Moderne Wiskunde 12e ed deel B - Hoofdstuk 8 - Hellingen en tangens oefentoetsen & antwoorden

De langste zijde zit altijd tegenover de rechte hoek in de driehoek.  Een lijn waarop alle punten op dezelfde hoogte liggen.De tangens geeft de verhouding tussen de overstaande rechthoekszijde en de aanliggende rechthoekszijde in een driehoek (oftewel de verhouding tussen de hoogte en de horizontale afstand). BC is de overstaande rechthoekszijde van hoek A.$\tan \angle A = \frac{BC}{AC}$. Punt A ligt op 200 meter hoogte.Punt B ligt op 300 meter hoogte.Punt C ligt tussen 400 en 500 meter hoogte in, maar wel dichter bij de 500!Punt D ligt precies in het midden van 200 en 300 meter in, dus ongeveer op 250 meter hoogte. $\tan \angle A = \frac{BC}{AC}$ (want $AC$ is de aanliggende zijde en $BC$ de overstaande)$\tan \angle A = \frac{5,1}{9,8}$$\angle A = \tan^{-1}(\frac{5,1}{9,8}$Dus $\angle A \approx  27 \degree$ (rond af op hele graden). Gebruik dat in deze driehoek DE de aanliggende zijde is en EF de overstaande. $\tan \angle D = \frac{EF}{DE}$$\tan 23 \degree = \frac{2,7}{DE}$Dat geeft: $DE = \frac{2,7}{\tan 23 \degree}$Dus $DE \approx 6,4$. Bedenk dat in een kubus elke zijde even lang is. In dit geval dus 5 cm. Bereken nu BD met de stelling van Pythagoras in driehoek ABD:zijdekwadraatAB = 525AD= 525 +BD = ...50Dus BD=50≈7,1BD = \sqrt{50} \approx 7,1BD=50​≈7,1.Het ondervlak van de kubus is een vierkant. Daarvan snijden de diagonalen elkaar middendoor. Je kunt dit ook zien als je een schets maakt van de situatie:  Maak een schets van driehoek BFS. Gebruik uit de vorige opgave dat S de diagonalen middendoor snijdt, dus BS is de helft van BD, dus 3,55 cm.tan⁡∠S=BFBS\tan \angle S = \frac{BF}{BS}tan∠S=BSBF​tan⁡∠S=53,55\tan \angle S = \frac{5}{3,55}tan∠S=3,555​∠S=tan⁡−1(53,55)\angle S = \tan^{-1}(\frac{5}{3,55})∠S=tan−1(3,555​)Dus ∠S≈55°\angle S \approx 55 \degree∠S≈55°. De uitkijktoren bij C ligt NIET op een hoogte van 475 meter want dan moet er om C zelf nog een hoogtelijn getekend zijn met daarbij de vermelding van 450 meter. C moet tussen de 400 en 450 meter hoogte liggen!De route van Q naar P is een dalende wandeling, want de route begint op 300 meter hoogte en eindigt op 250 meter hoogte.Als een route heel steil is dan is het vereist dat de twee opvolgende hoogtelijnen zo dicht mogelijk bij elkaar moeten liggen. In het geval van route A naar Z is dat rode lijnstuk op de route A-Z hieronder op de kaart getekend.Voor het verloop van de hoogte van de weg van A naar Z maak je een verticale doorsnede van de route in het assenstelsel onder het kaartje. Dit is de aanpak en NIETS hiervan de stappen mag ontbreken:Maak een passende indeling van de verticale as op basis van de afstand van de hoogtelijnen. In dit geval liggen de lijnen 50 meter in hoogte uit elkaar.Zet op de kaart kruisjes bij elk snijpunt van de gestippelde lijn A-Z met een hoogtelijn, tussen de A en de Z in. Voor de goede orde je tekent 5 kruisjes omdat er 5 snijpunten met de aanwezige hoogtelijnen zijn. Teken vanaf het punt A een verticale gestippelde lijn evenwijdig aan de as van het assenstelsel tot aan de bijbehorende hoogte in het assenstelsel, dus in dit geval tot aan 350. Zet tevens hierbij het eind de letter A!Teken vanaf elk opvolgend kruisje een verticale gestippelde lijn evenwijdig aan de vorige getekende stippellijn en trek deze door tot de