Moderne Wiskunde B 12e ed/FLEX deel 1 - Hoofdstuk 1 - Vergelijkingen oefentoetsen & antwoorden

Lineaire vergelijking:$ y = -4x - 3$ De vergelijking heeft de vorm $y = ax + b$. Kwadratische vergelijking: $5x^2 - 9 = -2x$De vergelijking is te herleiden naar de vorm $ax^2 + bx + c = 0$. De variabele $x$ is aanwezig in de vorm van een kwadraat $x^2$.Wortelvergelijking: $\sqrt{3x + 1} = 5$De variabele $x$ komt onder het wortelteken voor.Gebroken vergelijking: $4 - \frac{3}{5x +1} = x$De variabele x komt in de noemer van een breuk voor. Richtingscoëfficiënt van lijn $l: y = 2 \frac{1}{2} - 3x$:De vergelijking kan worden herschreven als $y = -3x + 2 \frac{1}{2}$.In een vergelijking van de vorm $y = ax + b$ is $a$ de richtingscoëfficiënt of het hellingsgetal, $b$ is het startgetal. De richtingscoëfficiënt is $a = -3$ en het startgetal is $b = 2 \frac{1}{2}$.Tip: Omdat in deze opgave de vergelijking is gegeven, is bovenstaande uitwerking de meest exacte wijze van oplossen. Ga wel even na dat het gevonden antwoord overeenkomt met de gegeven grafiek van lijn $l$: bij een horizontale toename van $1$, is de verticale toename $-3$, oftewel ga je één naar rechts, dan ga je drie omlaag.Verder kun je het startgetal uit de grafiek herkennen als de $y$-coördinaat van het snijpunt van lijn $l$ met de $y$-as.Opstellen vergelijking van lijn $m$:Algemene vergelijking lijn $m: y = ax + b$, waarin $a$ de richtingscoëfficiënt is, en $b$ het startgetal is.Twee punten op lijn $m$ zijn: $(1, -3)$ en $(4, 3)$. De richtingscoëfficiënt is:$a = \frac{3 - -3}{4 -1} = \frac{6}{3} = 2$Lijn $m: y = 2x + b$ gaat door $(1, -3)$. Voor het startgetal geldt:$-3 = 2 \cdot 1 + b$$b = -5$Lijn $m: y = 2x - 5$Snijpunt $S$ van lijnen $l$ en $m$:Voor het snijpunt $S$ van de lijnen $l$ en $m$ geldt: $2 \frac{1}{2} - 3x = 2x - 5$Oplossen van deze vergelijking:$2 \frac{1}{2} - 3x - 2x = 2x - 2x - 5$   (Links en rechts $2x$ aftrekken)$2 \frac{1}{2} - 5x = -5$$2 \frac{1}{2} - 2 \frac{1}{2} - 5x = - 5 - 2 \frac{1}{2}$   (Links en rechts $2 \frac{1}{2}$ aftrekken)$-5x = -7 \frac{1}{2}$$\frac{-5x}{-5} = \frac{ -7 \frac{1}{2}}{-5}$   (Links en rechts delen door -5)$x = 1 \frac{1}{2}$De $x$-coördinaat van het snijpunt $S$ is $1 \frac{1}{2}$.Het snijpunt $S$ ligt zowel op lijn $l$ als op lijn $m$.Punt $S$ ligt op lijn $l: y = 2 \frac{1}{2} - 3x$.Vul voor $x$ de waarde van de gevonden $x$-coördinaat van $S$ in:$y = 2 \frac{1}{2} - 3 \cdot 1 \frac{1}{2}$$y = 2 \frac{1}{2} - 4 \frac{1}{2} = -2$Snijpunt $S(1 \frac{1}{2}, -2)$ $x^2 - 6x + 8 = 0$ We proberen deze vergelijking te schrijven als $(x - a)(x-b) = 0$. We proberen dus eerst de som-productmethode waarbij we op zoek gaan naar getallen $a$ en $b$ waarbij de het product $a \cdot b = 8$ en de som van $a$ en $b$ gelijk is aan $-6$.productGetallensom$+8$$1$ en $8$$9$$+ 8$$2$ en $4$$6$$+8$$-1$ en $-8$$-9$$+8$$-2$ en $-4$$-6$Ontbind de in factoren:$x^2 -6x + 8 = 0$$(x - 4)(x - 2) = 0$Een oplossing voldoet aan:$x - 4 = 0$ v $x - 2 = 0$$x = 