Kern Wiskunde - Hoofdstuk 6 - Vergelijkingen en ongelijkheden oefentoetsen & antwoorden

a) $a$ is de richtingscoëfficiënt.$b$ is het startgetal (oftewel: $(0,b)$ is het snijpunt met de $y-as$).b) Het verschil tussen een vergelijking en een ongelijkheid is bij een vergelijking één oplossing is en bij een ongelijkheid is dat meer dan één.c) De oplossingen zijn $x=- \sqrt{25}$ of $x=\sqrt{25}$, oftewel $x = -5$ of $x = 5$.d) Dan moet $a=1$ zijn. (Anders kun je bijvoorbeeld de abc-formule gebruiken.)e) Eerst reken je de discriminant $D$ uit: $D = b^2 - 4ac$Afhankelijk van de grootte van $D$ vind je 2, 1, of geen oplossingen:1) $D>0 \Rightarrow x = \frac{-b -\sqrt{D}}{2a} \vee x = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}$2) $D = 0 \Rightarrow x = \frac{-b}{2a}$3) $D < 0 \Rightarrow$ geen oplossingen, omdat je geen wortel kunt trekken uit een negatief getal. a) Gebruik de algemene formule voor een lijn: $y =ax+b$.Lijn $k: k(x) =ax+b$$\rm Richtingscoëfficiënt = \frac{toename \, tweede \, coördinaat}{toename \, eerste \, coördinaat}$. Gebruik bijvoorbeeld punten $(0,-1)$ en $(2,2)$ (zorg dat je roosterpunten gebruikt zodat je ze goed kunt aflezen). Dan is $a = \frac{3}{2}=1,5$.Startgetal $b= -1$ (lees af bij de $y$-as)Dus $k(x)=1,5x-1$.Lijn $l: l(x)=ax+b$Richtingscoëfficiënt $-2$ (gebruik bv. punten $(0,3)$ en $(1,1)$)$b=3$Dus $l(x)=-2x+3$b) Lineaire formule: $y=ax+b$.Bereken a (=richtingscoëfficiënt): $\frac{verschil \, y-as}{verschil \, x-as}$= $\frac{19-4}{8-3} = 3$Dus $a = 3$ Bereken b (=startgetal) door een punt te nemen en dit invullen in de formule.Neem punt A; dat geeft $4 = 3 x 3 + b$Los de vergelijking op: $b = -5$Vul $a= 3$ en $b= -5$ in de formule: $m: y=3x-5$.c) Stel de lijnen gelijk en los op.$-2x+3 = -3x-5$$-2x = - 3x -5 - 3$$-2x + 3x = -8$$x=-8$Dus de x-coördinaat van het snijpunt is $8$. a) Lees uit de grafiek af dat de grafieken gelijk zijn bij $x=5$ (het snijpunt).Voor x-waardes groter dan $5$ ligt de lijn van $y=x-3$ boven die van $y=2$.Conclusie: $x>5$. b) Lees uit de grafiek af dat de grafieken gelijk zijn voor $x=1$.Rechts van dit punt ligt de lijn van $y=-3x$ onder die van $y=x-3$.Conclusie: $x>1$. a)Neem links en rechts de wortel (geeft twee oplossingen!):$5x-4=8$ of $5x-4=-8$$5x=12$ of $5x=-4$$x=\frac{12}{5}=2\frac{2}{5}$ of $x=-\frac{4}{5}$b)Eerst delen door $4$: $x^2 = 7$Nu worteltrekken: $x= \sqrt{7}$ of $x=-\sqrt{7}$ a)Zorg eerst voor … = 0:$x^2-12x+35=0$Oplossen met ontbinden in factoren (de product-som methode) geeft:$(x-7)(x-5)=0$$x-7=0$ of $x-5=0$$x=7$ of $x=5$b)Eerst herleiden tot … =0: $x(x+3)-10x=18$Werk ook de haakjes uit, want pas dan kun je de vergelijking gaan oplossen: $x^2+3x-10x=18$$x^2-7x-18=0$Oplossen met ontbinden geeft: $(x+2)(x-9)=0$$x=-2$ of $x=9$c)Ontbinden in factoren geeft: $(x+6)(x-2)=0$$x+6=0$ of $x-2=0$$x=-6$ of $x=2$ a) Zorg altijd eerst voor ...0=: $2x^2+x-14=0$$a=2, b=1, c=-14$ invullen in de abc-formule: $D=b^2-4ac=1^2-4\times 2 \times -14 = 113$$x=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}$ of $x=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}$$x=\frac{-1=\sqrt{113}}{4}$ of $x=\frac{-1-\sqrt{113}}{4}$Benadering: $x \approx -2,91$ of $x \approx 2,41$b) $3x^2-8x-1=0$$a=3, b=-8, c=-1$ invullen in de abc-formule: $D=b^2-4ac=(-8)^2-4 \times 3 \times -1 = 76$$x=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}$ of $x=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}$$x=\frac{-8+\sqrt{76}}{6}$ of $x=\frac{-8-\sqrt{76}}{6}$Benadering: $x \approx -0,12$ of $x \approx 2,79$ a) Vul het punt $A(2,-3)$ in lijn $l$, dus $x = 2$ en $y = - 3$ in de vergelijking.$l:y=-4x+b$ geeft $-3=-4 \cdot 2+b$ dus $-3=-8+b$ geeft $b=5$.b)De richtingscoëfficiënt = $\frac{-2-2}{-1--6}=\frac{-4}{5}=-\frac{4}{5}$Geeft $m:y=-\frac{4}{5}x+b$Gaat door $(-6,2)$ Invullen geeft: $2=-\frac{4}{5} \cdot -6+b$Uitwerken geeft $b=-2\frac{4}{5}$Dus $m:y=-\frac{4}{5}x-2\frac{4}{5}$c)De vergelijkingen van $k$ en $l$ aan elkaar gelijkstellen en oplossen geeft:$\frac{4}{3}x-3=-4x+5$$\frac{4}{3}x+4x=5+3$$5\frac{1}{3}x$=8$$x=\frac{3}{2}= 1\frac{1}{2}$Invullen in $l$ geeft: $y=-4\cdot{1\frac{1}{2}}+5$Uitwerken geeft $y=-1$De coördinaten van het snijpunt zijn dus ($1\frac{1}{2}$,-1)d)Voor het snijpunt van lijn $k$ met de $x-as$ geldt: $y=0$$y = 0$ geeft $k:\frac{4}{3}x-3=0$$\frac{4}{3}x=3$$x=2\frac{1}{4}$Punt $P$($2\frac{1}{4}$,0)Voor het snijpunt van lijn $m$ met de $x-as$ geldt: $y=0$$y = 0$ geeft $m: -\frac{4}{5}x-2\frac{4}{5}=0$$- \frac{4}{5}x=2\frac{4}{5}$$x=-3\frac{1}{2}$Punt $Q$($-3\frac{1}{2}$,0)Lijnstuk PQ is dan $2\frac{1}{4} + \mid -3\frac{1}{2} \mid = 5\frac{3}{4}$e)Voor het snijpunt van lijn $l$ met de $x-as$ geldt: $y=0$Dus $l:-4x+5=0$$-4x=-5$$x=\frac{5}{4}=1\frac{1}{4}$Omdat $n$ evenwijdig is met $k$ geldt dat de richtingscoëfficiënt gelijk is; r.c.= $\frac{4}{3}$Dus $n:y=\frac{4}{3}x+b$Gaat door ($1\frac{1}{4},0$)Geeft: $0=\frac{4}{3} \cdot 1\frac{1}{4}+b$Geeft: $b=-\frac{5}{3}=-1\frac{2}{3}$ Je mag zelf kiezen hoe je deze ongelijkheden oplost. We geven de uitwerking zowel met de balansmethode als met de grafieken.a) Manier 1: met de balansmethode$-16+3x > 19-2x$Alle $x$ naar links en getallen naar rechts, en herleiden:$-16+3x +2x > 19$$5x > 19 + 16$$5x > 35$ Deel door het getal voor $x$:$x > 7$Manier 2: met de grafieken:Stel gelijk en los op: $-16+3x = 19-2x$Alle $x$ naar links en getallen naar rechts, en herleiden:$-16+3x +2x = 19$$5x = 19 + 16$$5x = 35$ Deel door het getal voor $x$:$x = 7$Schets de grafieken: Rechts van het snijpunt ligt de lijn $y=-16+3x$ boven de lijn $y=19-2x$, dus het antwoord is: $x > 7$.b) Manier 1: met de balansmethode$-13 < 2x-4(1-4x)$Haakjes uitwerken:$-13 < 2x+16x-4$ Herleid en zorg dat alle $x$ links staan:$-13 <  18x -4$$-18x < 9$Deel door het getal voor de $x$. Het teken klapt om:$x > -\frac{1}{2}$.Manier 2: met de grafiekenStel gelijk en los op:$-13 = 2x-4(1-4x)$Haakjes uitwerken: $-13 = 2x+16x-4$ Herleid en zorg dat alle $x$ links staan: $-13 =  18x -4$$-18x = 9$Deel door het getal voor de $x$: $x = -\frac{1}{2}$.Schets de lijnen: $y=13$ is een horizontale lijnWerk de haakjes van de andere lijn uit om deze goed te kunnen schetsen: $2x-4(1-4x) = 2x +16x - 4 = 18x-4$ Rechts van het snijpunt ligt de lijn $y=18x-4$ boven de lijn $y=13$, dus de oplossing is $x > -\frac{1}{2}$.c) Manier 1: met de balansmethode$5 - (3+x) < 3(2x+1) - 6x$Haakjes uitwerken:$5 - 3 - x < 6x + 3 - 6x$Herleiden en $x$ naar links, getallen naar rechts:$2-x < 3$$-x < 1$Deel  door het getal voor de $x$ en klap teken om:$x > 1$.Manier 2: met de grafiekenStel gelijk en los op:$4x+2 = 3 +5x$$x$ naar links, getallen naar rechts: $2-x = 3$$-x = 1$Deel  door het getal voor de $x$: $x = 1$.Schets de grafieken: Links van het snijpunt ligt de lijn $y=4x+2$ onder de lijn $y=3+5x$, dus de oplossing is: $x < 1$.d) Manier 1: met de balansmethode$12(x-2) > x - 3(4+x)$Haakjes uitwerken en herleiden:$12x-24 > x - 12 -3x$$12x-24 > -2x - 12$Alle $x$ naar links en getallen naar rechts:$12x + 2x > -12 + 24$$14x > 12$Nu nog delen door het getal voor de $x$:$x > \frac{12}{14}$, dus $x>\frac{6}{7}$.Manier 2: met de grafiekenStel gelijk en los op:$12(x-2) = x - 3(4+x)$Haakjes uitwerken en herleiden: $12x-24 = x - 12 -3x$$12x-24 = -2x - 12$Alle $x$ naar links en getallen naar rechts: $12x + 2x = -12 + 24$$14x = 12$Nu nog delen door het getal voor de $x$:$x = \frac{12}{14}$, dus $x=\frac{6}{7}$.Schets de grafieken. Daartoe werken we eerst de haakjes uit: $12(x-2) = 12x-24$$x - 3(4+x) = -2x -12$Schets wordt: Rechts van het snijpunt ligt de lijn $y=12(x-2)$ boven de lijn $y=x-3(x-4)$, dus de oplossing is: $x>\frac{6}{7}$. Toelichting: Kijk altijd eerst naar de vergelijking om de handigste manier te kiezen om deze op te lossen. Vaak moet je eerst herleiden op nul om te weten hoe je de vergelijking kunt oplossen.Ontbinden in factoren is vaak het snelste, maar kan niet altijd.Maar je kunt elke kwadratische vergelijking oplossen met de abc-formule. Het handige daarvan is dat die altijd werkt. Als je de abc-formule gebruikt moet je misschien je antwoord eerst vereenvoudigen om te zien dat het klopt met de voorbeelduitwerking hieronder.Als je met een andere manier dan hieronder wel op het juiste antwoord uitkomt is jouw manier waarschijnlijk ook juist. a) Eerst ontbinden in factoren: $(x-2)(x-4) =  0$$x = 2$ of $x = 4$b)$x(x-6) = 0$$x = 0$ of $x= 6$c)$x^2 = 16$$x = - \sqrt{16}$ of $x = \sqrt{16}$$x = -4$ of $x = 4$d)Deze moet met de abc-formule. $a = 3, b = -4$ en $c=-21$, dus:$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \times 3 \times -21 = 268$$x = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}$ of $x =  \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}$$x = \frac{4 + \sqrt{268}}{2\times 3} \approx 3,395$ of $x = \frac{-4 + \sqrt{268}}{2\times 3} \approx -2,062$e)$2(x+4)^2 - 6 = 10$Zorg eerst voor …=0: $2(x+4)^2 - 16 = 0$Deze vergelijking staat nu bijna in de  vorm $(x-b)^2=c$. We kunnen eerst door 2 delen en dan het getal naar de andere kant halen om op te lossen met worteltrekken.