Moderne Wiskunde AC 12e ed/FLEX deel 2 - Hoofdstuk 9 - Formules herleiden oefentoetsen & antwoorden

$\sqrt{A}=B$ volgt $A=B^2$ (§9.3)$\frac{A+B}{C}=\frac{A}{C}+\frac{B}{C}$ (§9.2)$A\cdot \frac{B}{C}=\frac{AB}{C}$ (§9.2) als $\frac{A}{B}=C$ dan ook $\frac{A}{C}=B$ (§9.2)Als $\frac{A}{B}=\frac{C}{D}$ dan $A\cdot D=B \cdot C$ (§9.2)$\frac{1}{x^n}=x^{-n}$ (§9.4) Breng alle termen met de $x$ naar een kant en de rest naar de ander kant.$-3x=21$Links en rechts delen door $-3$ geeft: $x=-7$ Werk eerst de breuken weg door links en rechts te vermenigvuldigen met $4$: $2(2x-4)=5x-3$Werk nu de haakjes weg: $4x-8=5x-3$Links en rechts $-5x$: $-x-8=-3$Links en rechts $+8$: $x=-5$ Werk eerst de haakjes weg: $3q+2p=6p+12q+12$Breng alle termen met een $q$ naar links en alle andere termen naar rechts: $3q-12q=6p-2p+12$Herleiden geeft $-9q=4p+12$Links en rechts delen door $-9$ geeft: $q=-\frac{4}{9}-1 \frac{1}{3}$Werk eerst de haakjes weg: $\frac{1}{2}p+q=\frac{1}{4}p-\frac{1}{8}q$Breng alle termen met een $q$ naar links en alle andere termen naar rechts: $q+\frac{1}{8}q=\frac{1}{4}p-\frac{1}{2}p$Herleiden geeft:  $1\frac{5}{8}q=\frac{1}{4}p$Links en rechts delen door $\frac{13}{8}$ geeft $q=\frac{2}{13}p$Tip: delen door een breuk is hetzelfde als vermenigvuldigen met het omgekeerde. Breng eerst de $5$ naar de andere kant: $\frac{6}{q}=-1+p$We kunnen de termen $q$ en $-1+p$ verwisselen: $\frac{6}{-1+p}=q$Dit is te schrijven als $q=\frac{6}{-1+p}$Tip: Er geldt $6=\frac{12}{2}$. We kunnen ook de $2$ en de $6$ verwisselen: $2=\frac{12}{6}$De linkerkant is te herschrijven als $p+3$: $p+3=-\frac{q}{12}$ Links en rechts keer $-12$ geeft $-12(p+3)=q$Dit geeft $q=-12p-36$. Links en rechts keer $4$ geeft: $4p= \sqrt{4q+3}$Links en rechts kwadrateren geeft: $16p^2=4q+3$Dan is $4q=16p^2-3$Links en rechts delen door 4 geeft:  $q=4p^2-\frac{3}{4}$. Links en rechts kwadrateren geeft: $2p+3q=(4p+2)^2 =16p^2+16p+4$Breng de $2p$ nu naar links: $3q=16p^2+14p+4$Links en rechts delen door $3$ geeft: $q=5 \frac{1}{3}p^2+4 \frac{2}{3}+ 1 \frac{1}{3}$ $ (\sqrt{x})^2=x$ en $\sqrt[3]{x^2}=x^{\frac{2}{3}}$$K=\frac{1}{2x}\cdot \sqrt[3]{x^2}\cdot (\sqrt{x})^2$ kan dan worden geschreven als $K = \frac{x^{\frac{2}{3}}\cdot x}{2x}$Dit kan verder worden herleid tot $K = \frac{x^{\frac{2}{3}}}{2}$Hieruit volgt dat $a=\frac{2}{3}$ en $b=\frac{1}{2}$$\left(  \frac{1}{5x} \right)^2=\frac{1}{25x^2}$ en $(2x)\cdot \sqrt[3]{x})^2=4x^2 \cdot \left( x^{\frac{1}{3}} \right) ^2= 4x^2\cdot x^{\frac{2}{3}}=4x^{2\frac{2}{3}} $.