Pulsar Natuurkunde 3e ed - Hoofdstuk 1 - Bewegen in grafieken oefentoetsen & antwoorden

Een tikkerband wordt door een tikker geleid. Deze tikker zet een puntje elke zoveel seconde (die is instelbaar). Dus de ruimte tussen twee puntjes geeft de afstand (of afgelegde weg) weer.De gemiddelde snelheid reken je uit door de verplaatsing over een interval te delen door de tijdsduur. De snelheid op een tijdstip is te bepalen uit het hellingsgetal. Het hellingsgetal krijg je door eerst een raaklijn te tekenen. In een (v,t)-diagram teken je de snelheid als functie van de tijd. Op de x-as zet je de waardes voor de tijd neer en op de y-as komen de waardes van de snelheid.De oppervlakte onder de grafiek geeft de afgelegde weg aan. Je weet dat de formule voor de afgelegde weg luidt: $s = v \cdot t$. In een (v,t)-diagram staat de tijd op de horizontale as en de snelheid op de verticale as. Zie het als lengte keer breedte, dan krijg de oppervlakte. En juiste die oppervlakte geeft de afgelegde weg aan. Er zijn twee bekende manieren om dit te doen.Manier 1. Hokjes tellen.Er zijn meerder manier hoe dit te doen. De meeste bekende is eerst alle “hele” hokjes te tellen. En vervolgens ga je “halve” hokjes bij elkaar tellen. Vervolgens kun je uitrekenen hoeveel afstand 1 hokje representeert. De uiteindelijke afgelegde weg bereken je vervolgens om de afstand van 1 hokje te vermenigvuldigen met het aantal getelde hokjes.Manier 2. Met de gemiddelde snelheidAls je makkelijk de gemiddelde snelheid kunt bepalen, kun je een horizontale streep tekenen in de grafiek. De oppervlakte onder die horizontale lijn is dan de afgelegde weg.Een trendlijn is een weergave die het wiskundig verband van de gegevens weergeeft. Een voorbeeld van zo’n verband is een kwadratisch verband.  Dit is een vertraagde beweging. Je ziet dat naarmate de x-as toeneemt, de y-as ook toeneemt maar steeds minder snel.Een (dalende)constante beweging, herkenbaar aan de rechte lijn. Dit is een vertraagde beweging, met een negatieve snelheid. Hier geldt dat naarmate de x-as toeneemt, de y-as steeds minder hard afneemt. In een (v,t)-diagram heb je de snelheid afgezet tegen de tijd. De huidige versnelling op een bepaald punt kan worden bepaalde door de raaklijn van de grafiek op dat punt. Vervolgens kun je met de richtingscoëfficiënt de huidige versnelling bepalen. De rode lijn in het voorbeeld hieronder geeft dit aan.De afgelegde weg kun je bepalen door de oppervlakte onder de grafiek.Methode 1. Hokjes tellen.In het voorbeeld hieronder zijn de hokjes geteld. Eerst de complete hokjes, de nummers 1 t/m 22. Vervolgens worden combinaties geteld. Zo bestaat hokje 23 uit de twee boven elkaar staande hokjes.In totaal kom je dan op 27,5 hokje. Eén hokje staat voor een afstand van 1 meter (immers een snelheid van 1 m/s keer een tijd van 1 seconde maakt 1 meter). Dus het antwoord is 27,5 meter.Methode 2. Gemiddelde snelheid.Door te gokken wat de gemiddelde snelheid is kun je de afgelegde weg bepalen. De gemiddelde snelheid is ongeveer 3 m/s. Dus dan zal de afgelegde weg de gemiddelde snelheid keer de tijd zijn. In dit geval wordt dit: $s = v_{gem} \cdot t = 3 \cdot 9 = 27 \ m$. De rode lijn in de grafiek geeft de gemiddelde snelheid aan. Een eenparige beweging is een beweging waarbij de snelheid constant is. Bij een (x,t)-diagram teken je de verplaatsing gedurende een bepaalde tijd. Als de snelheid dan constant is, neemt de verplaatsing rechtlijnig toe. Dit kenmerkt zich door een recht-stijgende lijn, zoals je in het figuur kunt zien.Je kunt dit op drie manieren berekenen. Stap 1. 