Nova Natuurkunde MAX deel A - Hoofdstuk 1 - Beweging oefentoetsen & antwoorden

In binas, tabel 3, staan de basisgrootheden vermeld. De belangrijkste 7 zijn:Lengte in meterMassa in kilogramTijd in secondeStroomsterkte in AmpèreTemperatuur in KelvinLichtsterkte in CandelaHoeveelheid stof in MolDe momentane snelheid is de snelheid op een gegeven moment.Toelichting: deze uitdrukking wordt vooral gebruikt bij diagrammen en grafieken waarbij je kijkt wat de snelheid is op een tijdstip “t”. Een ander woord hiervoor is ook instantane snelheid.In een (v,t)-diagram teken je de snelheid als functie van de tijd. Op de x-as zet je de waardes voor de tijd neer en op de y-as komen de waardes van de snelheid.De formule voor de versnelling luidt: $a = \frac{\Delta v}{\Delta t}$.Het aantal cijfers waarin het antwoord wordt geformuleerd is afgerond op het kleinste aantal decimalen van de gebruikte getallen in de opgave.Denk bijvoorbeeld aan: 1,01 + 22,045 = 23,06. De “1,01” heeft de minste significante cijfers achter de komma (2), dus je antwoord van 23,055 wordt dan afgerond naar 23,06.Bij een vrije val valt een object doordat de zwaartekracht aan het object trekt. Het object zal ongehinderd versnellen omdat er geen tegenkracht (zoals luchtweerstand) aanwezig is.De oppervlakte onder de grafiek geeft de afgelegde weg aan. Je weet dat de formule voor de afgelegde weg luidt:  $s=v \cdot t$. In een (v,t)-diagram staat de tijd op de horizontale as en de snelheid op de verticale as. Zie het als lengte keer breedte, dan krijg de oppervlakte. En juiste die oppervlakte geeft de afgelegde weg aan. Er zijn twee bekende manieren om dit te doen.Manier 1. Hokjes tellen.Er zijn meerder manier hoe dit te doen. De meeste bekende is eerst alle “hele” hokjes te tellen. En vervolgens ga je “halve” hokjes bij elkaar tellen. Vervolgens kun je uitrekenen hoeveel afstand 1 hokje representeert. De uiteindelijke afgelegde weg bereken je vervolgens om de afstand van 1 hokje te vermenigvuldigen met het aantal getelde hokjes.Manier 2. Met de gemiddelde snelheidAls je makkelijk de gemiddelde snelheid kunt bepalen, kun je een horizontale streep tekenen in de grafiek. De oppervlakte onder die horizontale lijn is dan de afgelegde weg.Bij een eenparig vertraagde beweging neemt de snelheid geleidelijk af per tijdseenheid.  In een (v,t)-diagram heb je de snelheid afgezet tegen de tijd. De huidige versnelling op een bepaald punt kan worden bepaalde door de raaklijn van de grafiek op dat punt. Vervolgens kun je met de hellingsgetal de huidige versnelling bepalen. De rode lijn in het voorbeeld hieronder geeft dit aan.De afgelegde weg kun je bepalen door de oppervlakte onder de grafiek.Methode 1. Hokjes tellen.In het voorbeeld zijn de hokjes geteld. Eerst de complete hokjes, de nummers 1 t/m 22. Vervolgens worden combinaties geteld. Zo bestaat hokje 23 uit de twee boven elkaar staande hokjes.In totaal kom je dan op 27,5 hokje. Eén hokje staat voor een afstand van 1 meter (immers een snelheid van 1 m/s keer een tijd van 1 seconde maakt 1 meter). Dus het antwoord is 27,5 meter.Methode 2. Gemiddelde snelheid.Door te gokken wat de gemiddelde snelheid is kun je de afgelegde weg bepalen. De gemiddelde snelheid is ongeveer $3 \ m/s$. Dus dan zal de afgelegde weg de gemiddelde snelheid keer de tijd zijn. In dit geval wordt dit: $s = v_{gem} \cdot t = 3 \cdot 9 = 27$ m. De rode lijn in de grafiek geeft de gemiddelde snelheid aan.Een eenparige beweging is een