Moderne Wiskunde AC 12e ed/FLEX deel 1 - Hoofdstuk 2 - Verbanden oefentoetsen & antwoorden

De algemene formule van een lineaire formule is $y = ax + b$ Hierin is $a$ de richtingscoëfficiënt en $b$ het snijpunt met de y-as.De algemene formule van een evenredige formule is $y = ax$. Het is een speciaal geval van een lineaire formule: namelijk waarin $b = 0$. Dit betekent dat het snijpunt met de y-as gelijk is aan nul, oftewel, de lijn gaat door de oorsprong.  De algemene formule van een omgekeerd evenredige formule is $y = \frac{a}{x}$ Hierin is $a$ een constante. De grafiek is geen rechte lijn maar een kromme. De horizontale asymptoot kan worden verkregen door te onderzoeken wat er gebeurt als $x$ heel groot wordt (oneindig). In dat geval delen we $a$ door een heel groot getal, en dit gaat naar 0 (verdeel a pizza’s over heel veel mensen, dan krijgt iedereen bij benadering 0 pizza’s.) Dus $y = 0$ is de horizontale asymptoot.Als $x$ heel groot wordt gaat het eerste stuk van de formule naar 0 (zie vraag a). En daar moeten we dan het getal $d$ bij optellen, dus de horizontale asymptoot in dit geval is $y = d$.Als $x$ heel groot wordt, draagt de constante $b$ niet veel meer bij aan de $x$. Deze $b$ kan dus worden verwaarloosd. We hebben dan hetzelfde geval als in vraag a. Dus $y=0$ is de horizontale asymptoot. De nulpunten zijn de snijpunten met de x-as. De nulpunten van $f$ zijn $(-1,0)$ en $(2,0)$. De functie $g$ heeft geen nulpunten.De snijpunten zijn de snijpunten van $f$ en $g$. Dit zijn $(0,4)$ en $(3,4)$. (De nulpunten zijn eigenlijk ook snijpunten, in dit geval van $f$ met de x-as. Maar deze noemen we liever nulpunten).De functie $f$ heeft twee toppen: een maximum bij $(0,4)$ en een minimum bij $(2,0)$. De functie $g$ heeft geen top. Plot de grafieken van $f$ en $g$.Bereken de coördinaten van de snijpunten.Ga met behulp van de grafieken na voor welke $x$ de ongelijkheid geldt.   Werk eerst de haakjes weg: $2x - 8 - x + 10 = 4x + 4$Breng nu alles met een $x$ naar links en de rest naar rechts $-3x = 2$Deel nu links en rechts door $-3$: $x = \frac{-2}{3}$Werk eerst de breuken weg door alle termen keer $4$ te doen: $4 \cdot (\frac{1}{2} (3x - 4)) = 4 \cdot ( \frac{1}{4} ( 80 - 5x))$Dit geeft $2 \cdot (3x - 4) = 1 \cdot (80 - 5x)$Haakjes wegwerken: $6x - 8 = 80 - 5x$Alle termen met een $x$ naar links en de rest naar rechts: $11x = 88$Deel nu links en rechts door $11$: $x = \frac{88}{11} = 8$ (Je kunt ook eerst de haakjes wegwerken en dan de breuken) Om de lineaire formule op te stellen doorlopen we het volgende stappenplan. Stap 1. Schrijf $y = ax + b$Stap 2. Bereken de richtingscoëfficiënt $a$ met de formule $a = \frac{\triangle y}{\triangle x}$, waarin $\triangle y$ de toename is in de tweede coördinaat (de $y$) en $\triangle x$ de toename is in de eerste coördinaat (de $x$).Stap 3. Vul deze $a$ in in de algemene formule van stap 1.Stap 4. Bereken $b$ door een van de punten in te vullen.Stap 5. Schrijf de formule op.We zullen nu de stappen uitwerken:Stap 1. $y = ax + b$Stap 2. $a = \frac{4 - 24}{6 - 2} = \frac{-20}{4} = -5$Stap 3. $y = -5x + b$Stap 4. Neem bijvoorbeeld het punt $B(6,4)$ en vul dit in in de formule: $4 = -5 \cdot 6 + b$. Hieruit volgt dat $4 = -30 + b$ ofwel $b = 34$Stap 5. $y = -5x + 34$Je kunt nu je antwoord controleren door het andere punt in te vullen en te kijken of het klopt. De grenswaarde kan worden verkregen door te onderzoeken wat er gebeurt als $x$ heel groot wordt (oneindig). In dat geval is de noemer $2x$ ook heel groot. Delen we $5$ door een heel groot getal, dan gaat dit naar $0$. Dus $y = 0$ is de grenswaarde.De grenswaarde kan worden verkregen door