4$ v $x = 2$$x^2 - 5x + 8 = 0$ Stel vast dat de som-productmethode niet mogelijk is.Gebruik de $abc$-formule: oplossingen van $ax^2 + bc + c = 0$ zijn:$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$Hierbij geldt dat $D$ de discriminant met $D = b^2 - 4ac$Indien $D < 0$ weten we dat er geen oplossing bestaat van de vergelijking $ax^2 + bc + c = 0$, indien $D = 0$ weten we dat er precies één oplossing is en indien $D > 0$ weten we dat er precies twee verschillende oplossingen bestaan. Met $a = 1$, $b = -5$ en $c = 8$ vinden we voor de discriminant $D$:$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8$$D = -7$Omdat $D = -7 < 0$ geldt dat de vergelijking $x^2 - 5x + 8 = 0$ geen oplossing heeft.$x^3 + 8x = 5x^2$Herschrijf de formule:$x^3 - 5x^2 + 8x = 0$We kunnen hier een factor $x$ afsplitsen:$x \cdot (x^2 - 5x + 8) = 0$Deze formule heeft de vorm $A \cdot B = 0$. Dit betekent dat oplossingen volgen uit $A = 0$ of $B = 0$. Oplossingen volgen dus uit:$x = 0$ v $x^2 - 5x + 8 = 0$We hebben gezien dat $x^2 - 5x + 8 = 0$ geen oplossingen heeft (onderdeel b), dus de enige oplossing is $x = 0$.$(x - 2)^2 = (2x + 1)^2$De linker- en rechterzijde zijn kwadraten. De gegeven vergelijking heeft de vorm $A^2 = B^2$. We weten dan dat de oplossingen gevonden kunnen worden door op te lossen $A = B$ of $A = -B$. Dus oplossingen voldoen aan:$x - 2 = 2x + 1$ v $x - 2 = - (2x + 1)$$-x = 3$ v $3x = 1$$x = -3$ v $x = \frac{1}{3}$Tip: controleer je antwoorden door de gevonden antwoorden in de gegeven vergelijking te substitueren. $\sqrt{-x^2 + 4} = x$Isoleer de wortel in de vergelijking:$\sqrt{-x^2 + 4} - x = 0$$\sqrt{-x^2 + 4} = x$Kwadrateer beide kanten van de vergelijking om de wortel weg te werken:$(\sqrt{-x^2 + 4})^2 = x^2$$-x^2 + 4 = x^2$ Los de verkregen vergelijking op:$-x^2 + 4 = x^2$$2x^2 = 4$$x^2 = 2$$x = -\sqrt{2} \vee x = \sqrt{2}$Controleer of de oplossingen voldoen door de gevonden oplossingen in te vullen in de oorspronkelijke vergelijking:$x = - \sqrt{2}$ geeft: $\sqrt{- (-2\sqrt{2})^2 + 4} - (- \sqrt{2}) = \sqrt{2} + \sqrt{2} = 2 \sqrt{2} \neq 0$ (klopt niet)$x = \sqrt{2}$ geeft: $\sqrt{- (\sqrt{2})^2 + 4} - \sqrt{2} = \sqrt{2} - \sqrt{2} = 0$ (klopt)De oplossing is: $x = \sqrt{2}$$\frac{8}{x + 4} = \frac{1}{2} (x-4)$Hier is sprake van een gebroken vergelijking. De variabele komt voor in de noemer van de breuk. Om de variabele uit de noemer van de breuk te krijgen, vermenigvuldigen we links en recht met $(x + 4)$ waarmee we verkrijgen:$8 = \frac{1}{2}(x-4)(x+4)$We werken het rechter deel van de vergelijking verder uit:$8 = \frac{1}{2} (x^2 - 4x + 4x - 16)$$8 = \frac{1}{2} (x^2 -16)$$8 = \frac{1}{2} x^2 - 8$$16 = \frac{1}{2}x^2$Links en rechts vermenigvuldigen met $2$ levert:$32 = x^2$ of herschreven$x^2 = 32$De linker- en rechterzijde zijn kwadraten. De gegeven vergelijking heeft de vorm $A^2 = B^2$. Oplossingen zijn $A = B$ of $A = -B$.