Moderne Wiskunde AC 12e ed/FLEX deel 1 - Hoofdstuk 4 - Machtsfuncties oefentoetsen & antwoorden

$x^0 = 1$     $x^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x}$          $x^a \cdot x^b = x^{a + b}$ $\frac{x^a}{x^b} = x^{a-b}$$x^{\frac{1}{p}} = \sqrt[p]{x}$ $x^{\frac{q}{p}} = \sqrt[p]{q}$ $(x \cdot y)^a = x^a \cdot y^a$ $x^{-a} = \frac{1}{x^a}$ $(x^a)^b = x^{ab}$ $\frac{3x^2}{x^7} = 3x^{-5}$ (regel 4 uit vraag 1)    Splits de breuk eerst op: $\frac{x^{-1}}{5x^2} = \frac{1 \cdot x^{-1}}{5x^2} = \frac{1}{5} \cdot \frac{x^{-1}}{x^2}$    Dit kan worden herschreven als $\frac{1}{5} \cdot x^{-3}$ (regel 4)Vermenigvuldig eerst de getallen uit de noemer met elkaar: $\frac{2x^5 \cdot 8x^7}{4x^{14}} = \frac{16x^{12}}{4x^{14}}$ (regel 3)$\frac{16x^{12}}{4x^{14}} = 4\cdot x^{-2}$   (regel 4)Herschrijf eerst $\frac{-x^3}{2x^5}$. Dit geeft met regel 4: $- \frac{1}{2} \cdot x^{-2}$Nu is $(\frac{-x^3}{2x^5})^{-1} = ( - \frac{1}{2} \cdot x^{-2})^{-1} = ( - \frac{1}{2})^{-1} \cdot (x^{-2})^{-1} = ( - \frac{1}{2})^{-1} \cdot (x^{-2})^{-1}$ (regel 7)$( - \frac{1}{2})^{-1} \cdot (x^{-2})^{-1} = (\frac{1}{-\frac{1}{2}} ) \cdot x^2$ (regel 8 en 9). Dit kan geschreven worden als $( \frac{1}{-\frac{1}{2}}) \cdot x^2 = -2 \cdot x^2$. Hierbij maken we gebruik van de regel: delen door een breuk is vermenigvuldigen met het omgekeerde. $(-2x)^5 = (-2)^5 \cdot x^5 = -32 \cdot x^5$ (regel 7)$\frac{(-2x^2)^3}{-x^4} = \frac{(-2)^3 \cdot (x^2)^3}{-x^4}$ (regel 7) $\frac{(-2)^3 \cdot (x^2)^3}{-x^4} = \frac{-8 \cdot x^6}{-x^4}$ (regel 9)$\frac{-8 \cdot x^6}{-x^4} = 8 \cdot x^2$ (regel 4) Schrijf $\sqrt{x}$ als $x^{0.5}$ (regel 2): $\frac{x^2}{4 \cdot x \cdot \sqrt{x}} = \frac{x^2}{4 \cdot x \cdot x^{0.5}}$$= \frac{x^2}{4x^{1.5}}$   (regel 4) $= \frac{x^{0.5}}{4}$   (regel 3)$= \frac{1}{4} \cdot \sqrt{x}$   (regel 2)       (Let op: de 4 staat in de noemer en blijft in de noemer) $\sqrt[3]{x^2} \cdot x^{-2}=x^{\frac{2}{3}}\cdot x^{-2}$   (regel 6) $= x^{-\frac{4}{3}} = \frac{1}{x^{\frac{4}{3}}}$   (regel 8)$= \frac{1}{\sqrt[3]{x^4}}$   (regel 6)   $(2 \cdot \sqrt[3]{x})^{\frac{1}{2}} = (2 \cdot x^{\frac{1}{3}})^{\frac{1}{2}}$   (regel 5)$= 2^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{1}{6}} = \sqrt{2} \cdot x^{\frac{1}{6}}$   (regel 7 en 2)$= \sqrt{2} \cdot \sqrt[6]{x}$   (regel 5)$\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[4]{x}} = \frac{x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{4}}}$   (regel 5)$= x^{\frac{1}{3} - \frac{1}{4}}$   (regel 3)$= x^{\frac{4}{12} - \frac{3}{12}} = x^{\frac{1}{12}} = \sqrt[12]{x}$   (regel 5)  $p \cdot p^{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt[5]{2} = p \cdot