te onderzoeken wat er gebeurt als $x$ heel groot wordt (oneindig). In dat geval speelt de $3$ in de noemer geen rol. Delen we $a - 10$ door een heel groot getal, dan gaat dit naar $0$. De grenswaarde van $y = \frac{a-10}{x+3}$ is $y = 0$.De grenswaarde van $y = \frac{a - 10}{x + 3} + 8$ is $y = 8$Deze formule heeft geen grenswaarde. Als $x$ heel groot wordt, dan spelen de $+8$ en de $-2$ geen rol meer. De formule $y = \frac{x^2 + 8}{x - 2}$ kan dan geschreven worden als $y = \frac{x^2 + 8}{x - 2} \approx \frac{x^2}{x}$.Dit is gelijk aan de formule $y = x$.Als $x$ nu steeds groter wordt, dan wordt $y$ ook steeds groter.De grenswaarde kan worden verkregen door te onderzoeken wat er gebeurt als $t$ heel groot wordt. Kijk eerst naar de noemer. Als $t$ groot wordt dan $0.5^t \approx 0$.Er geldt dan dat $3 \cdot 0.5^t \approx 0$.De noemer wordt dat $1 + 3 \cdot 0.5^t \approx 1$.De grenswaarde van de formule $y = \frac{1000}{1 + 3 \cdot (0.5)^t} \approx \frac{1000}{1} = 1000$. Invoer: $y_1 = 2x^3 - 4x^2 + 5$Venster: $-4 \leq x \leq 4$ en $-4 \leq y \leq 12$Opties: nulpuntenDe coördinaten van de nulpunten zijn: $(-0.92; 0)$Invoer: $y_1 = 2x^3 - 4x^2 + 5$Venster: $-4 \leq x \leq 4$ en $-4 \leq y \leq 12$Opties: maximum en minimumDe coördinaten van de toppen zijn: maximum $(0,5)$ en minimum $(.,82; 3.80)$Invoer: $y_1 = 2x^3 - 4x^2 + 5$ $y_2 = 3x +4$ Venster: $-4 \leq x \leq 4$ en $-4 \leq y \leq 12$Opties: snijpuntenDe coördinaten van de snijpunten zijn: $(-0.77; 1.68)$, $(0.26;4.77)$ en $(2.52;11.55)$De grafieken van $f$ en $g$ zijn al gegeven en de snijpunten zijn al bepaald. We kunnen nu aflezen: $f(x) \geq g(x)$ voor $-0.77 \leq x \leq 0.26$ en $x \geq 2.52$. Noem $k$ de kosten en noem $t$ het aantal shirts.Dit is een voorbeeld van een evenredige formule; als het aantal gekochte t-shirts 2 keer zo groot wordt, nemen de kosten ook 2 keer toe.Er geldt dan dat $k=a\cdot t$ met $a=125$. De formule is $k=1.25t$.Als alleen de coach komt dan moet hij 120 pizza’s zelf opeten.Komt zijn zoon ook, dan eten ze allebei 60 pizza’s.Hoe meer gasten, hoe minder pizza’s per persoon, dus dit is een voorbeeld van een omgekeerd evenredige formule. Noem $P$ het aantal pizza’s per persoon en $g$ het aantal gastenDan geldt $P=\frac{a}{g}$ met $a=120$.De formule is $P=\frac{120}{g}$. Om $a$ en $b$ te berekenen doorlopen we het volgende stappenplan. Stap 1. Lees 2 punten af op de grafiek.Stap 2. Bereken de richtingscoëfficiënt $a$ met de formule $a=\frac{\Delta A}{\Delta t}$ waarin $\Delta y$ de toename is in de tweede coördinaat (de $y$) en $\Delta x$ de toename is in de eerste coördinaat (de $x$).Stap 3. Vul deze  $a$in in in de formule $A=at+b$. Stap 4. Bereken $b$ door een van de punten in te vullen.We zullen nu de stappen uitwerken:Stap 1. Lees 2 punten af: bijvoorbeeld bij $t=$ is $A=91$ bij $t=12$ is $A=82$. Stap 2. $a=\frac{\Delta A}{\Delta t}=\frac{82-91}{12-2}=\frac{-9}{10}= -0,9$Stap 3. $A=-0,9t+b$Stap 4. Neem bijvoorbeeld het punt $(2,91)$ en vul dit in in de formule: $91=-0,9\cdot 2+b$. Hieruit volgt dat $91=-1,8+b$ ofwel $b=92,8$. Stap 5. $A=-0,9t+92,8$Je kunt nu je antwoord controleren door het andere punt in te vullen en te kijken of het klopt.Let op: je moet zo nauwkeurig mogelijk aflezen, maar je mag er een bepaald  percentage naast zitten. Zo is bijvoorbeeld bij $t=2$ is $A=90,5$ ook goed. Als $x$ heel groot is dan gaat de term $\frac{50000}{x}$ naar $0$: $\frac{50000}{x} \approx 0$$(\frac{50000}{x})^{1.77}$ gaat dan ook naar $0$: $(\frac{50000}{x})^{1.77} \approx 0$$P \approx 100 - 100 \cdot 0 = 100$.Uiteindelijk wordt $P$ dus $100$%.Ten hoogste betekent dat dat het maximale bedrag is; alle bedragen zijn dus lager. De formule bevat de variabele $x$: schadebedragen lager dan of gelijk aan $x$ euro. Dus in dit geval is $x=100000$.We vullen$x=100000$ in de formule in.