Newton LRN-line - Hoofdstuk 2 - Sport en verkeer: bewegingen oefentoetsen & antwoorden

De drie eigenschappen van een kracht zijn:Een kracht heeft een richting.Een kracht kent een grootte die wordt uitgedrukt in de eenheid Newton.Een kracht vangt aan op het punt waarop de kracht wordt uitgeoefend.De eerste wet van Newton luidt: Als de resulterende kracht 0 (nul) is, zal de snelheid constant zijn of ook nul zijn.Deze wet zegt eigenlijk dat als er twee of meerdere krachten elkaar in evenwichtig houden, of als er geen kracht aanwezig is er ook geen versnelling of vertraging zal plaatsvinden. In dat geval behoudt een object zijn eigen snelheid of blijft deze stil staan.Voorbeeld: Jij staat op de grond, de zwaartekracht trekt jou naar beneden, maar tegelijkertijd drukt de vloer terug (de zogenaamde normaalkracht). De krachten zijn gelijk en houden elkaar in evenwicht. De resulterende kracht is daardoor 0 en dus blijf je stil staanIn een (v,t)-diagram teken je de snelheid als functie van de tijd. Op de x-as zet je de waardes voor de tijd neer en op de y-as komen de waardes van de snelheid.Een object met een grote massa zal moeilijker in beweging komen dan een object met een kleine massa. Dus een heel zwaar object zal traag op snelheid komen.De oppervlakte onder de grafiek geeft de afgelegde weg aan. Je weet dat de formule voor de afgelegde weg luidt: s=vt. In een (v,t)-diagram staat de tijd op de horizontale as en de snelheid op de verticale as. Zie het als lengte keer breedte, dan krijg de oppervlakte. En juiste die oppervlakte geeft de afgelegde weg aan. Er zijn twee bekende manieren om dit te doen.Manier 1. Met de gemiddelde snelheidAls je makkelijk de gemiddelde snelheid kunt bepalen, kun je een horizontale streep tekenen in de grafiek. De oppervlakte onder die horizontale lijn is dan de afgelegde weg.Manier 2. Hokjes tellen.Er zijn meerder manier hoe dit te doen. De meeste bekende is eerst alle “hele” hokjes te tellen. En vervolgens ga je “halve” hokjes bij elkaar tellen. Vervolgens kun je uitrekenen hoeveel afstand 1 hokje representeert. De uiteindelijke afgelegde weg bereken je vervolgens om de afstand van 1 hokje te vermenigvuldigen met het aantal getelde hokjes.Bij een vrije val valt een object doordat de zwaartekracht aan het object trekt. Het object zal ongehinderd versnellen omdat er geen tegenkracht (zoals luchtweerstand) aanwezig is.De stopafstand is de afgelegde weg van een object dat remt. Hierin opgenomen zijn de reactieafstand (de afstand afgelegd met de snelheid voordat remmen wordt ingezet. Deze is afhankelijk van je reactievermogen) en de remweg (de afstand die je daadwerkelijk aflegt tijdens het actief remmen of vertragen). De tweede wet van Newton stelt dat als op een object een nettokracht wordt uitgeoefend (groter dan 0), dit object dan zal versnellen of vertragen. Voorbeeld: als een bal een klap krijgt zal deze bal gaan bewegen.In een (v,t)-diagram heb je de snelheid afgezet tegen de tijd. De gemiddelde versnelling tussen twee tijdstippen kan worden bepaald door de twee