$K=(2x\cdot \sqrt[3]{x})^2\cdot \left(  \frac{1}{5x} \right)^2$ kan nu worden omgeschreven tot $4x^{2 \frac{2}{3}} \cdot \frac{1}{25x^2} = \frac{4x^{\frac{2}{3}}}{25}$Dus $b=0,16$ en $a=\frac{2}{3}$.Schrijf $\frac{p^{0.5}}{p^2}$ als $\frac{1}{p^{-1,5}}$  en de linkerkant   $Q\cdot p^{-3}$ als $\frac{Q}{p^3}$.Links en rechts delen door $Q$ geeft: $\frac{1}{p^3}=\frac{Q}{p^{-1,5}}$Links en rechts keer door $p^{1,5}$ geeft $\frac{p^{1,5}}{p^3}=Q$.Dit geeft $Q=\frac{1}{p^{1,5}}=p^{-1,5}$Links en rechts tot de macht $\frac{1}{-1,5}$ geeft$\left( Q \right)^{\frac{1}{-1,5}}=p$Dus $c=1$ en $a=-\frac{2}{3}$. Vul voor elke $t$ in de formule voor $u$ de uitdrukking $4y+3$ in.Dit geeft: $u=4(4y+3) + (4y+3-2) + 7y=16y+12+4y+1+7y$Vereenvoudig het resultaat:  $u=27y+13$Vul voor elke $t$ in de formule voor $u$ de uitdrukking $-y-6$ in.Dit geeft: $u=\frac{(-y-6)^2}{-y-6}$Merk op dat er rechts iets staat als $\frac{A^2}{A}$ en dit is gelijk aan $A$.Dit geeft $u=-y-6$Tip: Je mag ook direct opmerken dat $u=\frac{t^2}{t} =t$. Dit vereenvoudigt de vraag.Alternatief: als je dit niet meteen ziet mag je ook de teller helemaal uitwerken, dus het kwadraat wegwerken Invullen van de formule geeft:  $R=\sqrt{\frac{196}{100}}-1=\sqrt{1,96}-1$Dit is gelijk aan $R=1,4-1=0,4$Het rendementspercentage is nu gelijk aan $0,4 \times 1005=40\%$Schrijf de formule voor $R$ om. Breng eerst de $1$ naar de andere kant: $R-1=\sqrt{\frac{V_2}{V_0}}$Links en rechts kwadrateren: $(R-1)^2 =\frac{V_2}{V_0}$Links en rechts vermenigvuldigen met $V_0$ geeft: $V_0\cdot (R-1)^2 =V_2$Uitwerken geeft: $V_2=V_0 \cdot (R^2-2R+1)$.  We kunnen $R$ en $L^3$ verwisselen. (Immers, we kunnen $R=c\cdot \frac{G}{L^3}$ schrijven als $R=\frac{cG}{L^3}$, en $6=\frac{12}{2}$ kunnen we herschrijven als $2\frac{12}{6}$, dus de $6$ en de $2$ verwisselen. Dat kan met deze formule ook)De formule wordt dan $L^3=c\cdot \frac{G}{R}$Neem links en rechts de derdemachtswortel: $L= \sqrt[3]{c\cdot \frac{G}{R}}$.Alternatief: om de $L^3$ weg te werken, kunnen we ook de linkerkant en de rechterkant van de formule $R=c\cdot \frac{G}{L^3}$ vermenigvuldigen met $L^3$. We krijgen dan $RL^3=c\cdot G$. Links en rechts delen door $R$ geeft $L^3=c\cdot \frac{G}{R}$ zoals hierboven.b)Invullen van de gegevens levert $R=0.05\cdot \frac{50}{L^3}$.Merk op dat we $L$ zo groot mogelijk willen nemen. Dan wordt $R$ kleiner. We moeten dus de ondergrens van $R$ gebruiken oftewel $R=0.18$.De vergelijking