$P = 100 - 100 \cdot (\frac{50000}{100000})^{1.77}$ Er volgt dat $P = 70.7$% Het percentage moet gelijk zijn aan $75$, dus los de volgende vergelijking op: $75 = 100 - 100 \cdot (\frac{50000}{x})^{1.77}$Doe dit met je grafische rekenmachine: Invoer: $y_1 = 100 - 100 \cdot (\frac{50000}{x})^{1.77}$ en $y_2 = 75$Venster: $0 \leq x \leq 200000$ en $0 \leq y \leq 100$Plot de grafieken en gebruik optie Snijpunten. Dat geeft: $x = 109425$Conclusie: Het bedrag is € $109425$.De $P$’s in beide formules stellen hetzelfde voor. We stellen ze aan elkaar gelijk: $100-100\cdot (\frac{50000}{x}) ^{1,77}=100-100\cdot (\frac{71396}{y}) ^{1,77}$Haal aan beide kanten $100$ af en deel links en rechts door $-100$We houden over: $(\frac{50000}{x}) ^{1,77}=(\frac{71396}{y}) ^{1,77}$. Dit is aan elkaar gelijk als $\frac{50000}{x}=\frac{71396}{y}$.Kruislings vermenigvuldigen geeft $50000\cdot y =71396 \cdot x$ Links en rechts delen door 50000: $y=\frac{71396}{50000} \cdot x$Er is dus een evenredig verband. Het getal $a=\frac{71396}{50000} \approx 1.43$geeft aan hoeveel dollar je moet betalen voor 1 euro. De onderkant is een cirkel met straal $r$ en de oppervlakte daarvan is $\pir^2$.Er is een onderkant en een bovenkant die beiden gelijk zijn en dus is de gezamenlijke oppervlakte gelijk aan $2 \pi r^2$.De zijkant van het blik is, als je het uit zou rollen, een rechthoek met hoogte $h$ en breedte $2 \pi r$ (de omtrek van de cirkel).De oppervlakte van die rechthoek is $2 \pi r h$.De onder- en bovenkant erbij opgeteld geeft oppervlakte $O = 2 \pi r^2 + 2 \pi r h$.De inhoud van een cilinder is de oppervlakte van het grondvlak keer de hoogte van de cilinder. De oppervlakte van het grondvlak $\pi r^2$ en de hoogte is $h$. De inhoud van een cilinder is $I=\pi r^2h$.De inhoud is in deze opgave gelijk aan 1 liter (merk op $1 \, liter = 1 dm^3$ en $r$ en $h$ zijn ook beiden uitgedrukt in dm) en dus $I = 1 = \pi r^2 h$.We kunnen nu $h$ uitdrukken in $r$ door links en rechts te delen door $\pi r^2h$. We krijgen dan: $h = \frac{1}{\pi r ^2}$.Dan kunnen we de oppervlakte schrijven als (substitueer de formule voor $h$ in de formule voor de oppervlakte $O$ van opgave b). $O = 2 \pi r^2 + 2 \pi r h = 2 \pi r^2 + 2 \pi r \cdot \frac{1}{\pi r^2} = 2 \pi r^2 + \frac{2}{r}$   Om het minimum van deze oppervlakte te bepalen moeten we de formule in de GR zetten en de optie minimum kiezen.Invoer $y_1 = 2 \pi x^2 + \frac{2}{x}$Venster: $0 \leq x \leq 2$ en $0 \leq y \leq 20$Opties: minimumDe coördinaten van het minimum zijn: $(0.54; 5.54)$ Conclusie: De minimale hoeveelheid is nu $5.54 \, dm^2$ (omdat alles is uitgedrukt in dm)De straal is gelijk aan de x-coördinaat van vraag e: $0.54 \, dm$.De hoogte krijgen we door de straal in te vullen in de formule  $h=\frac{1}{\pi r^2}$. Dit geeft $h=\frac{1}{\pi 0.54^2}=1.09$ dm. Er zijn drie stappen:Stap 1. Plot de grafieken van $P_1$ en $P_2$. Stap 2. Bereken de coördinaten van de snijpunten.Stap 3. Ga met behulp van de grafieken na voor welke $x$ de ongelijkheid geldt.We werken nu de stappen uit.Stap 1: Invoer: $y_1=100\cdot (1-0.72^x)$ en $y_2=100-(46t+90)\cdot 0.55^t$ Venster:  $0 \leq x\leq 10$ en  $0 \leq y\leq 110$Stap 2: Opties snijpunten: $x=3.2$ en $x=0.6$. Dit zijn de snijpunten van de twee grafieken.Stap 3: Aflezen voor welke waarden van $x$ geldt dat $P_1\geq P_2$. Dit is voor $0.6 \leq x \leq 3.2$. De oorspronkelijke formule bevat geen $x$ maar een $t$.Conclusie: voor $0.6 \leq t\leq 3.2$ is $P_1\geq P_2$