coördinaten met elkaar te verbinden en vervolgens geeft de richtingscoëfficiënt de gemiddelde versnelling aan. In het voorbeeld hieronder wordt dat gedaan door de groene lijn.De huidige versnelling op een bepaald punt kan worden bepaalde door de raaklijn van de grafiek op dat punt. Vervolgens kun je met de richtingscoëfficiënt de huidige versnelling bepalen. De rode lijn in het voorbeeld hieronder geeft dit aan.De afgelegde weg kun je bepalen door de oppervlakte onder de grafiek (zie antwoord op vraag 1e.Methode 1. Gemiddelde snelheid.Door te gokken wat de gemiddelde snelheid is kun je de afgelegde weg bepalen. De gemiddelde snelheid is ongeveer 3 m/s. Dus dan zal de afgelegde weg de gemiddelde snelheid keer de tijd zijn. In dit geval wordt dit: $s = v_{gem} \cdot t = 3 \cdot 9 = 27$m. De rode lijn in de grafiek geeft de gemiddelde snelheid aan.Methode 2. Hokjes tellen.In het voorbeeld zijn de hokjes geteld. Eerst de complete hokjes, de nummers 1 t/m 22. Vervolgens worden combinaties geteld. Zo bestaat hokje 23 uit de twee boven elkaar staande hokjes.In totaal kom je dan op 28 hokje. Eén hokje staat voor een afstand van 1 meter (immers een snelheid van 1 m/s keer een tijd van 1 seconde maakt 1 meter). Dus het antwoord is 28 meter.De formule voor de luchtweerstand luidt: $F= k \cdot v^2$, waarbij $F$ de kracht van de luchtweerstand is en $v$ de snelheid.We moeten eerst de formule herschrijven en vervolgens invullen:Gegevens:  $F= 250 \ N$ en $v = 20 m/s$Gevraagd: $k$Formule: $F= k \cdot v^2$ → $k = \frac{F}{v^2}$Berekening: $k = \frac{F}{v^2} = \frac{250}{20^2} = 0,625$Conclusie: $k=0,625 \ kg/m$. Een (v,t)-diagram is een grafiek met op de x-as de tijd en op de y-as de snelheid. Let op de gebruikt eenheden die in de tabel zijn vermeld. Om de grafiek af te maken verbind je de punten door vloeiende lijn. Dit kan betekenen dat je soms punten er buiten moet laten. Probeer een “best fit” te maken. Tot slot zet je een titel en de as-titels in de grafiek en dan ben je klaar. Hij ziet er dan uit als volgt: De gemiddelde vertraging kun je berekenen met de formule: $a = \frac{\Delta v}{\Delta t}$. In de grafiek moet je vervolgens $\Delta v$ en $\Delta t$ bepalen. De opdracht was tussen de tijdstippen 2 en 4 seconde. Je weet dan: $\Delta t = 4-2 = 2 \ s$. Nu ga je op zoek naar de bijbehorende snelheden. Deze staan gelukkig ook in de tabel. Je komt dan tot een $\Delta v = 3,6 - 4 = -0,4 \ m/s$. Je kunt nu de rekensom maken:Gegevens:  $\Delta t = 2 \ s$;  $\Delta v = -0,4 \ m/s$Gevraagd: $a_{gem}$Formule: $a_{gem} = \frac{\Delta v}{\Delta t}$Berekening: $a_{gem} = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{-0,4}{2} = -0,2$ Conclusie: $a_{gem} = -0,2 \ m/s^2$ Zoek voor een formule naar de grootheden die zijn gegeven. Verder helpt voor nu ook de aanduiding van de paragraaf zodat je kunt zien waar je de formule kunt vinden.De snelheid gevraagd en s en t gegeven geeft de formule voor de snelheidGegeven: $s=25 \ m$; $t = 0,25 \ s$Gevraagd: $v$Formule: $s=v\cdot t$ → $v = \frac{s}{t}$Berekening:  $v = \frac{s}{t} = \frac{25}{0,25} = 100$Conclusie: $v = 1,0 \cdot 10^2 \ m/s$ (significantie van 2 want andere zijn ook 2) De gemiddelde versnelling kent één formule: $a_{gem} = \frac{\Delta v}{\Delta t}$Gegeven: $\Delta v = 3,75 \ m/s$; $\Delta t = 2,5 \ s$Gevraagd: $a_{gem}$Formule: $a_{gem} = \frac{\Delta v}{\Delta t}$Berekening: $a_{gem} = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{3,75}{2,5}=1,5$Conclusie: $a_{gem} = 1,5 \ m/s^2$ (significantie van 2 want getal met minste significantie is ook 2) Voor de versnelling zijn diverse formules. Maar met massa en kracht is er maar één: $F=m\cdot a$Gegeven: $F = 1250 \ N$; $m= 25 \ kg$Gevraagd: $a$Formule: $F=m \cdot a$ → $a=\frac{F}{m}$Berekening: $a=\frac{F}{m} = \frac{1250}{25} = 50$Conclusie: $a=50 \ m/s^2$ (significantie van 2 want getal met minste significantie is ook 2) De formule voor de luchtweerstand kent meerdere vormen. In de paragraaf wordt er echter maar één genoemd: $F=k \cdot v^2$Gegeven: $F= 1250 \ N$; $k = 80,0 \ kg m^{-1}$Gevraagd: $v$Formule: $F=k \cdot v^2$ → $v^2 = \frac{F}{k}$ → $v=\sqrt{\frac{F}{k}}$Berekening: $v=\sqrt{\frac{F}{k}} = \sqrt{\frac{1250}{80,0}}=\sqrt{15,625} = 3,95287…$Conclusie: $v=3,95 \ m/s$  (significantie van 3 want getal met minste significantie is ook 3) Er wordt een kracht uitgeoefend op de bal en de bal heeft een massa. Voor het berekenen van de versnelling gebruik je dan de formule: $F=m\cdot a$.Gegeven: $F=575 \ N$; $m=1,2 \ kg$Gevraagd: $a$Formule: $F=m \cdot a$ → $a = \frac{F}{m}$Berekening: $a = \frac{F}{m} = \frac{575}{1,2} = 479,1666…$Conclusie: $a=4,8 \cdot 10^2 \ m/s^2$ Bij een bewijsvraag moet je vaak een berekening laat zien dat het klopt. De bal heeft op het tijdstip $t=0$ een horizontale snelheid en geen verticale snelheid. Omdat er geen luchtweerstand een rol speelt, spreek je van een vrije val. Je weet dat de bal op een hoogte van $3$ meter is. Je weet dat de tijd om te vallen $0,78$ seconde bedraagt. Je kunt nu de som in twee stappen oplossen:Stap 1: Gemiddelde snelheid bepalen van de bal gedurende het vallen:Gegeven: $a=9,81 \ m/s^2$; $t=0,78 \ s$; $v_{begin} = 0$Gevraagd: $v_{eind}$ en $v_{gem}$Formules: $v_{eind} = a\cdot t$; $\large v_{gem} = \frac{v_{eind} - v_{begin}}{2}$ → $\large v_{gem} = \frac{a\cdot t- v_{begin}}{2}$Berekening: $\large v_{gem} = \frac{a\cdot t- v_{begin}}{2} = \frac{9,81 \cdot 0,78 - 0}{2} = 3,8259$Conclusie: $v_{gem} = 3,8259 \ m/s$Stap 2: De valafstand berekenen met de gemiddelde snelheid en de tijd en de formule: $s=v \cdot t$Gegeven: $v = v_{gem}= 3,8259 \ m/s$; $t= 0,78 \ s$Gevraagd: $s$Formules: $s=v \cdot t$Berekening: $s = v \cdot t = 3,8259 \cdot 0,78 = 2,984202$Conclusie: $s=3,0 m$ (significantie!!). Het bewijs is geleverd, de valafstand is inderdaad $3,0$ meter. Je weet de tijd die de bal erover doet om te vallen, je weet ook wat de horizontale snelheid is. Dus met  $s=v \cdot t$ is dit eenvoudig te berekenen.Gegeven: $v=5,0$ en $t = 0,78 \ s$Gevraagd: $s$Formules:  $s=v \cdot t$Berekening:  $s=v \cdot t = 5,0 \cdot 0,78 = 3,9$Conclusie: $s=3,9 \ m$ (de significantie is goed) Als de bal bij A aankomt heeft de bal geen horizontale snelheid en zal alleen maar vallen. Dus die kan het niet zijn.Als de bal bij B aankomt is de horizontale snelheid afgenomen ten opzicht met de val zonder luchtweerstand. De bal wordt dan horizontaal ook afgeremd. Dit is het juiste antwoord.Als de bal weer bij C uitkomt is er niets veranderd. De bal ervaart dan geen kracht die iets afremt om misschien wel versneld. Dus als de weerstand er is kan de bal niet bij C terecht komen.Als de bal bij D terecht komt heeft de bal extra snelheid gekregen. Dat kan door meewind zijn natuurlijk, maar dat was hier niet de vraag. Dus ook niet bij D.Het enige goede antwoord is dus B! Om snelheden om te rekenen gebruik je het getal 3,6. Wil je van km/h naar m/s moet je het kleiner maken en dus delen. Wil je van m/s naar km/h dan vermenigvuldig je. In deze gevallen:Sneltrein: $v = 115/3,6 = 31,94 \rightarrow v = 32 \ m/s$Stoptrein: $v=55/3,6 = 15,27 \rightarrow v = 15 \ m/s$ Om te kunnen bewijzen moet je voor beide treinen uitrekenen hoeveel tijd zij nodig hebben. Denk er wel aan dat de sneltrein tien minuten later vertrekt.Gegeven: $s=22,5 \ km$; $v_{snel} = 115 \ km/h$; $v_{stop} = 55 \ km/h$; $t_{snel} = +0,17 \ h$Gevraagd: $t_{snel}$; $t_{stop}$Formules: $s= v \cdot t \rightarrow t = \frac{s}{v}$Berekening: $t_{stop} = \frac{s}{v} = \frac{22,5}{55} = 0,41 \ h$; $t_{snel} = \frac{22,5}{115} + 0,17 = 0,20 + 0,17 = 0,37 \ h$Conclusie: De sneltrein doet er 0,04 uur korter over. Dat is 2,4 minuten. Deze som kan op twee manieren worden opgelost. Je kunt een grafiek teken waarin je de gegevens uit som b. verwerkt. Daarna kun je aflezen waar de twee lijnen elkaar kruisen. Een voorbeeld van deze grafiek staat hieronder en je ziet dat de treinen elkaar passeren op ongeveer 17,5 km.Maar omdat in de vraag staat dat je het moet bereken volgt hieronder de juiste oplossing:Je bent op zoek naar waar de $s$ voor beiden gelijk is. Dus daar waar $s_{snel} = s_{stop}$ of waar $t_{snel} = t_{stop}$. Voor beide moet je een formule opstellen en dan gelijk stellen aan elkaar. Je kunt in dit geval het beste werken met de tijd. Je hebt die formule ook al opgesteld in vraag b.$\large t_{snel} = \frac{s}{v_{snel}} + 0,17$; $\large t_{stop}=\frac{s}{v_{stop}}$$\large t_{snel} = t_{stop}$ geeft dan: $\large \frac{s}{v_{snel}} + 0,17 = \frac{s}{v_{stop}}$Dit oplossen is wat rekenwerk.$v_{snel}$ en $v_{stop}$ uit breuk weghalen door te vermenigvuldigen: $s \cdot v_{stop} + 0,17 \cdot v_{stop} \cdot v_{snel} = s \cdot v_{snel}$$s$ vrij maken aan één kant:$s \cdot v_{stop} - s \cdot v_{snel} = -0,17 \cdot v_{stop} \cdot v_{snel}$$s \cdot (v_{stop} - v_{snel}) = -0,17  \cdot v_{stop} \cdot v_{snel}$$\large s = - \frac{ v_{stop} \cdot v_{snel}}{(v_{stop}-v_{snel})}$Invullen en uitrekenen: $\large s=-\frac{0,17 \cdot 55 \cdot 115}{(55-115)} = -\frac{1075,25}{-60} = 17,9$Conclusie: $s=18 \ km$ Op de x-as zoek je naar $t=250 \ s$. De schaal loopt van 200 naar 400 dus 250 zal op een kwart