Moderne Wiskunde B 12e ed/FLEX deel 1 - Hoofdstuk 6 - Afgeleide functies oefentoetsen & antwoorden

De formule $\large \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ stelt de gemiddelde verandering van een functie $f$ over een interval $[a, b]$ voor. (Dit wordt ook het differentiequotiënt van $f(x)$ over het interval $[a,b]$ genoemd.) Laat in je schets zien waar $\Delta x$ en $\Delta y$ gevonden kunnen worden! De vorm van je functie $f(x)$ mag je zelf kiezen.$\Delta x$ wordt steeds kleiner als je $b$ naar $a$ laat naderen:Dus $b \rightarrow a$Hoe kleiner je $\Delta x = b-a$ maakt, des te beter benader je de helling van de grafiek in het punt $A$.$\frac{dx}{dy}$ betekent het differentiaalquotiënt: Als je het differentiequotiënt $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ over een steeds kleiner interval $\Delta x = b-a$ uitrekent, gaat $\Delta x \rightarrow 0$Het differentiequotiënt $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ gaat dan over in het differentiaalquotiënt $\frac{dx}{dy}$.Het differentiaalquotiënt $\frac{dx}{dy}$ is de exacte waarde van de helling van de grafiek $f$ in het punt $A$. De helling in een punt noem je ook wel de afgeleide waarde.In een tijd-afstand situatie is de afgeleide waarde gelijk aan de snelheid op dat moment. De formule voor de afgeleide van de machtsfunctie $f(x) = x^n$, met $x \neq 0$, is:$f’(x) = mx^{n-1}$.Het bepalen van de coördinaten van de top $A(x_A, y_A)$ van een grafiek doe je als volgt.In een top $A$ van de grafiek van een functie $f$ is de raaklijn evenwijdig aan de x-as. De helling van de grafiek in de top A is dan gelijk aan 0. Dus je kunt een top vinden door op te lossen: $f'(x)=0$. (Je bepaalt daarmee voor welke waarde van x de helling gelijk is aan 0 en daarmee voor welke waarde van x de helling evenwijdig is aan de x-as.)Dan is $x_A$ gelijk aan die waarde waarvoor $f'(x)=0$, en $y_A = f(x_A)$. Gevraagd wordt naar het differentiequotiënt van $f$ op het interval $[10,40]$. Het differentiequotiënt is de gemiddelde verandering van f op dit interval: $\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{f(40)-f(10)}{40-10}$Tip: Vind je dit lastig? Plot de grafiek op je GR en maak zelf een schets, zoals in deze uitwerking. We bepalen eerst $f(10)$ en $f(40)$ en daarna het differentiequotiënt.$f(10) = -\frac{1}{25} \cdot 10^2 + 4 \cdot 10 - 60 = -4 + 40 - 60 = -24$  $f(40) = -\frac{1}{25} \cdot 40^2 + 4 \cdot 40 - 60 = -\frac{1600}{25} + 160 - 60 = -64 + 160 - 60 = 36$ Bepaal het differentiequotiënt:$\large \frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{f(40)-f(10)}{40-10} = \frac{36 - \, -24}{40 - 10} = \frac{60}{30} = 2$ De afgeleide van $f(x) = 5x +7 \sqrt 5$ is $f’(x)=5$. Toelichting:Als $f(x) = u(x) + v(x)$ dan is $f’(x) = u’(x) + v’(x)$. (In woorden: De afgeleide van de som van twee functies is gelijk aan de som van de afgeleide van de twee functies (somregel) ).De afgeleide van $u(x)=5x$ is gelijk aan $u’(x)=5$. (De grafiek van $u(x) = 5x$ is een rechte lijn door de oorsprong. De helling hiervan is constant, in dit geval gelijk aan 5.)De afgeleide van $v(x)= \sqrt 5$ is gelijk aan $v’(x)=0$. (In