Moderne Wiskunde AC 12e ed/FLEX deel 1 - Hoofdstuk 1 - Systematisch tellen oefentoetsen & antwoorden

Bij een regelmatig boomdiagram is het aantal vertakkingen op elk punt in een kolom gelijk en bij een onregelmatig boomdiagram is het aantal vertakkingen niet in elk punt gelijk.Een machtsboom is een boomdiagram waarin bij elk keuzemoment het aantal takken gelijk is. Een faculteitsboom is een boomdiagram waarin bij elk keuzemoment het aantal takken gelijk een minder wordt, en eindigt met een tak.Een permutatie is het aantal mogelijkheden om k items te kiezen uit een totaal van $n$. Hierbij is de volgorde van belang. Een combinatie is het aantal mogelijkheden om $k$ items te kiezen uit een totaal van $n$. Hierbij is de volgorde niet van belang. Een permutatie is het aantal mogelijkheden om $k$ items te kiezen uit een totaal van $n$. Hierbij is de volgorde van belang. Een faculteit is het aantal mogelijkheden om $n$ items te kiezen uit een totaal van $n$. Hierbij is de volgorde ook van belang. Dat is onderstaande route ACDEFGB.In bovenstaande figuur is het aantal korte routes van punt $A$ naar punt $C$ gelijk aan 1, omdat er maar 1 route is met twee stapjes. Je gaat dan vanuit punt $A$ twee keer naar rechts, dus de route $r$. Een andere route is altijd langer. $5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120$$10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 = 90 \cdot 56 = 5040$$10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 = \frac{10!}{(10-4)!} = \frac{10!}{6!}$$\begin{pmatrix} 10 \\ 4 \end{pmatrix} = \frac{10!}{4! (10 - 4)!} = \frac{10!}{4!6!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{5 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 7}{1} = 210$ Noteer eerst de eenen horizontaal en verticaal van punt $A$. Het aantal kortste routes naar een punt is nu de som van het aantal kortste routes direct links van dat punt plus het aantal kortste routes direct onder dat punt. Dus bijvoorbeeld: $21 = 15 + 6$.Alternatieve methode: je kunt dit ook met combinaties doen. In totaal moeten we 9 stappen doen om van $A$ naar $B$ te komen, waarvan $6$ naar rechts: $\begin{pmatrix} 9 \\ 4 \end{pmatrix} = 84$Noteer eerst de eenen horizontaal en verticaal van punt $A$ (tot en met het punt recht boven $A$ en links van $F$ en tot en met rechts van $A$ tot recht onder $F$). Het aantal kortste routes in een punt is nu de som van het aantal kortste routes direct links van dat punt plus het aantal kortste routes direct onder dat punt. Het aantal kortste routes van $A$ naar $F$ is $15$. Noteer deze $15$ ook bij de punten rechts van $F$ en het punt boven. Bereken nu het aantal kortste routes in de rechthoek bovenin.Alternatieve methode: je kunt dit ook met combinaties doen. Je gaat eerst van $A$ naar $F$ en dan van $F$ naar $B$. Die verschillende kortste routes moeten we met elkaar vermenigvuldigen. Van $A$ naar $F$ is $\begin{pmatrix} 6 \\ 2 \end{pmatrix}$ en van $F$ en naar $B$ is $\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$ In totaal: $\begin{pmatrix} 6 \\ 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} = 45$ We kunnen een wegendiagram maken:Het antwoord is $3 \cdot 5 = 15$Dit kan worden getekend met een machtsboom. De eerste keer kunnen we 1 t/m 6 gooien. Als we 1 gooien kunnen we met de tweede dobbelsteen weer 1 t/m 6 gooien. Als we de eerste keer een 2 gooien kunnen we de tweede keer ook 1 t/m 6 gooien etc. Gooien we twee keer een 1 dan kunnen we bij de derde keer weer 1 t/m 6 gooien.Het antwoord is $6 \cdot 6 \ cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 = 6^6 = 46656$Dit kan worden getekend met een machtsboom.Als je een kaart heb neergelegd op de eerste plek heb je voor de tweede plek 1 kaart minder over. Er zijn in totaal 6 kaarten. Het antwoord is $6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 720$We kunnen weer een wegendiagram maken. Het antwoord is $3 \cdot 2 \cdot 2 = 12$ In dit geval is het niet van belang wie er als eerst wordt aangewezen, iedereen doet immers dezelfde klus. We gebruiken dan combinaties, we kiezen er 4 van de 30.Dit is $\begin{pmatrix} 30 \\ 4 \end{pmatrix} = 27405$.