Moderne Wiskunde AC 12e ed/FLEX deel 2 - Hoofdstuk 11 - Toevalsvariabelen oefentoetsen & antwoorden

Een stochast is een toevalsvariabele, een variabele waarvan de waarde een getal is dat afhangt van de toevallige uitkomst in een kansexperiment.Een kansverdeling is een overzicht met alle mogelijke waarden die een stochast of toevalsvariabele kan aannemen met de daarbij behorende kansen.Een normaal verdeelde stochast is een toevalsvariabele waarvan de kansverdeling benaderd mag worden door een normale verdeling. Een normale verdeling wordt bepaald door twee parameters: de verwachtingswaarde en de standaardafwijking. Stel gebeurtenis:$T$: de persoon speelt tennis. $V$: de persoon is vrouw.$M$: de persoon is man.Van de $200$ personen die zijn ondervraagd, zijn er $95$ die vrouw zijn. Dus $P(V) = \frac{95}{200}$.Van de ondervraagden zijn $105$ man. Daarvan spelen $20$ tennis. De kans op $T$ als je weet dat de ondervraagde man is:$P(M) = \frac{20}{105}$De gebeurtenis $T$ en $V$ zijn onafhankelijk als geldt (1) de kans $P(T)$ is gelijk aan de kans $P(T | V)$ op gebeurtenis $T$ onder de voorwaarde dat $V$ plaats vindt en (2) de kans $P(V)$ is gelijk aan de kans $P(V | T)$ op gebeurtenis $V$ onder de voorwaarde dat $T$ plaats vindt.(1) de kans $P(T)$ en de kans $P(T | V)$Van de $200$ ondervraagden geeft $45$ voorkeur aan tennis.Dus $P(T) = \frac{45}{200}$Als bekend is dat de ondervraagde een vrouw is, dan geven $25$ van de $95$ personen aan dat tennis hun favoriete sport is.$P(T | V) = \frac{25}{95}$Omdat niet geldt: $P(T) = P(T | V)$ zijn gebeurtenissen $T$ en $V$ niet onafhankelijk.(2) de kans $P(V)$ en de kans $P(V | T)$Van de $200$ ondervraagden is $95$ vrouw.Dus $P(V) = \frac{95}{200}$Als bekend is dat de ondervraagde tennis als favoriete sport heeft, dan hebben $25$ van de $45$ vrouwelijke personen tennis als favoriete sport.Dus $P(V | T) = \frac{25}{45}$Omdat niet geldt: $P(V) = P(V | T)$ zijn gebeurtenissen $V$ en $T$ niet onafhankelijk.(3) Er wordt niet voldaan aan $P(T) = P(V | T)$ en $P(V) = P(V | T)$. De gebeurtenissen $T$ en $V$ zijn niet onafhankelijk.Tip: Omdat bij (1) al is aangetoond dat niet wordt voldaan aan de voorwaarde voor onafhankelijke gebeurtenissen kan deze conclusie direct daarna worden getrokken en hoeft (2) niet te worden onderzocht. Stel stochast $K$: het aantal klanten dat de supermarkt bezoekt van 07:00 tot 08:00.Verwachte aantal klanten dat de supermarkt bezoekt van 07:00 tot 08:00.HandmatigRangschik de gegevens in een tabel, voeg een derde kolom toe.Het verwachte aantal klanten $E(K) = 1.80$.GR, zie uitwerking bij b.Bepaal de standaardafwijking.Handmatig (bewerkelijk of met Excel):Rangschik de gegevens in een tabel, kolommen toe:$E(k) = 1.80$ (onderdeel a).De standaardafwijking is $\sqrt{2.06} \approx 1.44$.GR, Casio CG-20.Menu 2 StatisticsGeef onderstaande invoer aan in je uitwerking:Aantal klanten $k \rightarrow$ List1 $=$ {$0; 1; 2; 3; 4; 5$}Kansverdeling $P(K = k) \rightarrow$ List2 $=$ {$0.20; 0.30; 0.20; 0.15; 0.10; 0.05$}Knop CALCKnop SET, kies vervolgens ‘1Var XList: List1’ en ‘1Var Freq: List2’Knop EXIT, vervolgens knop 1-VAR, onderstaande uitvoer verschijnt:Neem relevante uitvoer over in je uitwerking: $\overline{x} = 1.8$ en $\sigma x = 1.43527$.Verwachte aantal klanten $E(K) = \overline{x} = 1.8$.Standaardafwijking $\sigma (K) = \sigma x = 1.43527 \approx 1.44$GR, TI-84 Plus.Knop