Moderne Wiskunde 12e ed deel B - Hoofdstuk 12B - Cirkels oefentoetsen & antwoorden

$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$. Schrijf de vergelijking van de lijn in de vorm $y=...$ of $x=...$Substitueer de vergelijking van de lijn in die van de cirkel.Los de vergelijking op en bereken zo de x- of y-coördinaten van de snijpunten.Vul de gevonden coördinaten in de formule van de lijn in om de andere coördinaten te vinden.De discriminant kan gelijk zijn aan $0$, of $<0$ zijn of $>0$:$D=0$ betekent dat lijn en cirkel elkaar raken$D>0$ betekent dat ze elkaar snijden (in twee snijpunten)$D<0$ betekent dat ze geen enkel punt gemeenschappelijk hebben. Werkwijze: Herleid steeds de vergelijking tot de algemene vorm (x-a)^2+(y-b)^2=r^2$. Doe dit door kwadraat te splitsen. Daarna kun je de straal $r$ en de coördinaten van het middelpunt $(a,b)$ uit de vergelijking aflezen. $x^2 + y^2 +10x - 4y + 10 = 0$Twee keer kwadraat afsplitsen geeft: $(x+5)^2-25 + (y-2)^2-4 +10 = 0$ (vervang $x^2 + 10x$ door $(x+5)^2 -25$, en op dezelfde manier $y^2-4y$ door $(y-2)^2-4$)Herleiden tot de standaard vorm: $(x+5)^2 + (y-2)^2 -25 -10 + 10 = 0$$(x+5)^2 + (y-2)^2 -25 = 0$$(x+5)^2 + (y-2)^2 = 25$Dus de straal is $r = \sqrt 25 = 5$ en het middelpunt is $(-5, 2)$ (let op de min!) $x^2 + y^2 - 5y + 4 = 0$Kwadraat afsplitsen (hoeft maar één keer, alleen voor $y$) geeft: $x^2 + (y-2\frac{1}{2})^2-6\frac{1}{4} +18 = 0$Herleiden tot de standaard vorm: $x^2 + (y-2\frac{1}{2})^2-2\frac{1}{4} = 0$$x^2 + (y-2\frac{1}{2})^2 =2\frac{1}{4}$Dus de straal is $r = \sqrt 2\frac{1}{4} = 1\frac{1}{2}$ en het middelpunt is $(0, 2\frac{1}{2})$ $x^2 + y^2 +6x - 14y= 0$Twee keer kwadraat afsplitsen geeft: $(x+3)^2-9 + (y-7)^2-49 = 0$Herleiden tot de standaard vorm: $(x+3)^2 + (y-7)^2 -58 = 0$$(x+3)^2 + (y-7)^2 =58$Dus de straal is $r = \sqrt 58 $ en het middelpunt is $(-3, 7)$. Schrijf de vergelijking van de lijn om zodat je deze bij de cirkel kunt substitueren:$x = 2y -1$ (Je mag ook omschrijven naar $y=...$, maar dat geeft in dit geval een lastigere vergelijking)Substitueer in de cirkelvergelijking:$(2y-1-3)^2 +(y+4)^2 = 17$Vereenvoudig de kwadratische vergelijking:$(2y-4)^2 + (y+4)^2=17$$4y^2-16y+16 + y^2+8y+16 = 17$$5y^2 - 8y + 32 = 17$$5y^2 -8y + 15 = 0$Bereken de discriminant:$a = 5, b=-8, c=15$ geeft $D = b^2 - 4ac = (-8)^2-4 \cdot 5 \cdot 15 = -236$Conclusie: $D<0$, dus de cirkel en de lijn hebben geen punten gemeenschappelijk. Schrijf de vergelijking van de lijn om zodat je deze bij de cirkel kunt substitueren:$2y = -6x +8$$y=-3x+4$ (Je mag ook omschrijven naar $x=...