$x = - \sqrt{32} \, \vee \, x = \sqrt{32}$Dit kunnen we herleiden tot: $x = -\sqrt{16 \cdot 2} \, \vee \, x = \sqrt{ 16 \cdot 2}$$x = \sqrt{16} \cdot \sqrt{2} \, \vee \, x = \sqrt{16} \cdot \sqrt{2}$ want $\sqrt{A \cdot B} = \sqrt{A} \cdot \sqrt{B}$$x = - 4 \sqrt{2} \, \vee \, x = 4 \sqrt{2}$ $\frac{4b}{a} - b = 5 - 2b$Links en rechts $2b$ optellen:  $\frac{4b}{a} - b + 2b = 5 - 2b + 2b$$\frac{4b}{a} + b = 5$Links en rechts vermenigvuldigen met $a$:$a \cdot (\frac{4b}{a} + b) = a \cdot 5$ (let op de haakjes!)$4b + ab = 5a$Ontbinden:$b (4 + a) = 5a$Links en rechts delen door $(4+a)$:$\frac{b(4+a)}{4+a} = \frac{5a}{4+a}$$b = \frac{5a}{4 + a}$$2p + 3 = 3q$ en $q = 5 - 6r$. Druk $p$ uit in $r$.Substitueer de uitdrukking $q = 5 - 6r$ (tip: denk aan de haakjes) in de uitdrukking $2p + 3 = 3q$:$2p + 3 = 3q$$2p + 3 = 3 \cdot (5 - 6r)$ En herleid:$2p + 3 = 15 - 18r$$2p = 12 - 18r$$p = 6 - 9r$ Onderscheid de volgende deelstappen: (1) Los op $f(x) = g(x)$. (2) Schets de grafiek en (3) Geef de oplossing. (1) Los op $f(x) = g(x)$$\frac{1}{4}x^2 + x - 4 = - \frac{1}{2}x$$\frac{1}{4}x^2 + \frac{3}{2}x - 4 = 0$$x^2 + 6x - 16 = 0$$(x + 8)(x - 2) = 0$$x = -8 \, \vee \, x =2$(2) Schets de grafiekenTip: Gebruik je grafische rekenmachineInvoer: $y_1 = \frac{1}{4} x^2 +x - 4$ en $y_2=-\frac{1}{2}x$Venster: $-10 \leq x \leq 4$ en $-12 \leq y \leq 12$Zet de schets ook in je eigen uitwerking.(3) Geef de oplossingVoor $-8 < x < 2$ geldt $f(x) < g(x)$Onderscheid de volgende deelstappen: (1) Los op $\frac{1}{x+2} > \frac{1}{2} x + 1 \frac{1}{2}$. (2) Schets de grafiek en (3) Geef de oplossing. (1) Los op $\frac{1}{x + 2} = \frac{1}{2}x + 1 \frac{1}{2}$Merk op dat geldt $x \neq -2$ want als $x=-2$ is de noemer gelijk aan $0$ en delen door $0$ kan niet. Er is dus een asymptoot is voor $x = -2$.Links en rechts vermenigvuldigen met $2$ geeft: $\frac{2}{x + 2} = x + 3$Links en rechts vermenigvuldigen met $(x + 2)$ geeft en verder uitwerken:$2 = (x + 3)(x + 2)$$2 = x^2 + 5x + 6$$x^2 + 5x + 4 = 0$$(x + 4)(x + 1) = 0$$x = -4 \vee x = -1$(2) Schets de grafieken en denk aan de asymptoten:Tip: Gebruik je grafische rekenmachineInvoer: $y_1 = \frac{x}{x+2}$ en $y_2= \frac{1}{2}x+1 \frac{1}{2}$Venster: $- 10 \leq x \leq 10$ en $- 10 \leq y \leq 10$Zet de schets ook in je eigen uitwerking.(3) Geef de oplossing. Bekijk in de schets voor welke waarden van $x$ geldt: $\frac{x}{x+2} > \frac{1}{2}x + 1 \frac{1}{2}$Voor $x < -4$ en $-2 < x < -1$ geldt $\frac{x}{x + 2} > \frac{1}{2} x + 1 \frac{1}{2}$ Aan te tonen: $h = 30390 - 30p$We weten dat er een lineair verband is tussen hoogte $h$ en luchtdruk $p$. Hierbij hoort de formule:$h = a \cdot p + b$In deze formule stelt $a$ de richtingscoëfficiënt voor, de verandering in hoogte (in feet) gedeeld door de verandering in luchtdruk (in millibar). Indien je $30$ feet stijgt, neem de luchtdruk af met $1$ millibar:$a = \frac{30}{-1} = -30$Dus geldt: $h = -30p + b$We weten dat de luchtdruk op zeeniveau $1013$ millibar is. Dus bij $p = 1013$ geldt $h = 0$. Invullen in $h = -30p + b$ geeft:$0 = -30 \cdot 1013 + b$$b = 30 \cdot 1013 = 30390$Dus geldt: $h = -30p + 30390$Conclusie: $h = -30p + 30390 = 30390 - 30p$Tip: Om extra inzicht te krijgen is het goed om een schets te maken aan de hand van de tekst in de opgave. Zet de luchtdruk op de horizontale as uiteen en de hoogte op de verticale as. Kijk ook nog eens naar de toelichting gegeven in opgave 2 waarbij de betekenis van richtingscoëfficiënt of hellingsgetal en startgetal is toegelicht.Waarden die de luchtdruk heeft voor hoogten tot $12000$ feet: Los eerst op $h = 30390 - 30p = 12000$$30390 - 30p = 12000$$30390 - 12000 = 30p$$p = \frac{30390 - 12000}{30} = 613$Bij een hoogte van $12000$ feet is de luchtdruk $613$ millibar.Schets de grafiekGeef de oplossing:Het snijpunt van de grafieken $h = 30390 - 30p$ en de grafiek $h = 12000$ geeft aan wat de luchtdruk is bij een hoogte $h = 12000$.Aan de hand van de grafiek is te zien dat voor hoogten $h < 12000$ geldt dat de luchtdruk $p > 613$ millibar. Te bepalen: snijpunten $f(x) = \sqrt{2x - 3}$ met $k: y = \frac{1}{2}x$.Stel vergelijking op:$\sqrt{2x - 3} = \frac{1}{2}x$Kwadrateer links en rechts:$2x - 3 = \frac{1}{4}x^2$Breng alles naar een kant en los op door links en recht $\frac{1}{4}x^2$ af te trekken en vermenigvuldig vervolgens links en rechts met $4$:$\frac{1}{4}x^2 - 2x + 3 = 0$$x^2 - 8x + 12 = 0$$(x - 2)(x - 6) = 0$$x = 2 \vee x = 6$Controleer of de gevonden oplossingen voldoen door in te vullen in vergelijking $\sqrt{2x - 3} = \frac{1}{2}x$Indien $x = 2$ dan $\sqrt{2 \cdot 2 - 3} = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1$, klopt.Indien $x = 6$ dan $\sqrt{2 \cdot 6 - 3} = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3$, klopt.Conclusie: De snijpunten zijn $(2, 1)$ en $(6, 3)$.Te bepalen: waarden van $b$ waarvoor geldt $f(x) = \sqrt{2x - 3}$ en $k: y = \frac{1}{2}x + b$ precies één punt gemeenschappelijk hebben.Stel vergelijking op. Los op door links en rechts te kwadrateren en verder uit te werken:$\sqrt{2x - 3} = \frac{1}{2}x + b$   (links en rechts kwadrateren)$(\sqrt{2x - 3})^2 = (\frac{1}{2}x + b)^2$   (werk wortel en haakjes weg, let op de term $bx$ aan de rechterkant)$2x - 3 = \frac{1}{4}x^2 + bx + b^2$$0 = \frac{1}{4}x^2 + bx + b^2 - 2b + 3$$\frac{1}{4}x^2 + (b-2)x + (b^2 + 3) = 0$$x^2 + 4(b -2)x + 4(b^2 + 3) = 0$Bepaal de discriminant:$D = 16(b - 2)^2 - 16(b^2 + 3)$$D = 16(b^2 - 4b + 4) - 16(b^2 + 3$$D = - 64b + 16$Tip: Vind je dit nog moeilijk? Kijk dan bij de uitleg over de $abc$-formule in opgave 2 en vergelijk de formule $ax^2 + bx + x = 0$ met $x^2 + 4(b - 2)x + 4(b^2 + 3) = 0$.Er is precies één oplossing indien $D = 0$, dus:$-64b + 16 = 0$$b = \frac{1}{4}$Nu weten we echter nog niet alle mogelijke waarden voor $b$. Daarom hieronder een schets van de situatie bij $b = \frac{1}{4}$. Te zien is dan dat lijn $k$ en functie $f$ precies één punt met elkaar gemeen hebben. Je kunt zien dat indien $b < \frac{1}{4}$ er twee snijpunten zijn. Indien $b$ voldoende klein wordt, dan is er uiteindelijk maar één snijpunt