Moderne Wiskunde B 12e ed/FLEX deel 1 - Hoofdstuk 1 - Vergelijkingen oefentoetsen & antwoorden

a) Lineaire vergelijking:  $y=-4x-3$  De vergelijking heeft de vorm  $y=ax+b$.b) Kwadratische vergelijking: $5x^2-9=-2x$De vergelijking is te herleiden naar de vorm $ax^2 +bx+c=0$.   De variabele $x$ is aanwezig in de vorm van een kwadraat $x^2$.c) Wortelvergelijking: $\sqrt{3x+1}=5$De variabele x komt onder het wortelteken voor.d) Gebroken vergelijking: $4-\frac{3}{5x+1}=x$De variabele x komt in de noemer van een breuk voor. a) Richtingscoëfficiënt van lijn l:y=212−3xl: y=2\frac{1}{2}-3xl:y=221​−3x:De vergelijking kan worden herschreven als l:y=−3x+212l: y=-3x+2\frac{1}{2}l:y=−3x+221​In een vergelijking van de vorm y=ax+by=ax+by=ax+b is aaa de richtingscoëfficiënt of het hellingsgetal, bbb is het startgetal. De richtingscoëfficiënt is a=−3a=-3a=−3 en het startgetal is b=212b=2\frac{1}{2}b=221​.Tip: Omdat in deze opgave de vergelijking is gegeven, is bovenstaande uitwerking de meest exacte wijze van oplossen. Ga wel even na dat het gevonden antwoord overeenkomt met de gegeven grafiek van lijn lll: bij een horizontale toename van 111, is de verticale toename −3-3−3, oftewel ga je één naar rechts, dan ga je drie omlaag.Verder kun je het startgetal uit de grafiek herkennen als de y-coördinaat van het snijpunt van lijn lll met de y-as.b) Opstellen vergelijking van lijn mmm:Algemene vergelijking lijn m:y=ax+bm: y=ax+bm:y=ax+b, waarin aaa de richtingscoëfficiënt is, en bbb het startgetal is.Twee punten op lijn mmm zijn: (1,−3)(1,-3)(1,−3) en (4,3)(4,3)(4,3). De richtingscoëfficiënt is: a=3−−34−−1=63=2a=\frac{3- -3}{4- -1}=\frac{6}{3}=2a=4−−13−−3​=36​=2 Lijn m:y=2x+bm: y=2x+bm:y=2x+b gaat door (1,−3)(1,-3)(1,−3). Voor het startgetal geldt:−3=2⋅1+b-3=2\cdot 1 +b−3=2⋅1+b b=−5b=-5b=−5 Lijn m:y=2x−5m: y=2x-5m:y=2x−5.c) Snijpunt SSS van lijnen lll en mmm:Voor het snijpunt SSS van de lijnen lll en mmm geldt: 212−3x=2x−52\frac{1}{2}-3x=2x-5221​−3x=2x−5 Oplossen van deze vergelijking:212−3x−2x=2x−2x−52\frac{1}{2}-3x-2x=2x-2x-5221​−3x−2x=2x−2x−5 (Links en rechts 2x2x2x aftrekken)212−5x=−52\frac{1}{2}-5x=-5221​−5x=−5212−212−5x=−5−2122\frac{1}{2}-2\frac{1}{2}-5x=-5-2\frac{1}{2}221​−221​−5x=−5−221​ (Links en rechts 2122\frac{1}{2}221​ aftrekken)−5x=−712-5x=-7\frac{1}{2}−5x=−721​−5x−5=712−5\frac{-5x}{-5}=\frac{7\frac{1}{2}}{-5}−5−5x​=−5721​​ (Links en rechts delen door −5-5−5x=112x=1\frac{1}{2}x=121​De x-coördinaat van het snijpunt SSS is x=112x=1\frac{1}{2}x=121​.Het snijpunt SSS ligt zowel op lijn lll als op lijn mmm.Punt SSS ligt op lijn  l:y=212−3xl: y=2\frac{1}{2}-3xl:y=221​−3xVul voor xxx de waarde van de gevonden x-coördinaat van SSS in:                                             y=212=3⋅112y=2\frac{1}{2}=3\cdot 