$, maar dan krijg je breuken)Substitueer in de cirkelvergelijking:$(x+2)^2 + (-3x+4)^2=30$Vereenvoudig de kwadratische vergelijking:$x^2 + 4x + 4 + 9x^2-24x+16 = 30$$10x^2 -20x + 20 = 30$$10x^2 -20x -10 = 0$$x^2-2x-1=0$Bereken de discriminant:$a = 1, b=-2, c=-1$ geeft $D = b^2 - 4ac = (-2)^2-4 \cdot 1 \cdot -1 = 8$Conclusie: $D>0$, dus de cirkel en de lijn snijden elkaar in twee punten. Tip: maak voor je eigen begrip van de situatie eerst een schets van de situatie. Hieronder noemen we het middelpunt M en het gegeven punt A. De straal $r$ vinden we via Pythagoras:Maak een driehoek met als schuine zijde de straal $MA$De breedte horizontaal is $x_M - x_A = 3-2 = 1$ en de hoogte verticaal is $y_A - y_M = 4 –6 = 10$Dus $MA = \sqrt{1^2 + 10^2} = \sqrt{101}$Het middelpunt is $M(3, -6)$Invullen in de algemene formule voor een cirkel geeft: $(x-3)^2+(y+6)^2=101$. We beginnen opnieuw met een schets. Midden tussen $A$ en $B$ ligt het middelpunt $M$ en we schetsen ook alvast hoe de cirkel eruit ziet. De straal $r$ is de helft van de lengte van lijn $AB$, dus de straal is $5$.Middelpunt is $M(5,1)$.Een vergelijking van de cirkel is dus: $(x-5)^2+(y-1)^2=25$. Er zijn meerdere cirkels mogelijk met straal 2 die aan de assen raken, maar er is er maar één die aan de positieve $x$-as en $y$-as raakt. (Bedenk dat raken betekent dat de cirkel precies één punt gemeenschappelijk heeft; hieronder zie je de raakpunten $(0,2)$ en $(2,0)$.Van deze cirkel is de straal gegeven: $r=2$.Het middelpunt is $M(2,2)$.Dus een vergelijking van de cirkel is $(x-2)^2+(y-2)^2=4$. Aanpak: Eerst stellen we de vergelijking van cirkel c1c_1c1​ op. Daarmee berekenen we de coördinaten van punten AAA en BBB (en we weten al dat y=0y=0y=0, want ze liggen op de x-as). Lengte ABABAB is dan het verschil tussen de yyy-coördinaten van de twee punten.Vergelijking van de cirkel: straal is 555 en middelpunt (8.3)(8.3)(8.3), dus: (x−8)2+(y−3)2=25(x-8)^2 + (y-3)^2 = 25(x−8)2+(y−3)2=25.Coördinaten van AAA en BBB: vul in de cirkel in dat y=0y=0y=0 en los op.(x−8)2+(0−3)2=25(x-8)^2 + (0-3)^2 = 25(x−8)2+(0−3)2=25(x−8)2+9=25(x-8)^2 + 9 = 25(x−8)2+9=25x2−16x+64+9−25=0x^2-16x+64 +9 - 25=0x2−16x+64+9−25=0x2−16x+48=0x^2 -16x + 48=0x2−16x+48=0(x−4)(x−12)=0(x-4)(x-12)=0(x−4)(x−12)=0 (of via de ABC-formule)x=4∨x=12x=4 \vee x=12x=4∨x=12Dus A(4,0)A(4,0)A(4,0) en B(12,0)B(12,0)B(12,0)Conclusie: De afstand AB=yB−yA=12−4=8AB = y_B - y_A = 12-4 = 8AB=yB​−yA​=12−4=8.Om de vergelijking van de cirkel op te kunnen stellen hebben we de straal en de coördinaten van het middelpunt nodig.Eerst de straal.Bedenk dat MMM op afstand 888 van de y−asy-asy−as ligt (want xM=8x_M = 8xM​=8). De straal van c1c_1c1​ is 555 (gegeven).Dus de diameter van cirkel c2c_2c2​ is 8−5=38-5 = 38−5=3. De straal is de helft van de diameter, dus r=112r=1\frac{1}{2}r=121​.Hiermee kunnen we ook het middelpunt vinden.Gegeven was al dat yN=yM=3y_N = y_M= 3yN​=yM​=3Het middelpunt