3.6Het makkelijkste is het getal 3,6. Je bedenkt wat groter lijkt km/h of m/s en dan deel je als je van km/h naar m/s wilt (“kleiner maken”). Of je vermenigvuldigt als je van m/s naar km/h wilt (“groter maken”).Stap 2. VerhoudingstabelJe gebruikt een verhoudingstabel waarbij je eerst terug rekent naar 1 s en vervolgens rekent naar 1 h.a ma/b m3600 x a/b m 3,6 x a/b kmb sb/b s = 1 s 3600 x b/b s1 hStap 3. UitrekenenJe weet: er gaan 3600 seconden in 1 uur en er gaan 1000 m in 1 kilometer. Dus om van km/h naar m/s te gaan, deel je de tijd door 3600 en de afstand door 1000. Je krijgt dan je antwoord. Trouwens als je dit doet kom je vanzelf op stap 1 terecht. 1000/3600 = 1/3,6 en dat is weer stap 1!In het voorbeeld zie je dat het gaat om de afgelegde weg die berekend moet worden. De formule voor de afgelegde weg luidt: $x=v \cot t$. Om excel dit te laten berekenen moet je deze formule gebruiken. Alleen in plaats van de $v$ en de $t$ gebruik je verwijzingen. Een voorbeeld hiervan is: Waarbij “B3” verwijst naar de waarde in cel [B3] die de tijd aangeeft op dat moment. En de “C3” verwijst naar de waarde van cel [C3] die de snelheid op dat moment aangeeft. Het resultaat zal dan 0 worden. Want 0*3=0.Je kunt vervolgens deze cel kopiëren naar de andere cellen en dan krijg je de ingevulde tabel te zien. Een (v,t)-diagram is een grafiek met op de x-as de tijd en op de y-as de snelheid. Let op de gebruikt eenheden die in de tabel zijn vermeld. Om de grafiek af te maken verbind je de punten door vloeiende lijn. Dit kan betekenen dat je soms punten er buiten moet laten. Probeer een “best fit” te maken. Tot slot zet je een titel en de as-titels in de grafiek en dan ben je klaar. Hij ziet er dan uit als volgt:De gemiddelde vertraging kun je berekenen met de formule: $a = \frac{\Delta v}{\Delta t}$. In de grafiek moet je vervolgens $\Delta v$ en $\Delta t$ bepalen. De opdracht was tussen de tijdstippen 2 en 4 seconde. Je weet dan: $\Delta t = 4-2 = 2 \ s$. Nu ga je op zoek naar de bijbehorende snelheden. Deze staan gelukkig ook in de tabel. Je komt dan tot een $\Delta v = 3,6 - 4 = -0,4 \ m/s$. Je kunt nu de rekensom maken:Gegevens:  $\Delta t = 2 \ s$;  $\Delta v = -0,4 \ m/s$Gevraagd: $a_{gem}$Formule: $a_{gem} = \frac{\Delta v}{\Delta t}$Berekening: $a_{gem} = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{-0,4}{2} = -0,2$ Conclusie: $a_{gem} = -0,2 \ m/s^2$De vergelijking is: y = -0.5026x + 5.1326De lineaire vergelijking is te krijgen door de resultaten in excel in te voeren. Van de ingevoerde resultaten moet dan een spreidingsgrafiek gemaakt worden. Dan maak je een trendlijn door met de rechts te klikken op een meetpunt. Hier moet dan gekozen worden voor lineair en laat je de vergelijking zien.  