beweging waarbij de snelheid constant is. Bij een (x,t)-diagram teken je de verplaatsing gedurende een bepaalde tijd. Als de snelheid dan constant is, neemt de verplaatsing rechtlijnig toe. Dit kenmerkt zich door een recht-stijgende lijn, zoals je in het figuur kunt zien.De eenheid van kracht is Newton. In Binas (tabel 3) vind je een lijst van de basiseenheden. De formule van kracht is $F=m \cdot a$. De eenheid van massa is $kg$ en de eenheid van versnelling is $m/s^2$. Deze beide eenheden staan al in de basiseenheden. Nu kun je alles samenstellen en krijg je:$[F] = [m][a]= kg \cdot m/s^2 = kg \ m \ s^{-2}$De afgeleide eenheid van de veerconstante krijg je door de eenheden van kracht en uitrekking op elkaar te delen, zoals dat in de formule staat: $[C] = \frac{N}{m} = N m^{-1}$.  Antwoord: $2,3 \cdot 10^2$. Het antwoord moet in 2 significante cijfers worden geschreven. Het gaat hier om een vermenigvuldiging en dan neem je het getal met de minste cijfers. In dit geval is dat het getal 68, dat bestaat uit 2 cijfers. Je moet naar beneden afronden omdat het tussenantwoord 234,6 was en je gebruikt de wetenschappelijke notatie omdat een antwoord als 230 niet 2 maar 3 significante cijfers heeft.Antwoord: $15,9$. Het antwoord bestaat uit 1 significant cijfer achter de komma. Het gaat hier om een optelling en dan kijk je naar het aantal cijfers achter de komma. In dit geval één cijfer (13,5). Het tussenantwoord van 15,89 rond je naar boven af tot het antwoord.Antwoord: $0,39$ of $3,9 \cdot 10^{-1}$. Ook hier een antwoord met 2 significante cijfers. Het getal 3,0 bestaat uit twee cijfers vandaar dat je het antwoord ook in twee significante cijfers schrijft. Je rondt het antwoord naar boven af (het tussenantwoord was 0,38597….). De wetenschappelijke methode is voor dit antwoord niet belangrijk, bij natuurkunde wordt wel vaak een antwoord in de wetenschappelijk notatie verwacht. Zoek voor een formule naar de grootheden die zijn gegeven. Verder helpt voor nu ook de aanduiding van de paragraaf zodat je kunt zien waar je de formule kunt vinden.De snelheid gevraagd en s en t gegeven geeft de formule voor de snelheidGegeven: $s=25 \ m$; $t = 0,25 \ s$Gevraagd: $v$Formule: $s=v\cdot t$ → $v = \frac{s}{t}$Berekening:  $v = \frac{s}{t} = \frac{25}{0,25} = 100$Conclusie: $v = 1,0 \cdot 10^2 \ m/s$ (significantie van 2 want andere zijn ook 2)De gemiddelde versnelling kent één formule: $a_{gem} = \frac{\Delta v}{\Delta t}$Gegeven: $\Delta v = 3,75 \ m/s$; $\Delta t = 2,5 \ s$Gevraagd: $a_{gem}$Formule: $a_{gem} = \frac{\Delta v}{\Delta t}$Berekening: $a_{gem} = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{3,75}{2,5}=1,5$Conclusie: $a_{gem} = 1,5 \ m/s^2$ (significantie van 2 want getal met minste significantie is ook 2) Om snelheden om te rekenen gebruik je het getal 3,6. Wil je van km/h naar m/s moet je het kleiner maken en dus delen. Wil je van m/s naar km/h dan vermenigvuldig je. In deze gevallen:Sneltrein: $v = 115/3,6 = 31,94 \rightarrow v = 32 \ m/s$Stoptrein: $v=55/3,6 = 15,27 \rightarrow v = 15 \ m/s$Om te kunnen bewijzen moet je voor beide treinen uitrekenen hoeveel tijd zij nodig hebben. Denk er wel aan dat de sneltrein tien minuten later vertrekt.Gegeven: $s=22,5 \ km$; $v_{snel} = 115 \ km/h$; $v_{stop} = 55 \ km/h$; $t_{snel} = +0,17 \ h$ ($10 \ minuten \approx 0,17 \ h$)Gevraagd: $t_{snel}$; $t_{stop}$Formules: $s= v \cdot t \rightarrow t = \frac{s}{v}$Berekening: $t_{stop} = \frac{s}{v} = \frac{22,5}{55} = 