moet midden tussen het raakpunt met de y-as en het raakpunt met de grote cirkel liggen, dus op x=112x=1\frac{1}{2}x=121​.Dus N(112,3)N(1\frac{1}{2}, 3)N(121​,3)Invullen in de standaard vergelijking voor een cirkel geeft: de vergelijking van c2c_2c2​ is (x−112)2+(y−3)2=214(x-1\frac{1}{2})^2 + (y-3)^2 = 2\frac{1}{4}(x−121​)2+(y−3)2=241​.Tip: Als je het lastig vindt om zo’n opgave op te lossen, maak dan zelf een schets en zet alle gegevens erin. Zo kun je beter zien wat de situatie is. In dit geval is het bijvoorbeeld handig om het raakpunt (dat hebben we SSS genoemd) tussen de twee cirkels aan te geven, en wordt het er ook duidelijker van als je op ruitjespapier het assenstelsel tekent: Werkwijze: Stel eerst de vergelijking van de cirkel op. Stel vervolgens de vergelijking op van de lijn door $A$ en $C$. Punt $F$ is het snijpunt tussen de cirkel en de lijn.De vergelijking van de cirkel:De straal vinden we door de afstand tussen $M$ en $A$: met Pythagoras geeft dat $\sqrt{(4-3)^2 + (0-2)^2} = \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{5}$.Middelpunt is gegeven: $M(3,2)$Dus de vergelijking is $(x-3)^2 + (y-2)^2 = 5$De vergelijking van de lijn: Een lijn is $y=ax+b$$a$ is de helling: bereken deze bijvoorbeeld via $a = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{x_C - x_A}{y_C-y_A} = \frac{0 - 4}{4-0} = \frac{-4}{4} = -1$ $b$ is de beginwaarde. Deze is gelijk aan $4$, vanwege de ligging van punt $C$ (of je kunt $b$ berekenen door punt $A$ of punt $C$ in de lijn in te vullen)Dus de vergelijking van de lijn is $y=-x+4$.Nu vinden we punt $F$ door de snijpunten tussen de lijn en de cirkel te vinden:De lijn staat al in de vorm $y=...$, dus deze kunnen we direct in de vergelijking van de cirkel substitueren:$(x-3)^2 + (y-2)^2 = 5$ met $y=-x+4$$(x-3)^2 + (-x+4-2)^2=5$$(x-3)^2+(-x+2)^2=5$Los de vergelijking op om $x$ te vinden:Eerst haakjes uitwerken: $x^2 -6x +9 + x^2 -4x +4 = 5$$2x^2 -10x +13 = 5$$2x^2 -10x +8 = 0$Deel elke term door 2 om makkelijker te kunnen oplossen (of gebruik direct de ABC-formule): $x^2 -5x +4 = 0$$(x-1)(x-4)=0$Dat geeft $x=1 \vee x=4$De $x$-coördinaat van $F$ is $1$ (want $x=4$ hoort bij punt $A$)Vul de gevonden $x$-coördinaat in bij de lijn om de $y$ te vinden:$y = -x + 4 = -1 + 4 = 3$Conclusie: de coördinaten van $F$ zijn $(1, 3)$. Aanpak: De lijnenbundel heeft geen punten als D<0D<0D<0. Eerst moeten we daartoe de vergelijking van de lijn omschrijven en substitueren in de vergelijking van de cirkel.Schrijf de vergelijking van de lijn om zodat je deze bij de cirkel kunt substitueren:−2y=2p−4x-2y=2p-4x−2y=2p−4xy=−p+2xy=-p+2xy=−p+2xSubstitueer in de cirkelvergelijking:(x−1)2+(−p+2x)2=1(x-1)^2 + (-p+2x)^2=1(x−1)2+(−p+2x)2=1Vereenvoudig de kwadratische