Bij een (h,t)(h,t)(h,t)-diagram zet je de hoogte uit tegen de tijd. In de tekst lees je dat tussen elke foto 0,1 s zat. Verder kun je van het plaatje aflezen waar de prop zich bevond. Het is handig om eerst een tabel te maken voordat je een grafiek tekent. De tabel kan er als volgt uit zien:Tijd (s)Hoogte (m)0,01,000,10,950,20,790,30,540,40,200,50Met deze gegevens kun je vervolgens de grafiek maken. Denk aan de titel, de astitels en een goed verdeling van de twee assen. Het ziet er dan als volgt uit: Om een snelheid te kunnen bepalen uit een (h,t)(h,t)(h,t)-diagram gebruik je de raaklijn (en de richtingscoëfficiënt van die raaklijn). In het diagram is te zien dat al vrij snel het vel papier een constante snelheid heeft. Dit zie je doordat de lijn nagenoeg recht is. Het is dan makkelijk om een richtingscoëfficiënt te bepalen. In de grafiek hieronder zijn eerst twee punten bepaald:Deze twee punten zijn punt 1: (0,4, 0,76) en punt 2: (1,4, 0,09). Met deze twee punten en de formule v=ΔsΔtv = \frac{\Delta s}{\Delta t}v=ΔtΔs​ kunnen we de snelheid bepalen.Gegeven: Δv=0,79−0,09=0,70 m\Delta v = 0,79 - 0,09 = 0,70 \ mΔv=0,79−0,09=0,70 m; Δt=1,4−0,4=1,0 s\Delta t = 1,4 -0,4 = 1,0 \ sΔt=1,4−0,4=1,0 sGevraagd: vvvFormule: v=ΔsΔtv = \frac{\Delta s}{\Delta t}v=ΔtΔs​Berekening: v=ΔsΔt=0,701,0=0,70v = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{0,70}{1,0} = 0,70v=ΔtΔs​=1,00,70​=0,70Conclusie: v=0,70 m/sv = 0,70 \ m/sv=0,70 m/sJe hebt nu bewijs geleverd dat de snelheid inderdaad dichtbij de 0,67 m/s zit. Met het bepalen uit een grafiek maak je altijd kleine leesfouten en dus mag je 0,70 en 0,67 beschouwen als gelijk. Allereerst, besef dat de tijd in minuten is gegeven. Dus je zult bij berekeningen hier rekening mee moeten houden.De momentane versnelling bepaal je met een raaklijn met de grafiek op het gegeven tijdstip. Het is dan handig om zo’n groot mogelijke raaklijn te tekenen en goed afleesbare punten te gebruiken voor je berekening. In de figuur hiernaast zie je dat de rode raaklijn de x-as snijdt op 7,5 min. Verder zie je dat op $t = 3$ minuten de rode lijn de 9 m/s aanraakt. Je hebt nu twee punten waarmee je de richtingscoëfficiënt kunt bepalen en daarmee de momentane versnelling op $t = 4 \ min$.Gegeven: $\Delta t = 7,5 - 3 = 4,5 \ min = 270 \ s$; $\Delta v = 0 - 9 = - 9 \ m/s$Gevraagd: $a_{gem}$Formule: $a_{gem} = \frac{\Delta v}{\Delta t}$Berekening: $a_{gem} = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{-9}{270} = -0,0333$Conclusie: $a_{gem} = -0,03 \ m/s^2 = -3 \cdot 10^{-2} \ m/s^2$In de grafiek zie je dat de snelheidtoeneemt en vervolgens afneemt. Dus op tijdstip $t= 1 \ min$ en $t= 3 \ min$ wordt de snelheid hoger en versnelt de fietser dus. Je mag dan aannemen dat het voor de fietser makkelijker was en daarmee waarschijnlijk aan het dalen was. Op andere tijdstippen nam de snelheid steeds af en vertraagde de fietser.In vraag 2b zijn twee voorbeelden gegeven hoe je deze kunt oplossen.Hokjesmethode:De gele hokjes samen zijn er: 5+7+4+3+2=21.De blauwe hokjes zijn er ongeveer 2 en de groene hokjes is 1 hokje.In totaal dus: 21+2+1=24 hokjes.Elk hokje is $1 \ m/s \cdot 2 \ min = 