p^{\frac{1}{2}} \cdot p^{\frac{2}{5}}$   (regel 6)$= p \cdot p^{\frac{5}{10}} \cdot p^{\frac{4}{10}} = p \cdot p^{\frac{9}{10}}$   (regel 3)$= p \cdot \sqrt[10]{p^9}$   We herschrijven eerst het deel binnen de haakjes: $\frac{\sqrt[3]{x}}{x^{4.5}}$Dit is gelijk aan $\frac{x^{\frac{1}{3}}}{x^{4.5}} = x^{\frac{1}{3} - 4.5} = x^{-\frac{1}{6}}$   (regel 5 en regel 4)Er geldt nu dus dat $(\frac{\sqrt[3]{x}}{x^{4.5}})^{-1} = (x^{-\frac{1}{6}})^{-1} = x^{\frac{1}{6}} = \sqrt[6]{p}$   (regel 7 en 5) We zullen term voor term de formule herschrijven:$3 \cdot (x^2)^3 = 3x^6$   (regel 9)$\frac{1}{x^{-4}} \cdot 2x^3 = x^4 \cdot 2x^3$   (regel 8)$= x^4 \cdot 2x^3 = 2x^7$   (regel 3)$x \cdot \frac{x^3 + 2x^2 - 4}{4x^2} = x \cdot (\frac{x}{4} + \frac{1}{2} - \frac{1}{x^2})$   (regel 4)$= \frac{1}{4}x^2 + \frac{1}{2}x - x^{-1}$We kunnen nu concluderen dat:$3 \cdot (x^2)^3 + \frac{1}{x^{-4}} \cdot 2x^3 + x \cdot \frac{x^3 + 2x^2 - 4}{4x^2} = 3x^6 + 2x^7 + \frac{1}{4}x^2 + \frac{1}{2}x - x^{-1}$We zullen term voor term de formule herschrijven:$(\frac{1}{3}x^2p^4)^3 = \frac{1}{27}x^6p^{12}$   (regel 7)$\frac{p^5}{p^{-4}} \cdot (2p^3 + p^2) = p^9 \cdot (2p^3 + p^2)$   (regel 4)$= 2p^{12} + p^{11}$   (regel 3)$(p-1) \cdot \frac{(p^3)^2 - 2p^3}{p} = (p-1) \cdot \frac{p^6 - 2p^3}{p}$   (regel 9)$(p - 1) \cdot (p^5 - 2p^2)$   (regel 4)$p^6 - 2p^3 - p^5 + 2p^2$We kunnen nu concluderen dat:$(\frac{1}{3}x^2p^4)^3 + \frac{p^5}{p^{-4}} \cdot (2p^3 + p^2) + (p - 1) \cdot \frac{(p^3)^2 - 2p^3}{p} = $$\frac{1}{27}x^6p^{12} + 2p^{12} + p^{11} + p^6 - 2p^3 - p^5 + 2p^2$ Breng eerst de $3$ naar de andere kant: $2x^{3.75} = 28$Deel links en rechts door $2$: $x^{3.75} = 14$Links en rechts tot de macht $\frac{1}{3.75}$: $x = (x^{3.75})^{\frac{1}{3.75}} = (14)^{\frac{1}{3.75}} \approx 2.02$Breng eerst de $5$ naar de andere kant: $-3x^{-1.5} = 9$Links en rechts delen door $-3$: $x^{-1.5} = -3$Links en rechts tot de macht $\frac{1}{-1.5}$: $x = (x^{-1.5})^{\frac{1}{-1.5}} = (-3)^{\frac{1}{-1.5}} \approx 0.48$ Deel links en rechts door $2.5$: $\frac{1}{2.5}P = Q^{-0.23}$Links en rechts tot de macht $\frac{1}{-0.23}$: $Q = (Q^{-0.23})^{\frac{1}{-0.23}} = (\frac{1}{2.5} P)^{\frac{1}{-0.23}} = (\frac{1}{2.5})^{\frac{1}{-0.23}} \cdot P^{\frac{1}{-0.23}} \approx 53.72 \cdot P^{-4.35}$Dus $a = 53.72$ en $b = -4.35$Herleid de noemer van de rechterkant: $ P = \frac{5}{Q^2 \cdot Q^{\frac{3}{4}}} = \frac{5}{Q^{\frac{ 8}{4}} \cdot Q^{\frac{3}{4}}} = \frac{5}{Q^{\frac{11}{4}}}$Dit is te schrijven als $Q^{\frac{11}{4}} = \frac{5}{P}$Links en rechts tot de macht $\frac{4}{11}$: $Q = (Q^{\frac{11}{4}})^{\frac{4}{11}} = (\frac{5}{P})^{\frac{4}{11}}$En dit kan worden herleid