van lijn $k$ met de grafiek van functie $f$.Los op $f(x) = 0$$\sqrt{2x - 3} = 0$$x = 1 \frac{1}{2}$Dus snijpunt met $x$-as: $(1 \frac{1}{2}, 0)$Bepaal snijpunt lijn $k$ met $(1 \frac{1}{2}, 0)$:$k: y = \frac{1}{2}x + b$ gaat door $( 1 \frac{1}{2}, 0)$Dus geldt: $0 = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} + b$Hieruit volgt: $b = - \frac{3}{4}$Voor $- \frac{3}{4} \leq \, b \, < \frac{1}{4}$ hebben lijn $k$ en de grafiek van $f$ precies twee punten gemeenschappelijk.Conclusie: voor $b = \frac{1}{4}$ of $b < - \frac{3}{4}$ hebben lijn $k$ en de grafiek van $f$ precies één punt gemeenschappelijk. Berekening coördinaten van $P$ en $Q$.Los op $f_1(x) = 0$.$\frac{x-1}{1} + \frac{2}{x - 1} - 5 = 0$ $x - 1 + \frac{2}{x - 1} - 5 = 0$   (alle termen keer $x-1$ geeft:)$(x - 1)^2 + 2 - 5(x - 1) = 0$$x^2 - 2x + 1 + 2 - 5x + 5 = 0$$x^2 - 7x + 8 = 0$Discriminant: $D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 17$Oplossingen: $x = \frac{-(-7) \pm \sqrt{17}}{2} = 3 \frac{1}{2} \pm \frac{1}{2} \sqrt{17}$Tip: Ga na hoe elke volgende regel werd verkregen uit de vorige regel. Vind je het moeilijk, kijk dan eens naar de vele voorbeelden bij de uitwerkingen van andere opgaven.Conclusie: $P(3 \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \sqrt{17}, 0)$ en $Q(3 \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{17},0)$Berekening oppervlak driehoek $PQR$.Zie het volgende plaatje:We moeten dus de afstand $PQ$ weten (de basis) en de coördinaten van $R$. $MR$ is de hoogte van de driehoek.Bereken coördinaten $R$. Los op $f_1(x) = f_{4 \frac{1}{2}} (x)$$\frac{x -1}{1} + \frac{2}{x-1} - 5 = \frac{x-1}{4 \frac{1}{2}} + \frac{9}{x-1} - 5$$x - 1 + \frac{2}{x-1} = \frac{2}{9}(x-1) + \frac{9}{x-1}$Links en rechts vermenigvuldigen met $(x-1)$ levert op:$(x-1)^2 + 2 = \frac{2}{9} \cdot (x-1)^2 + 9$En verder herleiden geeft:$\frac{7}{9} \cdot (x-1)^2 - 7 = 0$$\frac{7}{9} \cdot (x^2 - 2x + 1) - 7 = 0$ (voor een alternatieve oplossing zie ook tip hieronder)$x^2 - 2x + 1 - 9 = 0$$x^2 - 2x + 8 = 0$$(x - 4)(x + 2) = 0$$x = 4 \vee x = -2$Er moet gelden (zie opgave) dat $x > 0$ Dus vervalt $x = -2$ en blijft als oplossing over $x = 4$.Tip: Je kunt $(x-1)^2 + 2 = \frac{2}{9}(x-1)^2 + 9$ ook herleiden tot $(x-1)^2 = 9$ en dit vervolgens verder oplossen: $x-1 = 3$ of $x -1 = -3$. Ga na dat je dan dezelfde oplossing verkrijgt.$y$-coördinaat van $R$ wordt gevonden met:$y = f_1(4) = \frac{4-1}{1} + \frac{2}{4 -1 } - 5 = 3 + \frac{2}{3} - 5 = - 1 \frac{1}{3} = - \frac{4}{3}$Dus $R(3, -2)$Oppervlakte driehoek is $\frac{1}{2} \cdot breedte \cdot hoogte$$breedte = PQ = (3 \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{17}) - (3 \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{17}) = \sqrt{17}$Hoogte $PQR$ is lengte loodlijn $R$ op $PQ: h = \frac{4}{3}$Oppervlak $PQR = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{17} \cdot \frac{4}{3} = \frac{2}{3} \sqrt{17}$Conclusie: het oppervlak van driehoek $PQR$ is $\frac{2}{3} \sqrt{17}$