Moderne Wiskunde AC 12e ed/FLEX deel 1 - Hoofdstuk 3 - Statistiek oefentoetsen & antwoorden

De waarde van een kwantitatieve variabele is een getal en de ‘waarde’ van een kwalitatieve variabele geeft een kenmerk weer.Bij een relatief cumulatief frequentiepolygoon is de y-as in procenten.Orden de getallen van klein naar groot. Zijn er een oneven aantal getallen dan is de mediaan het middelste getalIs het aantal getallen even dan is het het gemiddelde van de middelste twee getallen.De spreidingsbreedte is het verschil tussen het grootste en kleinste waarnemingsgetal. Het grootste waarnemingsgetal is $1300$. Het kleinste waarnemingsgetal is ongeveer $240$. De spreidingsbreedte is dan $1300-240=1060$.De interkwartielafstand is het verschil tussen $Q_3$, het derde kwartiel, en $Q_1$, het eerste kwartiel.$Q_3$ is ongeveer 620. $Q_1$ is ongeveer 360.  De interkwartielafstand is dan $620-360=260$ Zet de stippen in het midden van de klassen, dus op 2,3; 3,5; 4,5; 5,5; 6,5; 7,5; 8,5.Zet ook twee stippen op de x-as bij 1.5 en 9.5.Verbind nu de punten met lijnen. De cumulatieve frequentie krijg je door alle frequenties tot dan toe bij elkaar op te tellen. Zo is de cumulatieve frequentie bij $[5,6>$ gelijk aan $1+3+2+8=14$.Om de relatieve cumulatieve frequentie te bepalen moeten we eerst het totaal weten. Dit staat in de onderste rij bij cumulatief (alle frequenties bij elkaar opgeteld). Nu berekenen we per rij het percentage: cumulatief gedeeld door dit totaal keer $100$%. Zo is de relatieve cumulatieve frequentie bij klasse $[6,7>$ gelijk aan $\frac{16}{25} \cdot 100 \% = 64 \%$We krijgen de volgende tabel:cijferfrequentiecumulatiefrelatief cumulatief$[2,3>$$1$$1$$4 \%$$[3,4>$$3$$4$$16 \%$$[4,5>$$2$$6$$24 \%$$[5,6>$$8$$14$$56 \%$$[6,7>$$2$$16$$64 \%$$[7,8>$$5$$21$$84 \%$$[8,9>$$4$$25$$100 \%$We gebruiken de informatie uit de vorige tabel. We zetten de puntjes aan het eind van de klassen, dus bij 2, 3, 4, 5, 6, 7 8 en 9.Verbind de punten met lijnen. d. We gebruiken de informatie uit de vorige tabel. We zetten de puntjes aan het eind van de klassen, dus bij 2, 3, 4, 5, 6, 7 8 en 9.Verbind de punten met lijnen.  De modus is het getal dat het vaakst voorkomt. Dat is in dit geval 37 minuten en 20 seconden.Er zijn 25 uitvallen groter dan 37 minuten en in totaal 64. Het percentage is $\frac{25}{64} \cdot 100 \% \approx 39.1 \%$Er liggen duidelijk meer bolletjes rechts van 29 dan links van 29. De mediaan is dus groter dan 29. (50% van de waarnemingen ligt links van de mediaan en 50% rechts van de mediaan) Eerst bereken we het gemiddelde $\overline{X}$ voor zowel Jaap als Ria. Dit is respectievelijk $3.5$ en $4$.Vervolgens berekenen we $X_i - \overline{X}$. Dat doen we in de volgende tabel$X_i$Jaap $X_i - \overline{X}$$X_i$Ria $X_i - \overline{X}$$2$$-1.5$$4$$0$$3$$-0.5$$6$$+2$$4$$+0.5$$3$$-1$$4$$+0.5$$3$$-1$$2$$-1.5$$5$$+1$$6$$+2.5$$3$$-1$Deze verschillen moeten we kwadrateren:Jaap  $(X_i - \overline{X})^2$Ria $(X_i - \overline{X})^2$$2.25$$0$$0.25$$4$$0.25$$1$$0.25$$1$$2.25$$1$$6.25$$1$We nemen van beide kolommen de som: Voor Jaap geldt dat de som gelijk is aan $11.5$. Voor Ria is dit $8$. We moeten nu dit nog delen door $n=6$ en dan de wortel nemen, maar omdat $(X_i - \overline{X})^2$ groter is voor Jaap, is $\sigma = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \overline{X})^2}$ voor Jaap ook groter. In dit geval is het aantal worpen niet gelijk en dus moeten we de standaardafwijking voor Jaap en Toos volledig uitrekenen om deze met elkaar te kunnen vergelijken. Voor Jaap geldt $\sigma = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \overline{X})^2} = \sqrt{\frac{1}{6} \cdot 11.5 = 1.92$ Het gemiddelde van Toos is $3.14$…  Voor Toos maken we weer een tabel:$X_i$Toos $X_i - \overline{X}$$(X_i - \overline{X})^2$$1$$-2.14$$4.58$$1$$-2.14$$4.58$$3$$-0.14$$0.02$$2$$-1.14$$1.30$$5$$+1.86$$3.46$$6$$+2.86$$8.18$$4$$+0.86$$0.74$Er geldt $\sum_{i=1}^{n} (X_i - \overline{X})^2 = 22.86$De standaardafwijking is $\sigma = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \overline{X})^2} = \sqrt{\frac{1}{7} \cdot 22.86} = 1.81$Die van Jaap is groter. Er zijn $1212195$ artikelen met $11$ of meer binnenkomende links. $43 \%$ daarvan bevat $50$ of meer binnenkomende links.Dat zijn er $0.43 \cdot 1212195 = 521244$ artikelen.In totaal zijn er $2575308$ artikelen.Het