tot: $(5 \cdot P^{-1})^{\frac{4}{11}} = 5^{\frac{4}{11}} \cdot P^{\frac{-4}{11}}$En dit is gelijk aan: $5^{\frac{4}{11}} \cdot P^{\frac{-4}{11}} \approx 1.80 \cdot P^{-0.36}$Dus $a = 1.80$ en $b = -0.36$. Als $P = 5.5$ dan moet $\frac{18 - T \cdot \sqrt[3]{T}}{30} \cdot 27.5$ gelijk zijn aan $0$.Dit betekent dat $\frac{18 - T \cdot \sqrt[3]{T}}{30} = 0$. En dit kan alleen als de teller gelijk is aan $0$. $18 - T \cdot \sqrt[3]{T} = 0$Brengen we $18$ naar de andere kant dan $T \cdot \sqrt[3]{T} = 18$Het linkerdeel kan worden geschreven als $T \cdot T^{\frac{1}{3}} = T^{\frac{4}{3}}$ en dus $T^{\frac{4}{3}} = 18$ $T$ kan worden verkregen door beide kanten tot de macht $\frac{3}{4}$ te doen.$T = (T^{\frac{4}{3}})^{\frac{3}{4}} = (18)^{\frac{3}{4}} = \sqrt[4]{18^3} \approx 8.74$Als $T = 1 \degree C$ dan is $P$ gelijk aan $P = 5.5 + \frac{18 - 1 \sqrt[3]{1}}{30} \cdot 27.5 = 5.5 + \frac{18 - 1}{30} \cdot 27.5 = 5.5 + \frac{17}{30} \cdot 27.5 = 5.5 + 15.58 \approx 21.08$Vullen we in $P = 50$ dan krijgen we de vergelijking $50 = 5.5 + \frac{18 - T \cdot \sqrt[3]{T}}{30} \cdot 27.5$Breng eerst de $5.5$ naar links: $49.5 = \frac{18 - T \cdot \sqrt[3]{T}}{30} \cdot 27.5$Links en rechts delen door $27.5$: $1.8 = \frac{18 - T \cdot \sqrt[3]{T}}{30}$Links en rechts keer $30$: $54 = 18 - T \cdot \sqrt[3]{T}$Links en rechts $-18$: $36 = -T \cdot \sqrt[3]{T}$Dus $-T^{\frac{4}{3}} = 36$ oftewel $T^{\frac{4}{3}} = -36$$T$ kan worden verkregen door beide kanten tot de macht $\frac{3}{4}$ te doen.$T = (T^{\frac{4}{3}})^{\frac{3}{4}} = (-36)^{\frac{3}{4}} = \sqrt[4]{-36^3} \approx -14.70$Breng eerst de $5.5$ naar links: $P - 5.5 = \frac{18 - T \cdot \sqrt[3]{T}}{30} \cdot 27.5$Links en rechts delen door $27.5$: $\frac{P - 5.5}{27.5} = \frac{18 - T \cdot \sqrt[3]{T}}{30}$Links en rechts keer $30$: $\frac{30(P - 5.5)}{27.5} = 18 - T \cdot \sqrt[3]{T}$Links en rechts $-18$: $\frac{30(P - 5.5)}{27.5} - 18 = - T \cdot \sqrt[3]{T}$Links en rechts keer $-1$: $- \frac{30(P - 5.5)}{27.5} + 18 = T \cdot \sqrt[3]{T}$$T \cdot \sqrt[3]{T} = T^{\frac{4}{3}}$ $T$ kan worden verkregen door beide kanten tot de macht $\frac{3}{4}$ te doen: $T = (T^{\frac{4}{3}})^{\frac{3}{4}} = (- \frac{30(P - 5.5)}{27.5} + 18)^{\frac{3}{4}} = \sqrt[4]{(- \frac{30(P-5.5)}{27.5} + 18)^3}$ Neem bijvoorbeeld $A = 4$. De reactietijd hierbij is $R = 90$. Vul deze waarde in in de formule: $90 = 100 \cdot \sqrt{\frac{4}{b}} = 100 \cdot \sqrt{4} \cdot \sqrt{\frac{1}{b}} = 200 \cdot \sqrt{\frac{1}{b}}$.Hieruit volgt dat (links en rechts delen door $200$): $0.45 = \sqrt{\frac{1}{b}}$. Links en rechts kwadrateren geeft: $0.2025 = \frac{1}{b}$En hieruit volgt: $b = \frac{1}{0.2025} \approx 4.9$ Als $A = 100$ dan $R = 100 \cdot \sqrt{\frac{100}{4.9}} \approx 452$Nu is $R = 100$. Vul dit in in de formule: $100 = 100 \cdot \sqrt{\frac{A}{4.9}}$.Links en rechts delen door $100$ geeft: $1 = \sqrt{\frac{A}{4.9}}$.Links en rechts kwadrateren geeft: $1 = \frac{A}{4.9}$.Hieruit volgt dat $A = 4.9$. Deel links en recht delen door $100$: $\frac{R}{100} = \sqrt{\frac{A}{4.9}}$.Links en rechts kwadrateren: $(\frac{R}{100})^2 = (\sqrt{\frac{A}{4.9}})^2 = \frac{A}{4.9}$Links en rechts vermenigvuldigen met $4.9$: $A = 4.9 \cdot (\frac{R}{100})^2$ Als $R = 100 \cdot \sqrt{\frac{A}{4.9}}$ dan $\frac{1}{R} = \frac{1}{100 \cdot \sqrt{\frac{A}{4.9}}}$Dit kunnen we schrijven als $\frac{1}{100 \cdot (\frac{A}{4.9})^{0.5}} = \frac{(\frac{A}{4.9})^{-0.5}}{100}$De teller kunnen we herschrijven tot: $(\frac{A}{4.9})^{-0.5} = (\frac{1}{4.9} \cdot A)^{-0.5} = (\frac{1}{4.9})^{-0.5} \cdot A^{-0.5}$Dan wordt $\frac{(\frac{A}{4.9})^{-0.5}}{100} = \frac{(\frac{1}{4.9})^{-0.5} \cdot A^{-0.5}}{100} = \frac{(\frac{1}{4.9})^{-0.5}}{100} \cdot A^{-0.5}$.De breuk kunnen we berekenen met de rekenmachine: $\frac{1}{R} = 0.02 \cdot A^{-0.5}$. De formule is $R = 100 \cdot \sqrt{\frac{A}{b}}$.Nemen we nu $4A$ in plaats van $A$ dan: $100 \cdot \sqrt{\frac{4A}{b}} = 100 \cdot \sqrt{4} \cdot \sqrt{\frac{A}{b}} = 200 \cdot \sqrt{\frac{A}{b}} = 2R$.$R$ is inderdaad twee keer zo groot. $\frac{D_2}{D_1} = 2$ omdat $D_2$ de hele marathon is en $D_1$ de halve marathon.$T_1$ is ook bekend, namelijk $59$ minuten en $17$ seconden, dit zijn $59 \cdot 60 + 17 = 3557$ seconden.Invullen levert: $T_2 = 3557 \cdot 2^{1.06} \approx 7416.10$ seconden. Twee uur en vier minuten is gelijk aan $3600 + 3600 + 240 = 7440$ seconden.De uitkomst van de formule ($7416.10$ s) is minder dan dit getal ($7440$ s) dus Tergat zou het binnen die $2$ uur en $4$ minuten moeten kunnen redden.    $T_2 = T_1 \cdot (\frac{D_2}{D_1})^{1.06}$ kan worden geschreven als $T_2 = T_1 \cdot D_2^{1.06} \cdot (\frac{1}{D_1})^{1.06}$Omdat $(\frac{1}{D_1})^{1.06} = D_1^{-1.06}$ kunnen we schrijven$T_2 = T_1 \cdot D_2^{1.06} \cdot D_1^{-1.06}$Links en rechts delen door $T_1 \cdot D_2^{1.06}$ geeft $\frac{T_2}{T_1 \cdot D_2^{1.06}} = \frac{T_2}{T_1} \cdot D_2^{-1.06} = D_1^{-1.06}$Links en rechts tot de macht $\frac{-1}{1.06}$ geeft$(\frac{T_2}{T_1} \cdot D_2^{-1.06})^{\frac{-1}{1.06}} = (D_1^{-1.06})^{\frac{-1}{1.06}} = D_1$En dit kan worden herleid tot $D_1 = (\frac{T_2}{T_1})^{\frac{-1}{1.06}} \cdot D_2$(Eventueel kan dit nog verder worden herleid tot $D_1 = (\frac{T_2}{T_1})^{-0.94} \cdot D_2 = \frac{1}{(\frac{T_2}{T_1})^{0.94}} \cdot D_2 = (\frac{T_1}{T_2})^{0.94} \cdot D_2$)