wordt $0.18=0.05\cdot \frac{50}{L^3}$.Dit lossen we op met de grafische rekenmachine:Invoer: $y_1=0.18$ en $y_2: 0.05\cdot \frac{50}{x^3}$Window: $0\leq x\leq 10$ en $0\leq y\leq 0.5$Optie: IntersectDe oplossing is $L=x=2.4$ cm. We substitueren $h=2b$ en $d=1.3b$ in de formule van  $I=0.25h(2.5d^2+1.2b^2)$.Dit geeft: $I=0.25\cdot 2b(2.5\cdot (1.3b)^2+1.2b^2)$Uitwerken geeft: $I=0.25\cdot 2b(2.5\cdot (1.69b^2+1.2b^2)=0.5b(4.225b^2+1.2b^2)$Dit geeft: $0.5b(5.425b^2)=2.7125b^3$.De hoogte in dm is $h=8$.We substitueren $h=8$ en $d=1.25b$ in de formule van  $I=0.25h(2.5d^2+1.2b^2)$.Dit geeft; $I=2(2.5\cdot (1.25b)^2+1.2b^2)$Uitwerken geeft: $I=2(2.5\cdot (2.5 \cdot 1.5625b^2+1.2b^2)=2(3.90625b^2+1.2b^2)$Dit geeft: $I=2(5.10625b^2)=10.2125b^2$.Hieruit volgt $0.0979I=b^2$Nemen we links en rechts de wortel dan $b=0.31I$. (Er is nog een tweede oplossing: $b=-0.31I$, maar dit geeft een negatieve diameter, want de inhoud is positief, en dit is niet mogelijk)Invullen in de formule geeft: $100=0.25h(2.5\cdot 36+1.2\cdot 25)$Uitwerken geeft:  $100=0.25h(90+30)=30h$Hieruit volgt dat $h=\frac{100}{3}=33\frac{1}{3}$ dm. Breng eerste de $44.4$ naar links $g_m-44.4=2.8\cdot j $Links en rechts delen door $2.8$: $j=\frac{g_m-44.4}{2.8}$Dit kan worden herschreven tot $j=0.36g_m-15.86$We moeten TE vermenigvuldigen met $g_m$. Dit geeft $\left( 23.4-\frac{23.4}{41}\cdot j \right)\cdot \left( 2.8\cdot j +44.4\right)$ (let op de haakjes!)Uitwerken geeft: $TK=-1.6\cdot j^2+40.2\cdot +1039.0$Conclusie: $a=-1.6$, $b=40.2$ en $c=1039.0$.We moeten TE weer vermenigvuldigen met $g_m$. Dit geeft $\left( 23.4-\frac{23.4}{41j} \right)\cdot \left( 2.8\cdot j +44.4\right)$Uitwerken geeft: $TK=65.52\cdot j +1040.6+\frac{25.34}{j}$ Links en rechts delen door $\frac{1}{0.81}D=\sqrt[5]{\frac{P}{R}}$Links en rechts tot de macht $5$.$\left( \frac{1}{0.81}D\right)^5 =\frac{P}{R}$De linkerkant uitwerken geeft: $\left( \frac{1}{0.81}D\right)^5=\left( \frac{1}{0.81} \right)^5 \cdot D^5=2.87D^5$We kunnen nu schrijven: $\frac{P}{R}=2.87D^5$ en dus $P=2.87D^5\cdot R$Zie opgave a). Links en rechts delen door $\frac{1}{0.81}D=\sqrt[5]{\frac{P}{R}}$Links en rechts tot de macht $5$.$\left( \frac{1}{0.81}D\right)^5 =\frac{P}{R}$De linkerkant uitwerken geeft: $\left( \frac{1}{0.81}D\right)^5=\left( \frac{1}{0.81} \right)^5 \cdot D^5=2.87D^5$We kunnen nu schrijven:  $\frac{P}{R}=2.87D^5$ en dus $R=\frac{P}{2.87D^5}$Herschrijf in de vorm $R=\frac{a\cdot P}{D^5}$ geeft $R=\frac{0.35P}{D^5}$.