bijbehorende hoogte. Dus de 1e lijn vanaf het kruisje gaat door tot 300, de 2e lijn gaat door tot 250, de 3e lijn stopt weer op 300, de 4e lijn stopt op 350 en de 5e lijn vanuit het kruisje getekend stopt ook op 350Vanaf het punt Z wordt de laatste gestippelde verticaal en evenwijdig aan de vorige lijnen getekend en stopt bij 300 en zet ook de letter Z zelf bij het eind.NOG een belangrijke opmerking: Deze gestippelde lijnen moet je tekenen en ook daadwerkelijk laten staan.Nu volgt de laatste handeling en dat is vanaf punt A een vloeiende lijn uit de losse hand tekenen die van links naar rechts door elk opvolgende uiteinde loopt en eindigt bij het laatste punt Z.Belangrijk hierbij is dat als er twee opeenvolgende gelijke eindpunten zijn dat je dan wel een doorlopend boogje tekent en niet een horizontale rechte lijn van punt naar punt. Hoe ver het doorlopend boogje getekend moet worden is geheel naar eigen inzicht zolang het de volgende hoogtelijn maar niet raakt. De reden hiervoor is dat de route tussen de twee punten in wezen daalt (of stijgt) om daarna verderop weer te gaan stijgen (of dalen). Kijk naar het resultaat hieronder in het kaartje met daaronder het assenstelsel: Maak eerst een eigen schets.Let op: de driehoek waarin de kijkhoek zit, heeft als hoogte: de hoogte van de boom - de hoogte van Jason, dus 11,19 - 1,85 = 9,34 m.We noemen de top van de boom T en het punt waar Jason zich bevindt J. We hebben de overstaande en aanliggende zijde: dat zijn TB en JB. Dat geeft: tan⁡∠J=BTJB\tan \angle J = \frac{BT}{JB}tan∠J=JBBT​ tan⁡∠J=9,3412\tan \angle J = \frac{9,34}{12}tan∠J=129,34​.Dus ∠J=tan⁡−1(9,3412)≈38°\angle J = \tan^{-1}( \frac{9,34}{12}) \approx 38 \degree∠J=tan−1(129,34​)≈38°.Dus de kijkhoek is ongeveer 38 graden. De helling is, zoals in de tekst al is aangegeven, de verhouding (in feite de tangens):BCAB\frac{BC}{AB}ABBC​ =0,615\frac{0,6}{15}150,6​ =0,04Met de tangens:tan⁡∠A=BCAB \tan \angle A = \frac{BC}{AB}tan∠A=ABBC​tan⁡∠A=0,615\tan \angle A = \frac{0,6}{15}tan∠A=150,6​ Dus ∠A=tan⁡−1(0,615)=2,290…≈2,29°\angle A = \tan^{-1}(\frac{0,6}{15}) = 2,290… \approx 2,29 \degree∠A=tan−1(150,6​)=2,290…≈2,29°. Maak een eigen schets: De hoogte AB is de aanliggende zijde van hoek A.tan⁡∠A=0,7AB\tan \angle A = \frac{0,7}{AB}tan∠A=AB0,7​tan⁡2,51°=0,7AB\tan 2,51 \degree = \frac{0,7}{AB}tan2,51°=AB0,7​Dat geeft: AB=0,7tan⁡2,51°=15,97AB = \frac{0,7}{\tan 2,51 \degree} = 15,97AB=tan2,51°0,7​=15,97Dus het huis is 16,0 meter hoog (of: 160 dm). De rechthoekige driehoek $CAG$ ligt in vlak $ACGE$. We weten dat $CG = 20$. Schets: We hebben nog een extra lengte nodig om de hoek te kunnen berekenen. Met Pythagoras kunnen we in $\triangle ABC$ zijde $AC$ berekenen:  zijdekwadraatAB = 864BC = 14196 +AC = ...260Dus $AC = \sqrt{260}$.Bereken de hoek:$\tan \angle A = \frac{CG}{AC}$$\tan \angle A = \frac{20}{\sqrt{260}}$Dus $\angle A= \tan^{-1}( \frac{20}{\sqrt{260}}) \approx 51 \degree$. b. De figuur wordt in tweeën gedeeld: Driehoek $AIE$ ligt in vlak $AIQE$. Schets: We hebben opnieuw nog een extra lengte nodig om de hoek te kunnen berekenen. Met Pythagoras kunnen we in $\triangle ABI$ zijde $AI$ berekenen:  zijdekwadraatAB = 864BI = 749 +AI = ......Dus $AI = \sqrt{113}$.Bereken de hoek:$\tan \angle I = \frac{AE}{AI}$$\tan \angle I = \frac{20}{\sqrt{113}}$Dus $\angle I= \tan^{-1}( \frac{20}{\sqrt{113}}) \approx 62 \degree$.