0,41 \ h$; $t_{snel} = \frac{22,5}{115} + 0,17 = 0,20 + 0,17 = 0,37 \ h$Conclusie: De sneltrein komt inderdaad eerder aan. Hij doet er 0,04 uur korter over. Dat is 2,4 minuten. (Als je tussentijd helemaal niet hebt afgerond, kom je uit op ongeveer 2,8 minuten verschil).Deze som kan op twee manieren worden opgelost. Je kunt een grafiek teken waarin je de gegevens uit som b. verwerkt. Daarna kun je aflezen waar de twee lijnen elkaar kruisen. Een voorbeeld van deze grafiek staat hieronder en je ziet dat de treinen elkaar passeren op ongeveer 17,5 km.Maar omdat in de vraag staat dat je het moet bereken volgt hieronder de juiste oplossing:Je bent op zoek naar waar de $s$ voor beiden gelijk is. Dus daar waar $s_{snel} = s_{stop}$ of waar $t_{snel} = t_{stop}$. Voor beide moet je een formule opstellen en dan gelijk stellen aan elkaar. Je kunt in dit geval het beste werken met de tijd. Je hebt die formule ook al opgesteld in vraag b.$\large t_{snel} = \frac{s}{v_{snel}} + 0,17$; $\large t_{stop}=\frac{s}{v_{stop}}$$\large t_{snel} = t_{stop}$ geeft dan: $\large \frac{s}{v_{snel}} + 0,17 = \frac{s}{v_{stop}}$Dit oplossen is wat rekenwerk.$v_{snel}$ en $v_{stop}$ uit breuk weghalen door te vermenigvuldigen: $s \cdot v_{stop} + 0,17 \cdot v_{stop} \cdot v_{snel} = s \cdot v_{snel}$$s$ vrij maken aan één kant:$s \cdot v_{stop} - s \cdot v_{snel} = -0,17 \cdot v_{stop} \cdot v_{snel}$$s \cdot (v_{stop} - v_{snel}) = -0,17  \cdot v_{stop} \cdot v_{snel}$$\large s = - \frac{ 0,17 v_{stop} \cdot v_{snel}}{(v_{stop}-v_{snel})}$Invullen en uitrekenen: $\large s=-\frac{0,17 \cdot 55 \cdot 115}{(55-115)} = -\frac{1075,25}{-60} = 17,9$Conclusie: $s=18 \ km$Op de x-as zoek je naar $t=250 \ s$. De schaal loopt van 200 naar 400 dus 250 zal op een kwart liggen, daarvan. Je trekt een lijn naar boven tot het de grafiek raakt. Nu kun je horizontaal aflezen wat de snelheid is. Namelijk: $v=73 \ km/h$.Om de huidige snelheid te bepalen gebruik je in een (v,t)-diagram de raaklijn op dat tijdstip en vervolgens de richtingscoëfficiënt die bij die raaklijn hoort. In de tekening zie je dat de raaklijn is getekend op $t = 1000 \ s$. Voor het bepalen van de richtingscoefficient (en dus de huidige versnelling) gebruik je makkelijk herkenbare punten. In dit geval punt 1 (750, 0) en punt 2 (1100, 100). Gegevens: $\Delta v = 100 -0 = 100 \ m/s$ en $\Delta t = 1100 - 750 = 350 \ s$Gevraagd: $a$Formule: $a = \frac{\Delta v}{\Delta t}$Berekening: $a = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{100}{350} = 0,2857$Conclusie: $a=0,286 \ m/s^2$Je ziet vier grafieken. Je weet dat de trein start in Den Haag en eindigt in Rotterdam. Er zijn twee tussenstops waar de trein stil staat. In een (s,t)-diagram blijft dan gedurende die stops de s gelijk (neemt niet toe of af).Grafiek A: Je ziet een afnemende lijn en twee tussenstops. Alleen hebben we gemeten vanuit Den Haag ($s=0 \ km$). En hier start de grafiek op 22,5 km. Dus A is het niet!Grafiek B: Je ziet een toenemende lijn en twee tussenstops. De start is in Den Haag ($s= 0 \ km$). Dit lijkt aannemelijk.Grafiek C: Je ziet een toenemende lijn maar er is ook een versnelling op de plek waar de anderen een stop hebben. Dus C kan het niet zijn.Grafiek D: Je ziet eerst een toenemende lijn maar vervolgens neemt de lijn weer af, alsof de trein weer terugkeert. Deze kan het ook niet zijn.Conclusie: het moet wel grafiek B zijn omdat de andere drie grafieken het niet kunnen zijn. Bij een $(h,t)$-diagram zet je de hoogte uit tegen de tijd. In de tekst lees je dat tussen elke foto 0,1 s zat. Verder kun je van het plaatje aflezen waar de prop zich bevond. Het is handig om eerst een tabel te maken voordat je een grafiek tekent. De tabel kan er als volgt uit zien:Tijd (s)Hoogte (m)0,01,000,10,950,20,790,30,540,40,200,50Met deze gegevens kun je vervolgens de grafiek maken. Denk aan de titel, de astitels en een goed verdeling van de twee assen. Het ziet er dan als volgt uit: Om een snelheid te kunnen bepalen uit een $(h,t)$-diagram gebruik je de raaklijn (en de richtingscoëfficiënt van die raaklijn). In het diagram is te zien dat al vrij snel het vel papier een constante snelheid heeft. Dit zie je doordat de lijn nagenoeg recht is. Het is dan makkelijk om een richtingscoëfficiënt te bepalen. In de grafiek hieronder zijn eerst twee punten bepaald:Deze twee punten zijn punt 1: (0,4, 0,76) en punt 2: (1,4, 0,09). Met deze twee punten en de formule $v = \frac{\Delta s}{\Delta t}$ kunnen we de snelheid bepalen.Gegeven: $\Delta v = 0,76 - 0,09 = 0,67 \ m$; $\Delta t = 1,4 -0,4 = 1,0 \ s$Gevraagd: $v$Formule: $v = \frac{\Delta s}{\Delta t}$Berekening: $v = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{0,67}{1,0} = 0,67$Conclusie: $v = 0,67 \ m/s$Je hebt nu bewijs geleverd dat de snelheid inderdaad dichtbij de 0,67 m/s zit. Met het bepalen uit een grafiek maak je altijd kleine leesfouten en dus mag je 0,70 en 0,67 beschouwen als gelijk. Bij het opstellen van dit model moet rekening houden met het soort beweging. Als je dat weet weet je ook welke formules je kunt gaan hanteren. Stapsgewijs staat hieronder hoe je dit kunt aanpakken:Stap 1: Begrijpen: Het gaat hier om een val. Je weet dan dat de beginsnelheid 0 is en dat de versnelling gelijk is aan de valversnelling: $a = g = 9,81 \ m/s^2$. Verder staat in de tekst dat de hoogte van de val 2 meter bedraagt, dus $h=s=2 \ m$.Stap 2: Formules: Een val beweging kent twee formules, die van de snelheid (als gevolg van een versnelling) en de afstand. Dus: v = a\cdot t$ en $s = v \cdot t$.Stap 3: Formule omzetten naar modelregel: Laten we eerste naar de snelheid kijken en dan de afstand.De snelheid neemt steeds toe met een geleidelijke toename die afhankelijk is van de versnelling, dus je krijgt dan: $dv = g * dt$ (de geleidelijke toename) en vervolgens $v = v + dv$.De afstand neemt ook steeds toe. De is lastig. Omdat de snelheid niet eenparig is maar steeds toeneemt moet je rekening houden met de gemiddelde snelheid tijdens de toename. Elk stukje tijd heeft de bal al een snelheid en krijgt die er een stukje bij. De gemiddelde snelheid is dan de beginsnelheid ($v$) en eindsnelheid ($v+g*dt$) gedeeld door twee. Dit ziet er als volgt uit: $ds = (v * dt + (v + g * dt) *dt) / 2$ en $s = s - ds$ (let op de min! De bal valt en heeft dus een starthoogte die steeds minder wordt.)Stap 4: De startwaarden en constanten bepalen: In dit geval weten we $ dt=0,1$ (want gegeven), $v=0$ (want de valbeweging begint met een beginsnelheid van 0 m/s), $  s=2$ (want gegeven in de opdracht) en $g=9,81$ (want dat is de valversnelling op aarde).Stap 5: Het model invullen. Je weet dat $t=0$ en één modelregel is altijd aanwezig: $t=t+dt$. Dus:modelregelsstartwaarden en constantent = t + dtdv = g * dtds = (v * dt + (v + g * dt) * dt) / 2v = v + dvs = s - dst=0v=0s=2g=0dt=0,1 Allereerst, besef dat de tijd in minuten is gegeven. Dus je zult bij berekeningen hier rekening mee moeten