1\frac{1}{2}y=221​=3⋅121​                                              y=212−412=−2y=2\frac{1}{2}-4\frac{1}{2}=-2y=221​−421​=−2Snijpunt S=(112,−2)S=(1\frac{1}{2}, -2)S=(121​,−2). a) $x^2 - 6x + 8 = 0$ We proberen deze vergelijking te schrijven als $(x - a)(x-b) = 0$. We proberen dus eerst de som-productmethode waarbij we op zoek gaan naar getallen $a$ en $b$ waarbij de het product $a \cdot b = 8$ en de som van $a$ en $b$ gelijk is aan $-6$.productGetallensom$+8$$1$ en $8$$9$$+ 8$$2$ en $4$$6$$+8$$-1$ en $-8$$-9$$+8$$-2$ en $-4$$-6$Ontbind de in factoren:$x^2 -6x + 8 = 0$$(x - 4)(x - 2) = 0$Een oplossing voldoet aan:$x - 4 = 0$ v $x - 2 = 0$$x = 4$ v $x = 2$b) $x^2 - 5x + 8 = 0$ Stel vast dat de som-productmethode niet mogelijk is.Gebruik de $abc$-formule: oplossingen van $ax^2 + bc + c = 0$ zijn:$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$Hierbij geldt dat $D$ de discriminant met $D = b^2 - 4ac$Indien $D < 0$ weten we dat er geen oplossing bestaat van de vergelijking $ax^2 + bc + c = 0$, indien $D = 0$ weten we dat er precies één oplossing is en indien $D > 0$ weten we dat er precies twee verschillende oplossingen bestaan. Met $a = 1$, $b = -5$ en $c = 8$ vinden we voor de discriminant $D$:$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8$$D = -7$Omdat $D = -7 < 0$ geldt dat de vergelijking $x^2 - 5x + 8 = 0$ geen oplossing heeft.c) $x^3 + 8x = 5x^2$Herschrijf de formule:$x^3 - 5x^2 + 8x = 0$We kunnen hier een factor $x$ afsplitsen:$x \cdot (x^2 - 5x + 8$) = 0$Deze formule heeft de vorm $A \cdot B = 0$. Dit betekent dat oplossingen volgen uit $A = 0$ of $B = 0$. Oplossingen volgen dus uit:$x = 0$ v $x^2 - 5x + 8 = 0$We hebben gezien dat $x^2 - 5x + 8 = 0$ geen oplossingen heeft (onderdeel b), dus de enige oplossing is $x = 0$.d) $(x - 2)^2 = (2x + 1)^2$De linker- en rechterzijde zijn kwadraten. De gegeven vergelijking heeft de vorm $A^2 = B^2$. We weten dan dat de oplossingen gevonden kunnen worden door op te lossen $A = B$ of $A = -B$. Dus oplossingen voldoen aan:$x - 2 = 2x + 1$ v $x - 2 = - (2x + 1)$$-x = 3$ v $3x = 1$$x = -3$ v $x = \frac{1}{3}$Tip: controleer je antwoorden door de gevonden antwoorden in de gegeven vergelijking te substitueren. e) $\sqrt{-x^2 + 4} - x = 0$Isoleer de wortel in de vergelijking:$\sqrt{-x^2 + 4} - x = 0$$\sqrt{-x^2 + 4} = x$Kwadrateer beide kanten van de vergelijking om de wortel weg te werken:$(\sqrt{-x^2 + 4})^2 = x^2$$-x^2 + 4 = x^2$ Los de verkregen vergelijking op:$-x^2 + 4 = x^2$$2x^2 = 4$$x^2 = 2$$x = -\sqrt{2} \vee x = \sqrt{2}$Controleer of de oplossingen voldoen door de gevonden oplossingen in te vullen in de oorspronkelijke vergelijking:$x = - \sqrt{2}$ geeft: $\sqrt{- (-2\sqrt{2})^2 + 