Moderne Wiskunde 12e ed deel B - Hoofdstuk 10 - Ruimtemeetkunde oefentoetsen & antwoorden

a) De oppervlakte van een driehoek bereken je met de formule: Oppervlakte = basis x hoogte : 2 oftewel A = $\frac{1}{2}$ x b x h. b) De oppervlakte van een cirkel bereken je met de straal: Oppervlakte = π x straal x straal. Of korter $A= \pi r^2$. De omtrek kun je met de straal berekenen, maar ook met de diameter: Omtrek = 2π x straal= π x diameter.  c) De oppervlakte van een parallellogram bereken je met de formule: Oppervlakte = basis x hoogte. d) Een balk heeft zes platte grensvlakken in de vorm van rechthoeken. Zie hieronder vlak ABCD is een grensvlak. e) De inhoud van een cilinder bereken je als volgt; Inhoud = grondoppervlakte x hoogte, oftewel I = G x h. f) De inhoud van een piramide en een kegel kun je berekenen met de formule: Inhoud = $\frac{1}{3}$ x grondoppervlakte x hoogte oftewel I = $\frac{1}{3}$ x G x h. a) De blauwe uitslag hoort bij de kubus. De gele uitslag is van een piramide. b) De hoogte(lijn) ligt loodrecht op de basis.   a) De uitslag van het blikje bestaat uit een rechthoek en twee cirkels.  b)   a) De snijvlakken in het prisma hebben niet dezelfde vormen en grootte.  b) Als je een prisma evenwijdig aan het grondvlak een aantal keer doorsnijdt, dan hebben alle doorsneden dezelfde vorm en grootte als het grondvlak en het bovenvlak. c) De bodem is niet altijd het grondvlak van het prisma. (Je kan het prisma als ware rond draaien.) Zie opdracht 4b.   Straal = diameter ÷ 2 = 9 ÷ 2 = 4,5 cm G (grondoppervlakte) = 4,52^22 x π = 4,5 x 4,5 x π Formule: I = 13\frac{1}{3}31​ x G x h. Dat geeft  13\frac{1}{3}31​ x 4,5 x 4,5 x π x 12 = 254,5 cm3cm^3cm3. Dus Sami heeft het goed gedaan.   a) Oppervlakte van de  kleine fotolijst: 15 x 21 = 315 $cm^2$.Oppervlakte van de grote fotolijst: (15 x 3) x (21 x 3) = 45 x 63 = 2835 $cm^2$b) De oppervlakte van de grote fotolijst is $3^2$=9 keer zo groot als de oppervlakte van de kleine fotolijst. (Toelichting: 2835 ÷ 315 = 9 = $3^2$, want: wanneer de afmetingen van een figuur met een factor k wordt vergroot, dan wordt de oppervlakte van die figuur $k^2$ keer zo groot.) De Blaaktoren bestaat uit twee ruimtefiguren. De top is in de vorm van een kegel, het onderste gedeelte in de vorm van een prisma. De kubuswoningen zijn in de vorm van een kubus (en de benen als een balk). Meerdere antwoorden zijn mogelijk, maar de bovenstaande figuren moeten in ieder geval benoemd worden. Straal = 5 ÷ 2 = 2,5 cm Hoogte = 1,5 dm = 15 cm  Inhoud = oppervlakte grondvlak x hoogte = r2r^2r2 x π x h = 2,5 x 2,5 x π x 15 = 294,5 cm3cm^3cm3 294,5 cm3cm^3cm3 = 294,5 mL = 29,45 cL. Dus past in dit blikje ongeveer 30 cL. (Je mag ook antwoorden dat er maar 25 cL in past, omdat de inhoud net iets kleiner dan 30 cL is).   Inhoud van de originele kegel = 13\frac{1}{3}31​ x 5 x 5 x π x 11 = 287,979 cm3cm^3cm3 Inhoud van het afgesneden kegel = 13\frac{1}{3}31​ x 3 x 3 x π x 2 = 56,549 cm3cm^3cm3. Voor de inhoud van de vaas doe je als volgt; 287,979 - 56,549 = 231,43 cm3cm^3cm3 231,43 cm3cm^3cm3 (omzetten naar liters) = 0,23 liter;  Dus Fatima heeft 0,23 Liter water nodig.    