dit geval is $v(x)$ een constante functie. In een grafiek stelt dit een horizontale lijn voor. De helling daarvan en dus de afgeleide is 0.)De afgeleide van $f(x) = 5x +7 \sqrt 5$ is dus gelijk aan $f’(x) = 5 +0 = 5$. Om de afgeleide van  $g(x)=4x(x-3)^2+2$ te bepalen, herschrijf je de functie:$g(x)=4x(x-3)^2+2$$=4x(x^2-6x+9)+2$$=4x^3-24x^2+36x+2$Bepaal nu $g'(x)$ door gebruik te maken van de regel voor het bepalen van de afgeleide van een machtsfunctie (§6.5) en de regels voor het differentiëren (§6.6):$g'(x)=4 \cdot 3 \cdot x^2-24 \cdot 2 \cdot x^1+36\cdot x^0+0$$=12x^2-48x+36$Om de afgeleide van $h(t)=(5t^2+4)(2t-4)$ te bepalen, herschrijf je de functie:$h(t)=(5t^2+4)(2t-4)$$=5t^\cdot (2t-4)+4 \cdot (2t-4)$$=10t^3-20t^2+8t-16$Bepaal nu $h'(t)$:$h'(t)=10 \cdot 3 \cdot t^2-20 \cdot 2 c\dot t^1+8 c\dot t^0$$=30t^2-40t+8$Extra toelichting bij het uitwerken van de haakjes: we gebruiken de rekenregel $(a+b)(c+d)=a(c+d)+b(c+d)=ac+ad+bc+bd$Om de afgeleide van $I(q)=π(2q)^3$ te bepalen, herschrijf je de functie:$I(q)=π(2q)^3$$=π \cdot 2^3q^3 $ (toelichting: er geldt $(pq)n=p^nq^n$)$=π \cdot 8 \cdot q3$$=8π q^3$Bepaal nu $I'(q)$:$I'(q)=8π \cdot 3 \cdot q^2$$=24π q^2$Toelichting: het getal $\pi$ is een constante, dus dat laat je gewoon voor de functie staan bij het nemen van de afgeleide (net als het getal $8$) Stappenplan: (1) Maak een tabel met functiewaarden, (2) Bepaal verschillen tussen opeenvolgende functiewaarden, (3) Maak het toenamediagram.(1) Maak een tabel van de functiewaarden, waarbij opeenvolgende waarden van xxx verschillen met de stapgrootte 1.f(0)=16−00=16f(0)=16-0\sqrt 0=16f(0)=16−00​=16f(1)=16−11=15f(1)=16-1\sqrt 1=15f(1)=16−11​=15f(2)=16−22≈13,17f(2)=16-2\sqrt 2 \approx 13,17f(2)=16−22​≈13,17f(3)=16−33≈10,80f(3)=16-3\sqrt 3 \approx 10,80f(3)=16−33​≈10,80f(4)=16−44=8f(4)=16-4\sqrt 4=8f(4)=16−44​=8f(5)=16−55≈4,82f(5)=16-5\sqrt 5\approx 4,82f(5)=16−55​≈4,82(2) Bepaal de verschillen:f(1)−f(0)=15−16=−1f(1)-f(0)=15-16=-1f(1)−f(0)=15−16=−1f(2)−f(1)≈13,17−15=−1,83f(2)-f(1)\approx 13,17-15=-1,83f(2)−f(1)≈13,17−15=−1,83f(3)−f(2)≈10,80−13,17=−2,37f(3)-f(2) \approx 10,80-13,17=-2,37f(3)−f(2)≈10,80−13,17=−2,37f(4)−f(3)≈ 8−10,80=−2,80f(4)-f(3)\approx  8-10,80=-2,80f(4)−f(3)≈ 8−10,80=−2,80f(5)−f(4)≈4,82−8=−3,18f(5)-f(4) \approx 4,82-8=-3,18f(5)−f(4)≈4,82−8=−3,18(3) Maak het toenamediagram: De helling van de grafiek $f$ in het punt $P$ bepalen we door de helling van de raaklijn $k$ aan de grafiek $f$ in het punt $P$. We kiezen twee geschikte punten op lijn $k$ waarvan de coördinaten goed zijn af te lezen. Hier zijn deze punten gegeven, namelijk punten $A$ en $B$.$A(0,-80)$ en $B(8,100)$ zijn twee punten op lijn $k$.De helling van de raaklijn is ongeveer $\frac{y_B - y_A}{x_A - x_B} = \frac{100 - \, - 80}{8-0} = \frac{180}{8} = 22.5$De helling van de grafiek van $f$ in punt $P$ is gelijk aan de helling van raaklijn $k$, dus gelijk aan $22.5$. Bepaal de afstand die is afgelegd in 10 seconden. Bereken vervolgens de gemiddelde snelheid.De afstand die is afgelegd in 10 seconden is:s(10)=-\frac{1}{15}10^3+2 \cdot 10^2$$=-\frac{1000}{15}+200=133,3$ mDe gemiddelde snelheid gedurende de eerste 