1 \ m/s \cdot 120 \ s = 120 \ m$ Dus in totaal heeft de fietser ongeveer $24 \cdot 120 = 2880 \ m$ afgelegd.Gemiddelde snelheid: Teken in de grafiek de gemiddelde snelheid. Deze ligt ongeveer op 5 m/s. Je kunt nu de oppervlakte onder deze lijn uitrekenen, want dat is gelijk aan de afgelegde afstand. Dus in totaal heeft de fietser dan $5 \cdot 10 \cdot 60 = 3000 \ m$ afgelegd. Bij een constante snelheid geeft de grafiek een mooie rechte lijn aan. In de grafiek zie je maar op één plek een rechte lijn en dat is tussen $t = 30 \ s$ en $t= 60 \ s$.Voor de gemiddelde snelheid, vanuit een plaatsgrafiek, ga je uit van de $\Delta t$ en de $\Delta x$. De $\Delta t$ is gegeven: $\Delta t = 50 \ s$. De $\Delta x$ is af te lezen van de grafiek. Bij $t=0$ is $x=0$. Bij $t=50$ is $x=475$. De $\Delta x = 475 - 0 = 475 \ m$. Je kunt nu de gemiddelde snelheid berekenen.Gegeven: $\Delta x = 475 \ m$; $\Delta t = 50 \ s$Gevraagd: $v$Formule: $v = \frac{\Delta x}{\Delta t}$Berekening: $v = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{475}{50} = 9,5$Conclusie: $v = 9,5 \ m/s$De snelheid berekenen op een bepaald tijdstip doe je met behulp van het hellingsgetal van de raaklijn. In de grafiek teken je de raaklijn.Dan bepaal je vervolgens $\Delta x$ en $\Delta t$ van die raaklijn. $\Delta x = 600 \ m$ en $\Delta t  =63 \ s$.Je kunt het nu gaan berekenen.Gegeven: $\Delta x = 600 \ m$ en $\Delta t  =63 \ s$.Gevraagd: $v$Formule: $v = \frac{\Delta x}{\Delta t}$Berekening: $v = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{600}{53} = 11,32..$Conclusie: $v= 11 \ m/s$Net als het bepalen van de snelheid in een plaatsgrafiek kun je met behulp van een raaklijn de versnelling bepalen in een snelheidsgrafiek. Maar voor deze vraag hoef je niet perse een raaklijn te tekenen. De versnelling tot 20 seconden is eenparig (dat zie je aan de rechte lijn van 0 tot 20 s). Je kunt dus de waardes aflezen en je berekening doen.Gegeven: $\Delta v = 10-0 = 10 \ m/s$; $\Delta t = 20 \ s$Gevraagd: versnellingFormule: $a = \frac{\Delta v}{\Delta t}$Berekening: $a = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{10}{20} = 0,5$ Conclusie: $a = 0,5 \ m/s^2$Voor de gemiddelde versnelling kun je net al bij vraag a) aflezen van de grafiek wat de waardes zijn om de v en t te bepalen.Gegevens: $\Delta v = 14,0 - 0 = 14,0 \ m/s$; $\Delta t = 40 \ s$Gevraagd: versnellingFormule: $a = \frac{\Delta v}{\Delta t}$Berekening: $a = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{14}{40} = 0,35$ Conclusie: $a = 0,35 \ ms^2$De afgelegde weg in een snelheidsgrafiek bepaal je door de oppervlakte onder de grafiek te bepalen. Bij vraag 2b worden twee methodes gegeven. Hier werken we de hokjes methode verder uit.Geef de grenzen aan van het gebied waarover je de afgelegde weg wilt bepalen. In de tekst worden geen tijdstippen gegeven maar gevraagd naar periode van start eindsprint ($t = 55 \ s$) tot stilstand ($t = 85 \ s$).Tel het aantal hokjes. De rode pijltjes geven combinaties aan om hele hokjes te kunnen tellen. In totaal zijn het 18,5 hokjes.Elk hokje heeft een oppervlakte van 10 x 2 = 20 m.De afgelegde weg is dan $18,5 \cdot 20 = 370 \ m$.