STAT, vervolgens menu EDITGeef onderstaande invoer aan in je uitwerking:Aantal klanten $k \rightarrow$ L1 $=$ {$0; 1; 2; 3; 4; 5$}Kansverdeling $P(K = k) \rightarrow$ L2 $=$ {$0.20; 0.30; 0.20; 0.15; 0.10; 0.05$}Knop STATMenu CALC, kies vervolgens ‘1Var Stats’ Kies bij List: L1 en bij FreqList: L2Kies CALCULATE, onderstaande uitvoer verschijnt:Neem relevante uitvoer over in je uitwerking: $\overline{x} = 1.8$ en $Sx = 1.43527$Verwachte aantal klanten $E(K) = \overline{x} = 1.8$.Standaardafwijking $\sigma (K) = \sigma x = 1.43527 \approx 1.44$ Voor een normaal verdeelde stochast $X$ met verwachtingswaarde $E(X) = \mu$ en standaardafwijking $\sigma (X) = \sigma$ gelden de volgende vuistregels:$P(\mu - \sigma \leq X \leq \mu + \sigma \approx 0.68$$P(\mu - 2 \sigma \leq X \leq \mu + 2 \sigma \approx 0.95$Stel: $X$ het aantal dagen dat een pak yoghurt houdbaar is.Kans dat het pak yoghurt langer houdbaar is dan $34$ dagen: Bereken: $P(x > 34)$Omdat $\mu = 30$ en $\sigma = 4$: $P(X > 34) = P(X > 30 + 4) = P(X > \mu + \sigma)$Met behulp van de schets van de normale verdeling en de vuistregels kan worden afgelezen dat: $P(X > 34) = P(X > \mu + \sigma) = 0.16$b) Kans dat het pak yoghurt korter houdbaar is dan $22$ dagen:Bereken: $P(X < 22)$Omdat $\mu = 30$ en $\sigma = 4$: $P(X < 22) = P(X < 30 - 2 \cdot 4) = P(X < \mu - 2\sigma )$Met behulp van de schets van de normale verdeling en de vuistregels kan worden afgelezen dat: $P(X < 22) = P(X < 22) = P(X < \mu - 2\sigma ) = 0.025$ $X = U - 3$Stochast $X$ wordt verkregen door van stochast $U$ een constante $3$ af te trekken. Voor de verwachtingswaarde $E(X)$ van $X$ geldt dan dat deze wordt verkregen door $3$ af te trekken van de verwachtingswaarde $E(U)$ van stochast $U$.$E(X) = E(U-3) =$$= E(U) - 3 = $$= 10 - 3 = 7$Door van de stochast $U$ een constante af te trekken, verandert de spreiding niet:$\sigma (X) = \sigma (U) = 2$$Y = - \frac{2}{5} V + 4$Stochast $Y$ wordt verkregen door stochast $V$ te vermenigvuldigen met $-\frac{2}{5}$ en daar vervolgens $4$ bij op te tellen. De verwachtingswaarde $E(Y)$ van $Y$ wordt verkregen door de verwachtingswaarde $E(V)$ te vermenigvuldigen met $-\frac{2}{5}$ en daar $4$ bij op te tellen.$E(Y) = E(-\frac{2}{5} \cdot V + 4) = $$= -\frac{2}{5} \cdot E(V) + 4 = $$= -\frac{2}{5} \cdot 15 + 4 =$$= -6 + 4 = -2$Door een stochast te vermenigvuldigen veranderen worden alle mogelijke uitkomsten van $V$ vermenigvuldigd met dezelfde factor. De spreiding verandert daardoor met dezelfde factor. De spreiding verandert niet door bij een stochast een constante op te tellen of er van af te trekken. $\sigma (Y) = \sigma (-\frac{2}{5} \cdot V + 4) = $$= \sigma (-\frac{2}{5} \cdot) = $$= -\frac{2}{5} \cdot \sigma (V) = $$= - \frac{2}{5} \cdot 4 = - 1 \frac{3}{5}$$Z = 2U - V$Voor de verwachtingswaarde $E(Z)$ van $Z$ geldt:$E(Z) = E(2U - V) =$$= 2 \cdot E(2U) - E(V) = $$= 2 \cdot 10 - 15 = 5$De stochasten $U$ en $V$ zijn onafhankelijk zijn, dan geldt voor de standaardafwijking $\sigma (Z)$ van $Z$:$\sigma (U) = 3 \rightarrow \sigma (2U) = 2 \cdot \sigma (U) = 2 \cdot 3 = 6$$\rightarrow \sigma (2U)^2 = 6^2 = 36$$\sigma (V) = 4$$\rightarrow \sigma (V)^2 = 4^2 = 16$Dus: $\sigma (Z)^2 = \sigma (2U - V)^2$$= \sigma (2U)^2 + \sigma (V)^2 = 36 + 16 = 52$$\sigma (Z) = \sqrt{52} = 2 \sqrt{13}$Of korter:$\sigma (Z)^2 = \sigma (2U - V)^2 = $$= 4 \cdot \sigma (U)^2 + \sigma (V)^2 =$$4 \cdot 3^2 + 4^2 = 52$$\sigma (Z) = \sqrt{52} = 2 \sqrt{13}$ Bepaling standaarddeviatie:Er geldt:$P(X \leq 1493) = 0.16$Met behulp van de schets van de normale verdeling:$P(X \leq \mu - \sigma) = 0.16$Met $E(X) = \mu = 1520$ volgt:$1520 - \sigma = 1493$$\sigma = 1520 - 1493 = 27$De standaardafwijking is: $\sigma = 27$.Bepaling nieuwe instelling van het gemiddelde.Er wordt uitgegaan dat de standaardafwijking niet verandert door het instellen van een nieuw gemiddelde $\mu_N$. Met behulp van de schets van de normale verdeling, zien we dat voor de nieuwe instelling $\mu_N$ moet gelden:$P(X \leq \mu_N - 2 \sigma) = 0.025$Er moet gelden: $P(X \leq 1500) = 0.025$Hieruit volgt: $\mu_N - 2 \sigma = 1500$Met $\sigma = 27$:$\mu_N - 54 = 1500$$\mu_N = 1500 + 54 = 1554$Conclusie: bij het instellen van de vulmachine op het gemiddelde van $1554$ ml zal naar verwachting minder dan $2.5$% van de flessen gevuld zijn met minder dan $1500$ ml. Gevraagd $P(X < 244)$.Voor een normaal verdeelde stochast $X$ geldt als vuistregel:$P (\mu - \sigma \leq X \leq \mu + \sigma) \approx 0.68$$X$ ~ $Norm(250, 6)$$P (X < 244) = P (X < 250 - 6) = P (X < \mu - \sigma) = 0.50 - 0.34 = 0.16$Verwachtingswaarde en standaardafwijking van gewicht $8$ pakken koffie.Stel $X_1, X_2, …, X_8$ zijn de gewichten van de verschillende $8$ pakken koffie.Je mag aannemen dat de stochasten $X_1, X_2, …, X_8$ onderling onafhankelijk zijn. Immers het gewicht van een willekeurig gekozen pak koffie heeft invloed op het gewicht van een ander gekozen willekeurig pak.Voor $S = X_1 + X_2 + … + X_8$ geldt:$E(S) = 8 \cdot E(X) = 8 \cdot 250 = 2000$$\sigma (S) = \sqrt{8} \cdot 6 = 12 \sqrt{2} \approx 16.97$Verwachtingswaarde $8$ pakken koffie is $2000$ gram.Standaardafwijking $8$ pakken koffie is $16.97 \approx 17$ gram.Verwachtingswaarde en standaardafwijking van gemiddeld gewicht $8$ pakken koffie.Voor het gemiddeld gewicht $\overline{X}$ van een pak koffie geldt$\overline{X} = \frac{X_1 + X_2 + … + X_8}{8}$Voor de verwachtingswaarde van het gemiddeld gewicht $\overline{X}$ geldt:$E(\overline{X} ) = E(X) = 250$Omdat $X_1, X_2, …, X_8$ onderling onafhankelijk zijn, geldt voor de standaardafwijking van het gemiddeld gewicht van een pak koffie:$\sigma( \overline{X}) = \frac{\sigma (X)}{\sqrt{8}} = \frac{6}{2 \sqrt{2}} = 1 \frac{1}{2} \sqrt{2} \approx 2.12$Het gemiddeld gewicht $\overline{X}$ van $8$ pakken koffie is normaal verdeeld $Norm (250, 1\frac{1}{2} \sqrt{2})$De kans dat het gemiddeld gewicht van de $8$ pakken koffie minder is $G$ gelijk is aan $0.025: P(X < G) = 0.025$Dus$G = \mu - 2 \sigma =$$250 - 2 \cdot 1 \frac{1}{2} \sqrt{2} = $$= 250 - 3 \sqrt{2} \approx 245.76$ =Verwachtingswaarde $E(X)$. Dit wordt samen met vraag b beantwoord.Standaardafwijking $\sigma (X)$Stel $X$: het aantal bezoeken dat een willekeurige verzekerde per jaar een medisch specialist bezoekt.GR Invoer:Aantal Lijst 1 = {$0;1;2;3;4$}Kans Lijst 2 = {$0.55; 0.20; 0.15; 0.06; 0.4$}Let op een correcte instelling voordat je de berekeningsuitkomsten overneemt: kies voor 1-VAR en let op dat de waarnemingen Aantal in Lijst 1 zijn en de kans in Lijst 2 (zie ook uitwerking opgave 3)GR Uitvoer:$\overline{x} = 0.84$ en $\sigma x = 1.1288 \approx 1.13$Het verwachte aantal bezoeken dat een verzekerde brengt aan een medisch specialist is $E(X) = 0.84$ per verzekerde per jaar. De standaardafwijking is $\sigma (X) = 1.13$. Verwachte