10 seconden is $\frac{133,33}{10}=13,33$ m/s. (Gebruik dat snelheid = afstand / tijd)Bepaal de afstand die is afgelegd na 6 seconden. Bereken vervolgens de gemiddelde snelheid.De afstand die is afgelegd in de eerste 10 seconden is 133,3 m (onderdeel a).De afstand die is afgelegd in de eerste 6 seconden is $s(6)=-\frac{1}{15}6^3+2\cdot 6^2$$=-\frac{216}{15}+72=57,6$ mDe gemiddelde snelheid gedurende op het interval [6, 10] is $v_{gem}=\frac{\Delta s }{\Delta t} =\frac{133,3-57,6}{10-6}=18,9$ m/sDe snelheidsfunctie $v(t)$ is de afgeleide functie van de afstandsfunctie $s(t)$.Bepaal de afgeleide functie: $v(t)=s'(t)=-\frac{1}{5}t^2+4t$.Bepaal de snelheid op $t=6$:$v(6)=-\frac{1}{5}6^2+4 \cdot 6=16\frac{4}{5}$Conclusie: De snelheid van de auto op $t=6$ is $16,8$ m/s. In een top van de grafiek van $f$ is de raaklijn evenwijdig aan de $x$-as. De afgeleide is dan gelijk aan nul. Stappen: (1) Werk de haakjes weg, (2) Bepaal de afgeleide functie, (3) Los op $f'(x)=0$, (4) Bepaal bij welke oplossing een maximum hoort, (5) Bereken de coördinaten van de top en (6) formuleer het eindantwoord.(1) Herschrijf $f$ en werk de haakjes weg:$f(x)=(x+1)(x^2-16)$$=x^3+x^2-16x-16$(2) Bepaal de afgeleide functie:$f'(x)=3x^2+2x-16$(3) Los op $f'(x)=0$:$f'(x)=0$$3x^2+2x-16=0$Met behulp van de abc-formule volgt: $x=\frac{-2\pm \sqrt{2^2-4\cdot 3\cdot-16}}{2\cdot 3}$$x=\frac{-2\pm \sqrt{196}}{6}$$x=\frac{-2\pm 14}{6}$Oplossingen: $x=-2\frac{2}{3} \vee x=2$.(4) Bepaal welke oplossing bij een maximum hoort.Uit de gegeven grafiek volgt dat we op zoek zijn naar de coördinaten behorende bij x=2 (want het minimum ligt ná de $y$-as). (Tip: Indien de grafiek niet gegeven is, kun je de grafiek plotten met behulp van je GR.)(5) Bereken de coördinaten van de top.$f(2)=(2+1)(2^2-16)$$=3\cdot-12=-36$(6) Conclusie: de coördinaten van de top zijn $(2, -36)$.Werkwijze: De algemene vergelijking van een rechte lijn is $y=ax+b$. Voor de raaklijn aan $f$ in het snijpunt $P$ met de $y$-as geldt $a=f'(0)$.(1) Bepaal de helling van raaklijn $k$ in het punt $P$.$f'(x)=3x^2+2x-16$$a=f'(0)=3\cdot 0^2+2\cdot 0-16=-16$(2) Stel de vergelijking van raaklijn $k$ op:Er geldt: $y=-16x+b$ en lijn $k$ gaat door $P(0, f(0))=(0, -16)$Dus er moet gelden: $b=-16$(3) Dus $k:y=-16x-16$De algemene vergelijking van een rechte lijn is $y=ax+b$. Voor de raaklijn aan $f$ in het snijpunt $Q$ met de $x$-as moet eerst het snijpunt met de $x$-as worden bepaald. (1) Bepaal het snijpunt van $f$ met de $x$-as. Los op: $f(x)=0$.$f(x)=0$$(x+1)(x^2-16)=0$Schijf om tot: $(x+1)(x+4)(x-4)=0$. Dat geeft snijpunten met de $x$-as voor $x=-4$, $x=-1$ en $x=4$. (Alternatief mag je ook stellen dat $(x+1)+0 \vee (x^2-16)=0$. Verder oplossen geeft dan dezelfde snijpunten).Uit de gegeven grafiek volgt dat $x=4$ de $x$-coördinaat is die hoort bij $Q$ (want $Q$ ligt op de positieve $x$-as). Dus $Q(4, 0)$(2) Bepaal de helling van raaklijn $l$ in het punt $Q$. $f'(x)=3x^2+2x-16$Invullen geeft $a=f'(4)=3\cdot 4^2+2\cdot 4-16=40$(3) Stel de vergelijking van raaklijn $l$ op:Er geldt: $y=40x+b$Lijn $l$ gaat door $Q(4,  0)$Er moet gelden: $0=40\cdot 4+b$, dus $b=-160$(4) Dus $l:y=40x-160$.