$(x+4)^2- 8=0$$(x+4)^2 =8$Nu worteltrekken:$x +4= - \sqrt{8}$ of $x+4= \sqrt{8}$$x = -4 - 2\sqrt{2}$ of $x = -4 +2\sqrt{2}$ (Vereenvoudig ook altijd de wortels in je eindantwoord!)f) $3x^2+12x=-11$Zorg eerst voor …=0: $3x^2+12x+11=0$De $a$ is niet gelijk aan 1, en als je zou delen door 3 krijg je breuken. Dus je kunt niet ontbinden. Hier dus de abc-formule gebruiken. $a=3, b=12, c=11$ geeft: $D=b^2-4ac=12^2-4\times 3 \times 11 = 12$$x=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}$ of $x=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}$$x=\frac{-12+\sqrt{11}}{6}$ of $x=\frac{-12-\sqrt{11}}{6}$Eventueel vereenvoudigen tot: $x=-2-\frac{1}{3}\sqrt{3}$ of $x=-2+\frac{1}{3}\sqrt{3}$g)$(x+3)(x+5)=3$Werk eerst de haakjes uit: want je kunt deze niet direct oplossen, omdat er nog niet … = 0 staat.$x^2+3x+5x+15=3$$x^2+8x+15=3$$x^2+8x+12=0$Oplossen met ontbinden geeft:$(x+6)(x+2)=0$$x=-6$ of $x=-2$h) $-x^2+4x-4=0$Doe alles $\times -1$ om te kunnen ontbinden:$x^2-4x+4=0$$(x-2)(x-2)=0$$x=2$ (geen tweede oplossing!)i) Je kunt hier de haakjes uitwerken tot $\frac{1}{4}x^2+x-1\frac{1}{4}=0$ en dan de abc-formule gebruiken, maar makkelijker is om $\times 4$ te doen en dan is het al ontbonden, zodat je gelijk kunt oplossen:$(x-1)(x+5)=0$$x-1=0$ of $x+5=0$$x=1$ of $x=-5$ a) De totale lengte van het hek is 60 meter.Beide zijkanten zijn x meter.Dus de lengte van het hek is $60 - 2 \times x$De oppervlakte = lengte x breedte = $x (60 - 2x) = 60x - 2x^2 = -2x^2 + 60 x$Dus $O(x) =  -2x^2 + 60x$b)Manier 1:$x=15$ in de formule invullen geeft: $O =  -2(15)^2 + 60\times 15=450$.Dus 450 m$^2$.Manier 2:De breedte van het land is dan 15 meter en de lengte is $60 - 2x = 60 - 2*15 = 30$ meter.De oppervlakte is dan: Oppervlakte = lengte x breedte = $\rm 30 \times 15 = 450 \, m^2$.c)De functie voor de oppervlakte is gegeven door: $O(x) =  -2x^2 + 60x$. Van de gemeente Gouda mag de oppervlakte $\rm 112 \, m^2$ zijn.Hiervoor moeten we de volgende vergelijking oplossen: $ -2x^2 + 60x = 112$. Dat geeft:$-2x^{2} + 60x - 112 = 0$$x^{2} - 30x - 56 = 0$ (alle termen delen door -2, zodat je kunt onbinden in factoren. Alternatief mag je ook de abc-formule gebruiken)$(x - 28)(x - 2) = 0$$x = 28 \vee x = 2$De mogelijke afmetingen zijn dus:Bij $x=2$: 2 meter breed en $60 - 2x = 60 - 2 \times 2 = 56$ meter lang.Bij $x=28$: 28 meter breed en $60 - 2x = 60 - 2 \times 28 = 4$ meter lang. a) De enige echte informatie die we hebben is het aantal snijpunten met de x-as. Het aantal snijpunten van de grafiek met de x-as is te berekenen met de discriminant.Voor $y = -2x^2 - 12x - 18$ geldt: $a = -2, b = -12$ en $c = -18$, dus $D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 \times -2 \times -18 = 0$$D = 0$, dus het aantal snijpunten met de x-as is 1.Het goede antwoord is daarom figuur 2.b)We gebruiken opnieuw de discriminant. Voor $y = x^2 + 2x + 5$ is $a = 1, b = 2$ en $c = 5$, dus $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \times 1 \times 5 = -16$$D < 0$, dus er zijn geen snijpunten met de x-as.Dus bij $g(x)$ hoort figuur 1. Als het aantal snijpunten van een functie met de x-as precies 1 is dan is de discriminant gelijk aan 0 ($D=0$).We moeten dus eerst de discriminant vinden. $a = 2, b = -8$ en $c = p$Dus $D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \times 2 \times p = 64 - 8p$D gelijkstellen aan 0 geeft:$64 - 8p = 0$$-8p = -64$$p = 8$ Dus voor $p=8$ heeft de grafiek van deze functie precies één snijpunt met de x-as.