kosten en standaardafwijking per verzekerde per jaarStel $K$: de kosten per jaar voor een medisch specialist voor een willekeurige verzekerdeVerwachte kosten $E(K)$Het verwachte aantal bezoeken is $E(X) = 0.84$ bezoeken per verzekerde per jaar.Voor de verwachte kosten per verzekerde per jaar in euro geldt: $E(K) = 90 \cdot E(X) = 90 \cdot 0.84 = 75.60$.Standaardafwijking $\sigma (K)$De standaardafwijking is $\sigma (X) = 1.13$ bezoeken per verzekerde per jaar.Voor de standaardafwijking van de kosten per verzekerde per jaar in euro geldt: $\sigma (K) = 90 \cdot \sigma (X) = 90 \cdot 1.13 = 101.70$Totale verwachte kosten en standaardafwijking per jaarOverweging: het kansexperiment met uitkomst stochast $K$ wordt $8000$ keer herhaald:$E(K) = 75.60$$\sigma (K) = 101.70$Er geldt $T = K_1 + K_2 + … + K_{8000}$, waarbij $T$ de totale kosten per jaar zijn en $K_i$ de kosten die verzekerde $i$ maakt.De gebeurtenissen $K_i$ zijn onderling onafhankelijk.Totale verwachte kosten $E(T)$:De verwachte kosten per verzekerde per jaar $E(K) = 75.60$.Voor de totale kosten van de verzekeringsmaatschappij per jaar in euro geldt: $E(T) = 8000 \cdot 75.60 = 604800$Standaardafwijking $\sigma (T)$:De standaardafwijking is $\sigma (K) = 101.70$ bezoeken per verzekerde per jaar.Voor de standaardafwijking van de totale kosten van de verzekeringsmaatschappij per jaar in euro geldt:$\sigma(T) = \sqrt{8000} \cdot \sigma (K) = \sqrt{8000} \cdot 101.70 = 9096.32 \approx 9096$Verwachte gemiddelde kosten en standaardafwijking per jaarStel $\overline{K}$ zijn de gemiddelde kosten per verzekerde per jaar.Verwachte gemiddelde kosten $(\overline{K})$:De totale verwachte kosten $E(T) = 604800$Er zijn $n = 8000$ verzekerdenDe totale verwachte kosten per verzekerde in euro: $E(\overline{K}) = \frac{E(T)}{8000} = \frac{604800}{8000} = 75.60$Merk op: $E(\overline{K}) = E(K)$.Standaardafwijking van gemiddelde kosten per verzekerde per jaar $\sigma (\overline{K})$:De standaardafwijking van de totale kosten is $\sigma (T) = 9096$ per per jaar.Er zijn $n = 8000$ verzekerdenVoor de standaardafwijking van de gemiddelde kosten $\overline{K}$ per verzekerde per jaar in euro geldt: $\sigma (\overline{K}) = \frac{ \sigma (T)}{n} = \frac{9096}{8000} = 1.137$Alternatief:$n = 8000$$\sigma (K) = 101.70$$\sigma (\overline{K}) = \frac{ \sigma (K)}{\sqrt{n}} = \frac{101.70}{\sqrt{8000}} = 1.137$Verwachte kosten en standaardafwijking per verzekerde per jaar na tariefsverhoging.Overweging: de waarde van de stochast $K_{nieuw}$ ontstaat door de waarde van de stochast $K_{oud}$ te vermenigvuldigen met een constante.Verwachte kosten na tariefsverhoging:De verwachte kosten voor de tariefsverhoging zijn $E (K_{oud}) = 75.60$ per verzekerde per jaarVerhoging is $7$%, vermenigvuldingsfactor om de nieuwe kosten te bepalen is $1.07$.Voor de verwachte kosten per verzekerde per jaar in euro na de tariefsverhoging geldt:$E (K_{nieuw} = 1.07 \cdot E(K_{oud}) = 1.07 \cdot 75.60 = 80.892 \approx 80.89$Standaardafwijking na tariefsverhogingDe standaardafwijking is $\sigma (K_{oud}) = 101.70$ kosten per verzekerde per jaar.Verhoging is $7$%, vermenigvuldingsfactor om de nieuwe kosten te bepalen is $1.07$.Voor de standaardafwijking van de kosten per verzekerde per jaar in euro na tariefsverhoging geldt:$\sigma (K_{nieuw}) = 1.07 \cdot \sigma (K_{oud}) = 1.07 \cdot 101.70 = 108.819 \approx 108.82$