4} - (- \sqrt{2}) = \sqrt{2} + \sqrt{2} = 2 \sqrt{2} \neq 0$ (klopt niet)$x = \sqrt{2}$ geeft: $\sqrt{- (\sqrt{2})^2 + 4} - \sqrt{2} = \sqrt{2} - \sqrt{2} = 0$ (klopt)De oplossing is: $x = \sqrt{2}$f) $\frac{8}{x + 4} = \frac{1}{2} (x-4)$Hier is sprake van een gebroken vergelijking. De variabele komt voor in de noemer van de breuk. Om de variabele uit de noemer van de breuk te krijgen, vermenigvuldigen we links en recht met $(x + 4)$ waarmee we verkrijgen:$8 = \frac{1}{2}(x-4)(x+4)$We werken het rechter deel van de vergelijking verder uit:$8 = \frac{1}{2} (x^2 - 4x + 4x - 16)$$8 = \frac{1}{2} (x^2 -16)$$8 = \frac{1}{2} x^2 - 8$$16 = \frac{1}{2}x^2$Links en rechts vermenigvuldigen met $2$ levert:$32 = x^2$ of herschreven$x^2 = 32$De linker- en rechterzijde zijn kwadraten. De gegeven vergelijking heeft de vorm $A^2 = B^2$. Oplossingen zijn $A = B$ of $A = -B$.$x = - \sqrt{32} \, \vee \, x = \sqrt{32}$Dit kunnen we herleiden tot: $x = -\sqrt{16 \cdot 2} \, \vee \, x = \sqrt{ 16 \cdot 2}$$x = \sqrt{16} \cdot \sqrt{2} \, \vee \, x = \sqrt{16} \cdot \sqrt{2}$ want $\sqrt{A \cdot B} = \sqrt{A} \cdot \sqrt{B}$$x = - 4 \sqrt{2} \, \vee \, x = 4 \sqrt{2}$ a) 4ba−b=5−2b\frac{4b}{a} - b = 5 - 2ba4b​−b=5−2bLinks en rechts 2b2b2b optellen:  4ba−b+2b=5−2b+2b\frac{4b}{a} - b + 2b = 5 - 2b + 2ba4b​−b+2b=5−2b+2b4ba+b=5\frac{4b}{a} + b = 5a4b​+b=5Links en rechts vermenigvuldigen met aaa:a⋅(4ba+b)=a⋅5a \cdot (\frac{4b}{a} + b) = a \cdot 5a⋅(a4b​+b)=a⋅5 (let op de haakjes!)4b+ab=5a4b + ab = 5a4b+ab=5aOntbinden:b(4+a)=5ab (4 + a) = 5ab(4+a)=5aLinks en rechts delen door (4+a)(4+a)(4+a):b(4+a)4+a=5a4+a\frac{b(4+a)}{4+a} = \frac{5a}{4+a}4+ab(4+a)​=4+a5a​b=5a4+ab = \frac{5a}{4 + a}b=4+a5a​b) 2p+3=3q2p + 3 = 3q2p+3=3q en q=5−6rq = 5 - 6rq=5−6r. Druk ppp uit in rrr.Substitueer de uitdrukking q=5−6rq = 5 - 6rq=5−6r (tip: denk aan de haakjes) in de uitdrukking 2p+3=3q2p + 3 = 3q2p+3=3q:2p+3=3q2p + 3 = 3q2p+3=3q2p+3=3⋅(5−6r)2p + 3 = 3 \cdot (5 - 6r)2p+3=3⋅(5−6r) En herleid:2p+3=15−18r2p + 3 = 15 - 18r2p+3=15−18r2p=12−18r2p = 12 - 18r2p=12−18rp=6−9rp = 6 - 9rp=6−9r a) Onderscheid de volgende deelstappen: (1) Los op f(x)=g(x)f(x) = g(x)f(x)=g(x). (2) Schets de grafiek en (3) Geef de oplossing. (1) Los op f(x)=g(x)f(x) = g(x)f(x)=g(x)14x2+x−4=−12x\frac{1}{4}x^2 + x - 4 = - \frac{1}{2}x41​x2+x−4=−21​x14x2+32x−4=0\frac{1}{4}x^2 + \frac{3}{2}x - 4 = 041​x2+23​x−4=0x2+6x−16=0x^2 + 6x - 16 = 0x2+6x−16=0(x+8)(x−2)=0(x + 8)(x - 2) = 0(x+8)(x−2)=0x=−8 ∨ x=2x = -8 \, \vee \, x =2x=−8∨x=2(2) Schets de grafiekenTip: Gebruik je grafische rekenmachineInvoer: y1=14x2+x−4y_1 = \frac{1}{4} x^2 +x - 4y1​=41​x2+x−4 en y2=−12xy_2=-\frac{1}{2}xy2​=−21​xVenster: −10≤x≤4-10 \leq x \leq 4−10≤x≤4 en −12≤y≤12-12 \leq y \leq 12−12≤y≤12Zet de schets ook in je eigen uitwerking.