Kern Wiskunde - Hoofdstuk 7 - Meetkundig redeneren oefentoetsen & antwoorden

a) Als een figuur wordt vergroot, worden alle afmetingen met hetzelfde getal vermenigvuldigd: de factor.b) Wanneer de afmetingen van een figuur met een factor kkk worden vermenigvuldigd, wordt de oppervlakte k2k^2k2 keer zo groot en de inhoud k3k^3k3 keer zo groot.c) Ja, want de hoekensom van een driehoek is altijd hetzelfde, namelijk 180 graden. Daarom moet de derde hoek, als de eerste twee hoeken gelijk zijn, ook altijd gelijk zijn. (Dit is gelijkvormigheidskenmerk hh).Kijk bijvoorbeeld naar onderstaande twee driehoeken. Als ∠A=∠D=30°\angle A = \angle D = 30 \degree∠A=∠D=30°, en ∠B=∠E=90°\angle B = \angle E = 90 \degree∠B=∠E=90°, dan moet ook ∠C=∠F=180−90−30=60°\angle C = \angle F = 180 - 90 - 30 = 60 \degree∠C=∠F=180−90−30=60° zijn.d) Alle hoeken en zijden zijn aan elkaar gelijk. Dus ∠A=∠D,∠B=∠E\angle A = \angle D, \angle B = \angle E∠A=∠D,∠B=∠E en ∠C=∠F\angle C = \angle F∠C=∠F en AB=DE,BC=EFAB = DE, BC = EFAB=DE,BC=EF en CA=FDCA = FDCA=FD.e) Lijn lll, want loopt door het midden van lijnstuk ABABAB en staat loodrecht op lijnstuk ABABAB. a)  Vierhoek ABCD is een vergroting van vierhoek HIJK. De vergrotingsfactor is 6. Alle zijdes worden dus zes keer zo groot.Dat betekent dat de omtrek ook zes keer zo groot wordt.b) De vorm en de hoeken van figuren ABC en XYZ zijn gelijkFiguur XYZ is dus een vergroting van figuur ABCDe lengtematen van XYZ zijn kleiner dan van figuur ABCDe vergrotingsfactor is dus kleiner dan 1.  Omdat je dan de derde zijde zo kunt kiezen dat die een andere lengte heeft. Een goede schets laat twee driehoeken zien met twee zijdes met dezelfde verhouding, en een derde zijde die afwijkt. De twee driehoeken hebben dan ook een duidelijk andere vorm.Hieronder geven we een voorbeeld. De verhouding van zijdes AB:DE en BC:EF is 1:1, maar zijdes AC en DF hebben een heel andere lengte.Er moeten dus altijd drie zijden dezelfde verhouding hebben om gelijkvormigheid van driehoeken aan te tonen. a) $\angle D = \angle A$ (Z-hoeken) OF $\angle E = \angle B$ (Z-hoeken)$\angle C_1 = \angle C_2$ (overstaande hoeken)Dus geldt dat $\triangle ABC \sim \triangle DEC$ (hh).b) Zet de overeenkomstige zijden onder elkaar:ABBCACDEECDC Alle punten op een middelloodlijn liggen van een lijnstuk ACACAC, liggen even ver van punt AAA als van punt CCC af. Dus we moeten de middelloodlijn van zijde ACACAC tekenen, en dan alleen het stuk dat binnen de driehoek ligt. Dat hebben we hieronder rood getekend. Zorg dat je aangeeft dat de lijnstukken AD en CD even lang zijn (je mag punt D natuurlijk ook een andere naam geven) en geef ook aan dat de lijn loodrecht staat op zijde AC. a) $\triangle ADB$ is gelijkvormig met $\triangle ABC$, want: $\angle A = \angle A$ (dezelfde hoek)$\angle D_1 = \angle B$ (allebei rechte hoeken)Dus de driehoeken zijn gelijkvormig (hh).b) Maak een verhoudingstabel:$AD$$AB$$AB$$AC$Invullen geeft:$AD$$8$$8$$17$Kruislings vermenigvuldigen geeft: $AD = \frac{8 \times 8}{17} \approx 3,8$. a) Bij een vergrotingsfactor van $6$ wordt het oppervlakte $6^2=36 \times$ zo groot. Dus opp. $A_6B_6C_6$ = $vergrotingsfactor^2$ x opp. $A_1B_1C_1$ =$\rm 36 \times 5,75 = 207 \, cm^2$b) Bij deze vraag gaan we terugrekenen naar de vergrotingsfactor als de oppervlakte bekend is. We rekenen allereerst uit dat de oppervlakte $92 : 5,75 = 16 \times$ zo groot is geworden. Nu kijken we hoeveel groter dan de zijden moeten zijn.Bedenk dat als de afmetingen met een factor $k$ worden vermenigvuldigd, de oppervlakte $k^2$ keer zo groot wordt. $k^2$ is hier 16, dus dan moet $k=4$ zijn.De zijdes zijn dus 4 keer zo groot bij driehoek DEF. a) $\angle R = \angle R$ (dezelfde hoek)$\angle P = \angle S$ (F-hoeken)Dus $\triangle PQR \sim \triangle STR$ (hh)b) Dit kunnen we opschrijven in een verhoudingstabel:$PQ$$QR$$PR$$ST$$TR$$SR$Invullen geeft:$6$$QR$$13$$ST$$6,5$$8$Kruislings vermenigvuldigen geeft: $ST = \frac{6 \times 8}{13} \approx 3,7$.c)Om de lengte van $QT$ te berekenen hebben we eerst de lengte van $QR$ nodig. Hiervoor kunnen we weer gebruiken dat $\triangle PQR$ gelijkvormig is met $\triangle STR$. Opschrijven in een verhoudingstabel geeft:$PQ$$QR$$PR$$ST$$TR$$SR$Invullen geeft:$6$$QR$$13$$ST$$6,5$$8$Kruislings vermenigvuldigen geeft: $QR = \frac{13 \times 6,5}{8} = 10,5625$Dus $QT = QR - TR = 10,5625 - 6,5 = 4,0625 \approx 4,1$. Maak eerst een schets van de situatie. Geef de punten een naam.Bij onze schets is KMKMKM de diagonaal van vierkant KLMNKLMNKLMN. We gaan aantonen dat △KLM≅△MNK\triangle KLM \cong \triangle MNK△KLM≅△MNK.Gebruik nu dat bij een vierkant elke zijde even lang is:KL=MNKL = MNKL=MN (vierkant)LM=KNLM = KNLM=KN (vierkant)KM=KMKM = KMKM=KM (dezelfde zijde)Dus △KLM≅△MNK\triangle KLM \cong \triangle MNK△KLM≅△MNK (ZZZ)Let op dat je de gelijkheid van elke zijde aantoont en dat je ook altijd benoemt waarom zijdes even lang zijn.  Werkwijze: Omdat $\triangle KSN \cong \triangle LSN$, zijn alle zijdes van deze driehoeken gelijk. Daarmee kunnen we aantonen dat ook de zijdes van $\triangle KLM$ en $LKN$ gelijk zijn.$KL = KL$ (dezelfde zijde)$KN = LM$ (vanwege de congruentie van $\triangle KSN$ en $\triangle LSN$$KM = KS + MS$ (gegeven) en $LN = LS + NS$ (gegeven), dus $KM = LN$ (volgt opnieuw uit de congruentie van $\triangle KSN$ en $\triangle LSN$)Conclusie: $\triangle KLM \cong \triangle LKN$ (ZZZ). $\angle ADE = \angle BED $ (Z-hoeken)$\angle ADE = \angle BDE$ (bissectrice)Hieruit volgt dat $\angle BED = \angle BDE$.