \%$ in de periode 1 januari 2018 tot 1 januari 2021.b) Berekeningsstappen:Het totaal aantal stekkerauto’s op 1 januari 2021 is $273.3 \, (\times 1000)$Hiervan zijn er op 1 januari 2021 $99.3 (\times 1000)$ plug-in hybride.Dus op 1 januari 2021 is $\frac{99.3}{273.3} \cdot 100 \% = 36.3 \%$ van alle stekkerauto’s is een plug-in hybride auto.c) Stappen:Kies een assenstelsel.Zet labels langs de assen.Teken de punten in de grafiek.Verbind de punten met lijnen.Denk aan een legenda zodat duidelijk is welke grafiek hoort bij welk type stekkerauto.Geef eventueel een titel zodat het onderwerp duidelijk is.Aan tussenliggende waarden kun je een betekenis geven: ze geven een schatting van de aantallen stekkerauto’s tussen de peildata van 1 januari in. Daarom zijn de punten in de grafiek met elkaar verbonden.d) Met behulp van de getekende grafiek:Te zien is dat ergens in het jaar 2019 het aantal volledig elektrische auto’s gelijk wordt aan het aantal plug-inhybride auto’s. Schatting september/oktober 2019.Te zien is dat tot september/oktober 2019 het aantal plug-inhybride auto’s meer is dan het aantal volledig elektrische auto’s.Conclusie: tot september/oktober 2019 zijn er meer plug-inhybride auto’s dan er volledig elektrische auto’s zijn. a) Lineaire vergelijkingen zijn van de algemene vorm $y = ax + b$, waarbij $a$ de richtingscoëfficiënt is en $b$ het startgetal.  Het startgetal is gelijk aan de $y$-coördinaat van het punt voor $x=0$.De richtingscoëfficiënt is te berekenen met:$a = \frac{verticale \, verandering}{horizontale \, verandering}$$V = 90 q$Toelichting: Het verband tussen verkoopopbrengst $V$ en hoeveelheid $q$ is een lineair verband: $V = aq + b$. Voor elk verkocht apparaat neemt de opbrengst toe met 90, dus $a = 90$. Wanneer geen apparaat wordt verkocht en $q = 0$, dan is $V = 0$ en dus $b = 0$.$K = 60q + 600$Toelichting: Het verband tussen de kosten $K$ en de hoeveelheid $q$ is eveneens een lineair verband: $K = aq + b$. Voor elk extra geproduceerd apparaat nemen de kosten toe met 60, dus $a = 60$. Wanneer geen apparaat wordt geproduceerd zijn de kosten gelijk aan de vaste kosten. Bij $q = 0$ geldt $K = 600$ en dus $b = 600$.b) Bepaal van elke vergelijking twee punten. Teken een assenstelsel en vervolgens de grafieken.Bepaal twee punten op de grafiek van $V = 90q$Neem twee waarden van q en bepaal de bijbehorende waarde van $V$. Bijvoorbeeld $(0,0)$ en $(30, 2700)$ zijn punten op de grafiek van $V$. Ga dit na.Bepaal twee punten op de grafiek van $K = 60q + 600$Bijvoorbeeld $(0,600)$ en $(30, 2400)$. Ga dit na.Kies een geschikt assenstelsel met een geschikte schaalverdeling en teken dit. Zorg voor geschikte labels langs de assen. Zorg dat de punten die je in de vorige stappen hebt bepaald, kunt weergeven in het assenstelsel.Teken door de punten een rechte lijn. Laat de lijn niet links van de $y-as$ beginnen (het produceren van negatieve aantallen scheerapparaten is niet mogelijk). Zet bij elke lijn een label zodat duidelijk is welke grafiek de kosten voorstellen en welke de verkoopopbrengst. c) Bereken voor welke $q$ geldt $V=K$. Bepaal met behulp van de getekende grafiek voor welke waarden van $q$ geldt dat $V \geq K$.Los op $V = K$:$90q = 60q + 600$$30q = 600$$q = 20$Voor een hoeveelheid $q = 20$ geldt $V = K$ en zijn de opbrengsten even groot als de kosten.Met behulp van de grafiek: Voor een hoeveelheid $q > 20$ geldt $V > K$ en zijn de opbrengsten groter dan de kosten. Er wordt winst gemaakt vanaf een hoeveelheid van 20 scheerapparaten. a) Ongelijkheden:Voorwaarde A: $a + b \geq 100$$a$ vierkante meter wordt betegeld met tegel A, $b$ vierkante meter wordt betegeld met tegel B. Het totaal te betegelen oppervlak $a + b$ is minimaal 100 vierkante meter.Voorwaarde B: $25a + 40b \leq 2000$De totale prijs van $a$ vierkante meter tegel A is $25a$.De totale prijs van $b$ vierkante meter tegel B is $40b$.De totale prijs van beide tegels is $25a + 40b$ die maximaal gelijk mag zijn aan 2000 euro.b) Twee halfvlakken:Voorwaarde A: $a + b \geq 100$Teken eerst de grenslijn $a + b = 100$. Kies een willekeurig punt en bepaald of dit punt een oplossing is van de ongelijkheid $a + b \geq 100$. Kies bijvoorbeeld $(0,0)$. Het punt $(0,0)$ voldoet niet aan de ongelijkheid. Derhalve is het halfvlak het gebied aan de andere zijde van de lijn $a + b = 100$ welke gearceerd wordt.Let op: alleen het gebied is gearceerd waarvoor geldt a≥0 en b≥0. Merk op dat het niet mogelijk is te kiezen voor een negatief aantal vierkante meters tegel A of tegel B. Voorwaarde B: $25a + 40b \leq 2000$Teken de grenslijn $25a + 40b = 2000$.Kies een willekeurig punt en bepaal of dit punt een oplossing is van de ongelijkheid $25a + 40b \leq 2000$. Kies bijvoorbeeld $(0,0)$. Het punt $(0,0)$ voldoet aan de ongelijkheid. Derhalve is het halfvlak het gebied aan zijde van de lijn $25a + 40b = 2000$ waarin het punt $(0,0)$ ligt. Dit deel wordt gearceerd.c) In het assenstelsel is te zien dat er geen punt bestaat dat in beide halfvlakken ligt. Er bestaat geen combinatie van $a$ en $b$ dat aan beide voorwaarden voldoet.d) Stel de gewijzigde ongelijkheid op. Teken de halfvlakken.De ongelijkheid voor de gewijzigde voorwaarde B luidt: $25a + 40b \leq 3000$.Teken de halfvlakken (zie uitleg onderdeel b).e) Elke keuze van $a$ en $b$ die binnen beide halfvlakken valt, voldoet aan beide voorwaarden.De keuze is vervolgens om zoveel als mogelijk te kiezen voor tegel B, dus een zo groot mogelijke waarde van $b$. Dit valt samen met het snijpunt van de grenslijnen.Los op het stelsel van vergelijkingen: {a+b=10025a+40b=3000\begin{cases} a+b = 100 \\ 25a+40b = 3000 \end{cases}{a+b=10025a+40b=3000​ De vergelijking $a + b = 100$ kan worden herschreven als $a = 100 - b$ en worden gesubstitueerd in de tweede vergelijking. Dit geeft:$25(100 - b) + 40b = 3000$$15b = 500$$b = \frac{500}{15} = 33 \frac{1}{3}$Dan is $a = 100 - 33 \frac{1}{3} = 66 \frac{2}{3}$Conclusie: de heer Derksen neemt $33 \frac{1}{3}$ vierkante meter tegel B en $66 \frac{2}{3}$ vierkante meter tegel A.