percentage is dus $\frac{521244}{2575308} \cdot 100 \% = 20 \%$De modus is het getal met de hoogste frequentie. Deze is gelijk aan $1$ want het aantal artikel met $1$ binnenkomende link heeft de hoogste frequentie. Het gemiddelde is groter dan de mediaan, want de verdeling is scheef naar rechts.De mediaan is groter dan de modus, want er zijn $1333515 +465915=599430$ artikelen met hoogstens $2$ binnenkomende links en dat is veel minder dan de helft van het totaal. De mediaan is dus groter dan $1$ (Alternatief: de mediaan is groter dan de modus, want aflezen uit figuur 1 geeft ongeveer $130000+250000=380000$ artikelen met hoogstens $1$ binnenkomende link, en dat is minder dan de helft van het totaal.Het antwoord is dus modus-mediaan-gemiddelde. Het eerste kwartiel is bij ongeveer $0.25 \cdot 2575308 = 643827$ artikelen.Er zijn $133515 + 465915 = 599430$ artikelen met hoogstens $2$ binnenkomende links.Om op het eerste kwartiel te komen moeten daar ongeveer $44000$ artikelen bij. Er zijn ongeveer $175000$ artikelen met $3$ binnenkomende links. Dus die $44000$ artikelen die er nog bij moeten komen allemaal uit deze categorie. Een artikel met $3$ binnenkomende links krijgt volgens tabel 2 anderhalve ster, dus $Q_1 = 1.5$.Juiste voorbeelden bij de boxplot zijnUit de boxplot (in combinatie met de tabel 2) kun je gemakkelijker afleiden dat ongeveer $25 \%$ van de artikelen $30$ of meer binnenkomende links heeft. Uit de boxplot (in combinatie met de tabel 2) kun je gemakkelijker afleiden dat (minstens) de helft van de artikelen $9$ of meer binnenkomende links heeft.Juiste voorbeelden bij het staafdiagram zijn: In het staafdiagram kun je bij elk aantal binnenkomende links van $0$ t/m $48$ de frequentie aflezen In het staafdiagram kun je zien dat de modus van het aantal binnenkomende links $1$ is.In het staafdiagram kun je zien dat de frequenties vanaf $2$ binnenkomende links telkens lager worden.    $20$ of meer binnenkomende links is $4$ sterren of meer. In de boxplot is het gedeelte na $4.5$ ster $25 \%$ van de artikelen.Het gedeelte van $3$ sterren tot en met $4.5$ sterren is ook $25 \%$ van de artikelen. Wij willen het percentage weten van $4$ tot en met $4.5$ Dit is $\frac{1}{3} \cdot 25 \% = 8.33… \%$Samen is dit $8.33 \% + 25 \% = 33.33… \%$$33.33… \%$ van het totaal aantal artikelen $2575308$ geeft $\frac{1}{3} \cdot 25753-8 = 858436$ artikelen. In restaurant A is $90 \% - 80 \% = 10 \%$ van de fooien tussen de $6$ en de $8$ dollar. In restaurant B is dat $35 \% -20 \% =15 \%$. Het antwoord is dus B. (Alternatief: de grafiek van restaurant B loopt daar steiler)De klassenmiddens zijn: $1, 3, 5, 7, 9$ en $11$, het midden van twee opeenvolgende punten. De percentages zijn af te lezen op de y-as, die zijn respectievelijk $35, 25, 20, 10, 5$ en $5$. Het gemiddelde is dan $\frac{1 \cdot 35 + 3 \cdot 25 + 5 \cdot 20 + 7 \cdot 10 + 9 \cdot 5 + 11 \cdot 5}{100} = 3.8$ dollar.  Het polygoon begint bij $(6,0)$. We kunnen klassebreedte van $2$ aanhouden. Omdat een fooi van meer dan $20$ euro af en toe voorkomt, zullen we het laatste punt rechts van $(20,100)$ tekenen. Bij dit laatste stuk hoort een lichte stijging. Teken de rest van de punten met klassebreedte twee en op willekeurige hoogte. Zie voor een mogelijke polygoon beneden. Teken op hoogte $25 \%$ een horizontale lijn tot de polygoon van restaurant A (rode lijn). Ga van hier recht naar beneden (groene lijn). Dit is het begin van het tweede kwartiel.Teken op hoogte $50 \%$ een horizontale lijn tot de polygoon van restaurant A. Ga van hier recht naar beneden. Dit is het begin van het derde kwartiel.Teken op hoogte $75 \%$ een horizontale lijn tot de polygoon van restaurant A. Ga van hier recht naar beneden. Dit is het begin van het vierde kwartiel.Het begin van de boxplot is bij $0$ dollar, daar begint de polygoon.Het eind van de boxplot is bij $12$ dollar, daar eindigt de polygoon.De boxplot kan nu worden getekend, zie onderstaand figuur.  Vul eerst de gegevens in die je al hebt: Vervolgens kun je alle ontbrekende gegeven invullen door per rij en per kolom uit te komen op het totaal ($1238+3474=4712$). Het totaal aan patiënten die geen zorginfectie hebben opgelopen is gelijk aan $88220$.Daarvan zijn er $30172$ wel geopereerd. De relatieve frequentie is $\frac{30172}{88220} \cdot 100 \% \approx 34.2 \%$