liggen, daarvan. Je trekt een lijn naar boven tot het de grafiek raakt. Nu kun je horizontaal aflezen wat de snelheid is. Namelijk: $v=73 \ km/h$.Om de huidige snelheid te bepalen gebruik je in een (v,t)-diagram de raaklijn op dat tijdstip en vervolgens de richtingscoëfficiënt die bij die raaklijn hoort. In de tekening zie je dat de raaklijn is getekend op $t = 1000 \ s$. Voor het bepalen van de richtingscoefficient (en dus de huidige versnelling) gebruik je makkelijk herkenbare punten. In dit geval punt 1 (750, 0) en punt 2 (1100, 100). Gegevens: $\Delta v = 100 -0 = 100 \ km/h = 27,78 \ m/s$ en $\Delta t = 1100 - 750 = 350 \ s$Gevraagd: $a$Formule: $a = \frac{\Delta v}{\Delta t}$Berekening: $a = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{27,78}{350} = 0,07937$Conclusie: $a=0,0794 \ m/s^2$ Je ziet vier grafieken. Je weet dat de trein start in Den Haag en eindigt in Rotterdam. Er zijn twee tussenstops waar de trein stil staat. In een (s,t)-diagram blijft dan gedurende die stops de s gelijk (neemt niet toe of af).Grafiek A: Je ziet een afnemende lijn en twee tussenstops. Alleen hebben we gemeten vanuit Den Haag ($s=0 \ km$). En hier start de grafiek op 22,5 km. Dus A is het niet!Grafiek B: Je ziet een toenemende lijn en twee tussenstops. De start is in Den Haag ($s= 0 \ km$). Dit lijkt aannemelijk.Grafiek C: Je ziet een toenemende lijn maar er is ook een versnelling op de plek waar de anderen een stop hebben. Dus C kan het niet zijn.Grafiek D: Je ziet eerst een toenemende lijn maar vervolgens neemt de lijn weer af, alsof de trein weer terugkeert. Deze kan het ook niet zijn.Conclusie: het moet wel grafiek B zijn omdat de andere drie grafieken het niet kunnen zijn. Om uit te rekenen of de brommer de hond zal raken moet je de stopafstand berekenen. De stopafstand bestaat uit de reactie-afstand en de remweg. Dus bereken deze in die twee stappen:De reactie-afstand:Gegeven: $v=15,0 \ m/s$; $t_{reactie}=0,075 \ s$Gevraagd: $s_{reactie}$Formule: $s_{reactie} = v \cdot t$Berekening: $s_{reactie} = v \cdot t = 15,0 \cdot 0,75 = 1,125$Conclusie: $s_{reactie} = 1,125 \ m$De remweg. Voor de remweg hebben we geen tijd gekregen maar wel een remkracht en een massa, waardoor je de vertraging kunt berekenen en dan de remweg. Je kunt nu formules samenvoegen en uitwerken.Gegevens: $v=15,0 \ m/s$; $m=180 \ kg$; $F = 3000 \ N$\\\Gevraagd: $s_{remweg}$Formules: $F=m \cdot a$ (1); $a= \frac{v}{t}$ (2); $s= v \cdot t$ (3)Formules (2) en (3) samenstellen geeft: $t = \frac{v}{a} \rightarrow s = v \cdot \frac{v}{a}$ (4)Formules (1) en (4) samenstellen geeft dan: $a = \frac{F}{m} \rightarrow s = v \cdot \frac{v}{\frac{F}{m}} = v \cdot v \cdot \frac{m}{F} = \frac{v^2 m}{F}$ (Let op: $\frac{1}{breuk}$ betekent dat je de breuk mag omdraaien. Net zoals bijvoorbeeld $\frac{1}{\frac{2}{3}} = \frac{3}{2}$.)Dit is een vertraging dus dan vermenigvuldig je nog met $\frac{1}{2}$, dus $s = \frac{v^2 m}{2F}$Berekening: $s = \frac{v^2 m}{2F} = \frac{15 ^2 \cdot 180}{2 \cdot 3000} = 6,75$Conclusie: $s_{remweg}= 6,75 \ m$Samenvoegen