vergelijking:x2−2x+1+p2−4px+4x2=1x^2 - 2x +1 +p^2 -4px +4x^2 = 1x2−2x+1+p2−4px+4x2=15x2−2x−4px+1+p2−1=05x^2-2x - 4px + 1 + p^2 - 1 = 05x2−2x−4px+1+p2−1=05x2+x(−2−4p)+p2=05x^2 +x(-2 -4p) + p^2 =05x2+x(−2−4p)+p2=0Bereken de discriminant:a=5,b=−2−4p,c=p2a =5 , b=-2-4p, c=p^2a=5,b=−2−4p,c=p2 geeft D=b2−4ac=(−2−4p)2−4⋅5⋅p2=4+16p+16p2−20p2=−4p2+16p+4D = b^2 - 4ac = (-2-4p)^2-4 \cdot 5 \cdot p^2 = 4 + 16p + 16p^2 - 20p^2 = -4p^2 +16p + 4D=b2−4ac=(−2−4p)2−4⋅5⋅p2=4+16p+16p2−20p2=−4p2+16p+4Nu moet D<0D<0D<0 zijn. Los daartoe eerst de vergelijking D=0D=0D=0 op:−4p2+16p+4=0 -4p^2 +16p + 4 = 0−4p2+16p+4=0Vereenvoudig door alles te delen door −4-4−4: p2−4p−1=0p^2 -4p - 1 = 0p2−4p−1=0Deze kun je niet met ontbinden oplossen, dus het moet met de ABC-formule. a=1,b=−4,c=−1a=1, b=-4, c=-1a=1,b=−4,c=−1 geeft D=(−4)2−4⋅1⋅−1=20D = (-4)^2-4 \cdot 1 \cdot -1 = 20D=(−4)2−4⋅1⋅−1=20Dus p=4−202⋅1∨p=4+202⋅1p= \frac{4 -\sqrt{20}}{2 \cdot 1} \vee p= \frac{4 +\sqrt{20}}{2 \cdot 1}p=2⋅14−20​​∨p=2⋅14+20​​p=2−1220∨p=2+1220p = 2 - \frac{1}{2}\sqrt{20} \vee p = 2 + \frac{1}{2}\sqrt{20}p=2−21​20​∨p=2+21​20​Dus D<0D<0D<0 als p<2−1220∨p>2+1220p < 2 - \frac{1}{2}\sqrt{20} \vee p > 2 + \frac{1}{2}\sqrt{20}p<2−21​20​∨p>2+21​20​ (controleer dit bijvoorbeeld door zelf een getal voor ppp in te vullen en te controleren of D<0D<0D<0)Conclusie: de cirkel en de lijn hebben geen punten gemeenschappelijk voor p<2−1220∨p>2+1220p < 2 - \frac{1}{2}\sqrt{20} \vee p > 2 + \frac{1}{2}\sqrt{20}p<2−21​20​∨p>2+21​20​.Extra toelichting: hieronder nog een schets van de situatie. De twee waardes van ppp waarvoor precies D=0D=0D=0 leveren de rode stippellijnen op, die de cirkel precies raken. In blauw twee voorbeelden van lijnen die voldoen aan de vraag. We moeten laten zien dat $P(0,1)$ op de cirkel ligt. Dat kun je doen door de coördinaten in de cirkelvergelijking in te vullen en te controleren dat het klopt:$(x-3)^2+(y-5)^2=25$ met $x=0$ en $y=1$ geeft:$(0-3)^2 + (1-5)^2 = 9 + 16 = 25$.Dat klopt, dus we hebben aangetoond dat $P$ inderdaad op de cirkel ligt. Om aan te tonen dat de lijn de cirkel precies raakt vullen we de vergelijking van de lijn in bij de cirkel en laten we zien dat $D=0$.$y=-\frac{3}{4}x+1$ invullen bij de cirkel en vereenvoudigen:$(x-3)^2 + (-\frac{3}{4}x +1-5)^2 = 25$$x^2 -6x +9 + (-\frac{3}{4}x -4)^2 = 25$$x^2 -6x + 9 + \frac{9}{16}x^2 + 2 \cdot -\frac{3}{4} \cdot -4 x + 16 = 25$ (Twee breuken vermenigvuldigen doe je met teller x teller en noemer x noemer, dus $(-\frac{3}{4})^2 =- \frac{3}{4} \cdot -\frac{3}{4} = \frac{-3 \cdot -3}{4 \cdot 4} = \frac{9}{16}$)$1 \frac{9}{16}x^2 -6x + 6x +9 -9 = 0$$1 \frac{9}{16}x^2 = 0$Dus $a=1\frac{9}{16}, b=0, c=0$. De discriminant is $D = 0^2 - 4 \cdot 1\frac{9}{16} \cdot 0 = 0$.Dus de lijn raakt inderdaad de cirkel.