houden.De momentane versnelling bepaal je met een raaklijn met de grafiek op het gegeven tijdstip. Het is dan handig om zo’n groot mogelijke raaklijn te tekenen en goed afleesbare punten te gebruiken voor je berekening. In de figuur hiernaast zie je dat de rode raaklijn de x-as snijdt op 7,5 min. Verder zie je dat op $t = 3$ minuten de rode lijn de 9 m/s aanraakt. Je hebt nu twee punten waarmee je de richtingscoëfficiënt kunt bepalen en daarmee de momentane versnelling op $t = 4 \ min$.Gegeven: $\Delta t = 7,5 - 3 = 4,5 \ min = 270 \ s$; $\Delta v = 0 - 9 = - 9 \ m/s$Gevraagd: $a_{gem}$Formule: $a_{gem} = \frac{\Delta v}{\Delta t}$Berekening: $a_{gem} = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{-9}{270} = -0,0333$Conclusie: $a_{gem} = -0,03 \ m/s^2 = -3 \cdot 10^{-2} \ m/s^2$In de grafiek zie je dat de snelheidtoeneemt en vervolgens afneemt. Dus op tijdstip $t= 1 \ min$ en $t= 3 \ min$ wordt de snelheid hoger en versnelt de fietser dus. Je mag dan aannemen dat het voor de fietser makkelijker was en daarmee waarschijnlijk aan het dalen was. Op andere tijdstippen nam de snelheid steeds af en vertraagde de fietser.In vraag 2b zijn twee voorbeelden gegeven hoe je deze kunt oplossen.Hokjesmethode:De gele hokjes samen zijn er: 5+7+4+3+2=21.De blauwe hokjes zijn er ongeveer 2 en de groene hokjes is 1 hokje.In totaal dus: 21+2+1=24 hokjes.Elk hokje is $1 \ m/s \cdot 2 \ min = 1 \ m/s \cdot 120 \ s = 120 \ m$ Dus in totaal heeft de fietser ongeveer $24 \cdot 120 = 2880 \ m$ afgelegd.Gemiddelde snelheid: Teken in de grafiek de gemiddelde snelheid. Deze ligt ongeveer op 5 m/s. Je kunt nu de oppervlakte onder deze lijn uitrekenen, want dat is gelijk aan de afgelegde afstand. Dus in totaal heeft de fietser dan $5 \cdot 10 \cdot 60 = 3000 \ m$ afgelegd. Om deze eenhedenanalyse te kunnen uitvoeren schrijf je de formule op in zijn eenheden. Tussen rechte haken staan dan de symbolen voor de grootheden.Stap 1: Herformuleer de formule tot $C_w$ =... $F_w = \frac{1}{2} \cdot \rho \cdot A \cdot v^2$ → $\large C_w = \frac{2F}{\rho \cdot A \cdot v^2}$Stap 2: Vervang de symbolen voor de grootheden door symbolen van de eenheden. Zorg ervoor dat je m/s herschrijft als ms-1. Dit doe je omdat de formule in een breuk staat en je dan breuk in breuk gaat krijgen. Wat erg lastig is. Bedenk ook dat als er dan toch nog een grootheid blijft staan, deze tussen rechte haken hoort:$\large [C_w] = \frac{kg m s^{-2}}{kg m^{-3}} \cdot m^2 \cdot m^2s^{-2}$Stap 3: Vereenvoudig de breuk. Dit kun je doen door alles in de noemer (onder de streep) naar “boven de breuk” te brengen door bij de machten de plus en min om te draaien. Bijvoorbeeld: 1/x wordt x-1 en 1/y-1 wordt dan gewoon y.$[C_w] = kg m s^{-2} \cdot  kg^{-1}m^3\cdot m^{-2} \cdot m^{-2}s^2$Stap 4: Wegstrepen. Je kunt nu de eenheden tegen elkaar wegstrepen. Want $kg \cdot kg^{-1} = \frac{kg}{kg} = 1$ en een getal heeft geen eenheid. Het is handig om de eenheden bij elkaar te zetten. Dat mag zolang je vermenigvuldigt, dan maakt het niet uit wat waar staat en het is makkelijker.$[C_w] = kg m s^{-2} \cdot  kg^{-1}m^3\cdot m^{-2} \cdot m^{-2}s^2 = kg \cdot kg^{-1} \cdot m \cdot m^3 \cdot m^{-2} \cdot m^{-2} \cdot s^{-2} \cdot s^2$$[C_w] = kg \cdot kg^{-1} \cdot m^4 \cdot m^{-4} \cdot s^{-2} \cdot s^2 = 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$Stap 5: Conclusie: Volgens stap 4 is $[C_w] = 1$ en een getal heeft geen eenheid, dus $C_w$ is dimensieloos (zonder eenheid).