tot eindantwoord.De reactie-afstand is $1,125 \ m$ en de remweg is $6,75 \ m$. Samen betekent dit dat de brommer een stopafstand heeft van $7,88 \ m$. Dit is meer dan genoeg om op tijd te remmen.Tip: Je mag ook eerst de waardes in de formules invullen en daarna eerst de tussenantwoorden uitrekenen. Dan stel je niet de formules samen, maar kom je als het goed is wel op het juiste antwoord uit. Let dan wel extra op dat je niet tussendoor te veel afrondt! Bij een $(h,t)$-diagram zet je de hoogte uit tegen de tijd. In de tekst lees je dat tussen elke foto 0,1 s zat. Verder kun je van het plaatje aflezen waar de prop zich bevond. Het is handig om eerst een tabel te maken voordat je een grafiek tekent. De tabel kan er als volgt uit zien:Tijd (s)Hoogte (m)0,01,000,10,950,20,790,30,540,40,200,50Met deze gegevens kun je vervolgens de grafiek maken. Denk aan de titel, de astitels en een goed verdeling van de twee assen. Het ziet er dan als volgt uit: Om een snelheid te kunnen bepalen uit een $(h,t)$-diagram gebruik je de raaklijn (en de richtingscoëfficiënt van die raaklijn). In het diagram is te zien dat al vrij snel het vel papier een constante snelheid heeft. Dit zie je doordat de lijn nagenoeg recht is. Het is dan makkelijk om een richtingscoëfficiënt te bepalen. In de grafiek hieronder zijn eerst twee punten bepaald:Deze twee punten zijn punt 1: (0,4, 0,76) en punt 2: (1,4, 0,09). Met deze twee punten en de formule $v = \frac{\Delta s}{\Delta t}$ kunnen we de snelheid bepalen.Gegeven: $\Delta v = 0,79 - 0,09 = 0,70 \ m$; $\Delta t = 1,4 -0,4 = 1,0 \ s$Gevraagd: $v$Formule: $v = \frac{\Delta s}{\Delta t}$Berekening: $v = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{0,70}{1,0} = 0,70$Conclusie: $v = 0,70 \ m/s$Je hebt nu bewijs geleverd dat de snelheid inderdaad dichtbij de 0,67 m/s zit. Met het bepalen uit een grafiek maak je altijd kleine leesfouten en dus mag je 0,70 en 0,67 beschouwen als gelijk.Je weet dat het vel papier een constante snelheid heeft gedurende een lange tijd. Van de eerste wet van Newton begrijp je dat de krachten die daarbij spelen dan in evenwicht moeten zijn. Immers de eerste wet luidt: Als de resulterende kracht 0 (nul) is, zal de snelheid constant zijn of ook nul zijn. Dus je mag aannemen dat de zwaartekracht gelijk is aan de luchtweerstand. Met dat gegeven kun je nu de rest uitrekenen.Gegevens: $m=4,60 \ gr = 0,00460 \ kg$; $v=0,67 \ m/s$; $g = 9,81 \ m/s^2$Gevraagd: $k$Formules: $F_w = k \cdot v^2$; $F_z = m \cdot g$$F_w = F_z$, dus $k \cdot v^2 = m \cdot g \rightarrow k = \frac{m \cdot g}{v^2}$ Berekening: $k = \frac{m \cdot g}{v^2} = \frac{0,00460 \cdot 9,81}{0,67^2} = 0,100525…$Conclusie: $k= 0,10 \ kg/m$ (denk aan significante cijfers: de snelheid heeft de kleinste significantie met 2 significante cijfers, dus het antwoord moet ook 2 significant zijn.)Alternatief: in plaats van de formules samen te voegen tot één formule voor $k$ mag je ook eerst de zwaartekracht berekenen, die gelijkstellen aan $F_w$ en dan $k$ berekenen. Je komt dan op hetzelfde antwoord.