(Deze som gaat over combinaties, zie (§1.5), dit geldt ook voor c) en d), maar omdat je de methode zelf moet kiezen voornamelijk over (§1.6))In dit geval is het wel van belang wie er als eerst wordt aangewezen, iedereen doet immers een andere klus. We gebruiken dan permutaties, we kiezen er 5 van de 29.Dit is $29 \, nPr \, 5 = 29 \cdot 28 \cdot 27 \cdot 26 \cdot 25 = 14250600$(Deze som gaat over permutaties, zie (§1.3))In dit geval is het niet van belang wie er als eerst wordt aangewezen.We gebruiken combinaties.We kiezen 4 van de 12 jongens en dus 2 van de 17 meisjes. Je hoort ‘en’ dus we moeten vermenigvuldigen (bij ‘of’ moeten we optellen).Het antwoord is $\begin{pmatrix} 12 \\ 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 17 \\ 2 \end{pmatrix} = 67320$In dit geval is het niet van belang wie er als eerst wordt aangewezen.We gebruiken combinaties.Minstens 5 betekent 5 of 6.We kiezen 5 van de 17 meisjes (en dus 1 jongen van de 12) of 6 van de 17 meisjes (en geen jongens).Je hoort ‘en’, dus we moeten vermenigvuldigen, en ‘of’, dus we moeten we moeten ook optellen.Het antwoord is $\begin{pmatrix} 12 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 17 \\ 5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 12 \\ 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 17 \\ 6 \end{pmatrix} = 12 \cdot 6188 + 1 \cdot 12376 = 86632$ Jip gooit 5 5 . . met op de puntjes geen vijf.De twee vijven kunnen ook op een andere plek staan, bijvoorbeeld op plek 1 en 4.Er zijn vier plekken beschikbaar waarvan er 2 beschikbaar zijn voor de twee vijven: $\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix}$Dit is het aantal manieren om twee vijven te plaatsen op vier plekken en twee niet vijven.Op de plek van de puntjes kunnen 5 getallen voorkomen (1, 2, 3, 4 of 6)We krijgen dan $\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix} \cdot 5 \cdot 5 = 150$ (voor combinaties zie (§1.5))b.28 of meer betekent 28, 29 of 3030 betekent dat je 5 keer een 6 gooit: 6 6 6 6 6, dit kan maar op 1 manier29 betekent dat je 4 keer een 6 gooit en een keer een 5: 6 6 6 6 5. Dit kan op $\begin{pmatrix} 5 \\ 1 \end{pmatrix} = 5$ manieren28 betekent dat je 3 keer een 6 gooit en twee keer een 6 ( 6 6 6 5 5 ). Dit kan op $\begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix} = 30$ manieren, of een keer een 4 en vier keer een 6 (4 6 6 6 6). Dit kan op $\begin{pmatrix} 5 \\ 1 \end{pmatrix} = 5$ manieren.Samen zijn het 41 manieren (voor combinaties zie (§1.5)) a.Alle 14 mannen spelen een keer tegen alle andere 13 mannen.Dit zijn $14 \cdot 13$ wedstrijden (zie permutaties (§1.3))Echter, dan speelt iedereen twee keer tegen elkaar.We moeten dus nog delen door 2.Antwoord is $\frac{14 \cdot 13}{2} = \begin{pmatrix} 14 \\ 2 \end{pmatrix} = 91$ (voor combinaties zie (§1.5))b. Bij elke wedstrijd zijn er 3 mogelijke uitslagen, winst voor de een, winst voor de ander, of remise. Er zijn 5 wedstrijden.Er geldt dus voor het verschillend ingevulde uitslagenborden: $3^5 = 243$c. 16 punten halen in 9 wedstrijden kan door 7 keer te