a) Bij het bepalen van de inhoud van een prisma hoort de formule: Inhoud = oppervlakte grondvlak x hoogte.Het grondvlak hier is vlak ABCDE en de hoogte is  onder andere af te lezen via lijnstuk AF = 55 cm.Het bepalen van de oppervlakte van vlak ABCDE doen we met behulp van het plaatje hieronder.Een manier is vierkant A(B)F(C)DE te maken, daarvan de oppervlakte te bepalen om vervolgens de oppervlakte van driehoek BFC er weer af te halen. Dat geeft:oppervlakte AFDE = 90 x 90 cm = 8100 cm$^2$oppervlakte BFC = $\frac{1}{2}$ x zijde x bijbehorende hoogte =$\frac{1}{2}$ x 65 x 65 = $\frac{1}{2}$ x 4225 = 2112,5 $cm^2$oppervlakte grondvlak ABCDE = 8100 - 2112,5 = 5987,5 cm$^2$Inhoud prisma = 55 cm x 5987,5 cm$^2$ = 29937,5 cm$^3$ (niet afronden!)Tip: Een andere aanpak bij het bepalen van het grondvlak ABCDE had ook gekund door het vlak op te delen in meerdere stukken van bekende platte figuren, zoals rechthoeken en driehoeken. Deze manier van werken is omslachtiger en verdient in dit geval omwille van de tijd niet de voorkeur. Hou het zo eenvoudig en simpel mogelijk!b) Aan het grondvlak van het bad verandert er niets. Het feit dat het water tot 10 cm onder de rand van het bad komt, zorgt ervoor dat de hoogte van het prisma nu 55 - 10 = 45 cm wordt.Inhoud = opp. grondvlak ABCDE x hoogte = 5987,5 $cm^2$ x 45 cm = 269437,5 $cm^3$ = 269,4375 L ( 1 $dm^3$ = 1 Liter, dus daarom de berekening 269437,5 : 1000)≈ 270 L (Rond in dit geval logisch af op hele liters naar boven want ronden we af naar beneden dan is het water lager dan die 10 cm onder de rand)c) Neem nu 270 liter en er komt 15 liter per minuut uit de kraan: dan is het aantal minuten = 270 : 15 = 18 minuten. Er zijn meerdere manieren om dit uit te rekenen. Je mag dus ook een andere berekening gebruiken.De diameter van de gele ring is 3 keer zo groot als die van de kleine zwarte cirkel, dus de oppervlakte is 9 keer zo groot (als de zwarte cirkel er niet vanaf gehaald wordt).De diameter van de zwarte ring is 5 keer zo groot als die van de kleine zwarte cirkel, dus de oppervlakte van heel de figuur is $5^2=25$ keer zo groot.De zwarte ring is dus de oppervlakte van heel de figuur min alles wat in de gele cirkel zit, dus $25-9 = 16$.De zwarte cirkel past dus 16 keer in de zwarte ring qua oppervlakte. a) Het grootste poppetje is een vergroting van het kleinste. De hoogte is $36 : 12 = 3 \times$  zo groot.Dat betekent dat de oppervlakte $3^2$ keer zo groot is.Dus $50 \times 3^2 = 450$ vierkante centimeter.b) De vergrotingsfactor die hoort bij een hoogte van 24 cm, is 2, want $24 : 12 = 2$.We weten dat de oppervlakte van het middelste poppetje 200 vierkante cm is, en die van het kleinste 50 vierkante cm.Bij een factor 2 hoort een oppervlakte van $2^2$ keer zo groot, en dat klopt inderdaad met de gegevens. a) De ruimtefiguur is op te delen in een driehoekige prisma en een balk. De grondoppervlakte van het prisma = 12\frac{1}{2}21​ x 8 x 3 = 12 cm2cm^2cm2. De hoogte van het prisma is 7 cm.  De inhoud van het prisma = 12 x 7 = 84 cm3cm^3cm3 en De grondoppervlakte van de balk = 8 x 2 = 16 cm2cm^2cm2. De inhoud van de balk = 16 x 7 = 112 cm3cm^3cm3. Inhoud prisma + inhoud balk = 84 + 112 = 196 cm3cm^3cm3. b) De inhoud van het blok kaas is 196 cm3cm^3cm3 De kaas weegt 1,7 gram per cm3cm^3cm3, dus: 196 x 1,7 = 333,2 gram kaas. Piet krijgt 333,2 gram kaas. c) De vergrotingsfactor is 1,5. De inhoud van het blok kaas wordt dan 1,531,5^31,53 = 3,375 keer zo groot. 196 x 3,375 = 661,5 cm3cm^3cm3. 661,5 x 1,7 = 1124,55 gram. (Of een kortere manier is 333,2 x 3,375 = 1124,55 gram.) Dus de kaasboer snijdt voor Hans 1124,55 gram kaas af  (of 1124,6 gram of 1125 gram is ook goed). d) 1124,55 gram = 1,1246 kg De kaas kost €12,95 per kg 1,1246 x 12,95 = €14,56 Dus Hans moet €14,56 betalen.  Tip: Geldbedragen altijd afronden op twee decimalen. Bereken eerst het grondvlak van de piramide.Opp. grondvlak: $\frac{1}{2} \times  5 \times 6 $Opp grondvlak = $15 cm^2$De hoogte is  6 cm (want dat is de hoogte van de ribben van de kubus).Inhoud piramide: $\frac{1}{3} \times opp \, grondvlak \times hoogte$, dusInhoud piramide = $\frac{1}{3} \times 15 \times 6$ Inhoud piramide = $30 \, cm^3$