winnen en twee keer remise te spelen, of door 8 keer te winnen.Als er 7 keer wordt gewonnen en 2 keer remise dan zijn er $\begin{pmatrix} 9 \\ 2 \end{pmatrix} = 36$ mogelijkheden. (Tip: denk aan een rooster van 7 breed en 2 hoog. Op de horizontale as staat de W van winnen, links op de verticale as staat R van remise. We moeten om van linksonder naar rechtsboven te gaan 9 stappen zetten (9 wedstrijden), en daarvan gaan we er 2 omhoog (2 remises). Als er 8 keer wordt gewonnen, dan wordt er 1 keer remise gespeeld. Dit geeft $\begin{pmatrix} 9 \\ 1 \end{pmatrix} = 8$. (voor combinaties zie (§1.5))Samen is dit $36+9=45$. Voor de eerste speler geldt dat er $\begin{pmatrix} 16 \\ 4 \end{pmatrix}$ mogelijkheden zijn. Hij krijgt 4 van de 16 kaarten en de volgorde is niet van belang, dus combinaties.Voor de tweede speler geldt $\begin{pmatrix} 12 \\ 4 \end{pmatrix}$ mogelijkheden zijn. Hij krijgt 4 van de overgebleven 12 kaarten en de volgorde is niet van belang, dus combinaties.Voor de derde speler zijn er $\begin{pmatrix} 8 \\ 4 \end{pmatrix}$ mogelijkheden. Hij krijgt 4 van de 8 kaarten.Voor de vierde speler zijn er $\begin{pmatrix} 4 \\ 4 \end{pmatrix}$ mogelijkheden zijn. Hij krijgt 4 van de 4 kaarten.  Vermenigvuldigd met elkaar levert dat op: $\begin{pmatrix} 16 \\ 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 12 \\ 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 8 \\ 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \end{pmatrix} = 63063000$ mogelijkheden in totaal. Dat is $\frac{2.1 \cdot 10^{13}}{63063000} \approx 330000$ keer zo groot. Plaats eerst de eenen links van A en rechts van A.Het aantal routes naar een punt (bijvoorbeeld S) krijg je door de som te nemen van het aantal kortste routes van het punt linksonder van dat punt plus het aantal kortste routes rechtsonder van dat punt (dus van A naar S $= 1+1=2$).Het aantal kortste routes van A naar R is 4     b.Het aantal kortste routes van A naar S is 2 (zie vraag a).Voor alle punten die vanuit S bereikbaar zijn als we iedere keer alleen maar links afslaan of rechts afslaan geldt dat het aantal kortste routes ook gelijk is aan 2. Vanuit S naar R kun je immers maar op een manier.     c. Vul het totale schema in volgens de manier van vraag a. Je krijgt dan $1+4+6+4+1=16$Er is ook een andere manier: Noem het punt A de eerste laag, de twee punten die direct  uit A bereikbaar kunnen worden de tweede laag, de punten daarboven de derde laag etc. De punten uit de eerste laag samen kunnen vanuit A op $1 + 1 = 2 = 2^1$ manieren bereikt wordenDe punten uit de tweede laag samen kunnen vanuit A op $1 + 2 + 1 = 4 = 2^2$ manieren bereikt worden.De punten uit de derde laag samen kunnen vanuit A op $1 + 3 + 3 + 1 = 8 = 2^3$ manieren bereikt worden.De rivier is de vierde laag. Deze kan op $2^4 = 16$ manieren bereikt worden.  Er zijn twintig lampjes die allen drie kleuren kunnen aannemen. Teken een wegendiagramHet antwoord is $3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot … = 3^{20} = 3486784401$b.We hoeven alleen te kijken naar de middelste 8 lampjes. Deze kunnen allen drie kleuren aannemen. Teken een boomdiagram.Er zijn in totaal $3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot … = 3^8 = 6561$ mogelijkheden. c.  Voor het eerste lampje zijn drie mogelijkheden. Voor het tweede lampje geldt dat deze niet dezelfde kleur mag hebben als de vorige. Er zijn dus twee mogelijkheden voor dit lampje.Voor het derde lampje geldt hetzelfde als voor lampje 2.Voor de andere lampjes geldt ook hetzelfde.Het antwoord is $3 \cdot 2 \cdot 2 \cdot … = 3 \cdot 2^{19} = 1572864$