(3) Geef de oplossingVoor −8<x<2-8 < x < 2−8<x<2 geldt f(x)<g(x)f(x) < g(x)f(x)<g(x)b) Los op 1x+2=12x+112\frac{1}{x + 2} = \frac{1}{2}x + 1 \frac{1}{2}x+21​=21​x+121​Merk op dat geldt x≠−2x \neq -2x=−2 want als x=−2x=-2x=−2 is de noemer gelijk aan 000 en delen door 000 kan niet. Er is dus een asymptoot is voor x=−2x = -2x=−2.Links en rechts vermenigvuldigen met 222 geeft: 2x+2=x+3\frac{2}{x + 2} = x + 3x+22​=x+3Links en rechts vermenigvuldigen met (x+2)(x + 2)(x+2) geeft en verder uitwerken:2=(x+3)(x+2)2 = (x + 3)(x + 2)2=(x+3)(x+2)2=x2+5x+62 = x^2 + 5x + 62=x2+5x+6x2+5x+4=0x^2 + 5x + 4 = 0x2+5x+4=0(x+4)(x+1)=0(x + 4)(x + 1) = 0(x+4)(x+1)=0x=−4∨x=−1x = -4 \vee x = -1x=−4∨x=−1 a) Aan te tonen: $h = 30390 - 30p$We weten dat er een lineair verband is tussen hoogte $h$ en luchtdruk $p$. Hierbij hoort de formule:$h = a \cdot p + b$In deze formule stelt $a$ de richtingscoëfficiënt voor, de verandering in hoogte (in feet) gedeeld door de verandering in luchtdruk (in millibar). Indien je $30$ feet stijgt, neem de luchtdruk af met $1$ millibar:$a = \frac{30}{-1} = -30$Dus geldt: $h = -30p + b$We weten dat de luchtdruk op zeeniveau $1013$ millibar is. Dus bij $p = 1013$ geldt $h = 0$. Invullen in $h = -30p + b$ geeft:$0 = -30 \cdot 1013 + b$$b = 30 \cdot 1013 = 30390$Dus geldt: $h = -30p + 30390$Conclusie: $h = -30p + 30390 = 30390 - 30p$b) Waarden die de luchtdruk heeft voor hoogten tot $12000$ feet: Los eerst op $h = 30390 - 30p = 12000$$30390 - 30p = 12000$$30390 - 12000 = 30p$$p = \frac{30390 - 12000}{30} = 613$Bij een hoogte van $12000$ feet is de luchtdruk $613$ millibar.Schets de grafiekGeef de oplossing:Het snijpunt van de grafieken $h = 30390 - 30p$ en de grafiek $h = 12000$ geeft aan wat de luchtdruk is bij een hoogte $h = 12000$.Aan de hand van de grafiek is te zien dat voor hoogten $h < 12000$ geldt dat de luchtdruk $p > 613$ millibar.c) Gegeven is dat $h=30390-30p$ Breng eerst de $30390$ naar de andere kant: $h-30390=30p$Deel nu links en rechts door $30$: $\frac{1}{30}h-1013=p$  Draai de uitdrukking nu om: $p=\frac{1}{30}h-1013$. a) Onderscheid de volgende deelstappen: (1) Los op $ f(x)=k(x)$. (2) Schets de grafiek en (3) Geef de oplossing. (1) Los op $f(x)=k(x)$ met $f(x)=\sqrt{2x-3}$ en $k=\frac{1}{2}x$.Stel vergelijking op:$\sqrt{2x - 3} = \frac{1}{2}x$Kwadrateer links en rechts:$2x - 3 = \frac{1}{4}x^2$Breng alles naar een kant en los op door links en recht $\frac{1}{4}x^2$ af te trekken en vermenigvuldig vervolgens links en rechts met $4$:$\frac{1}{4}x^2 - 2x + 3 = 0$$x^2 - 8x + 12 = 0$$(x - 2)(x - 6) = 0$$x = 2 \vee x = 6$Controleer of de gevonden oplossingen voldoen door in te vullen in vergelijking $\sqrt{2x - 3} = \frac{1}{2}x$Indien $x = 2$ dan $\sqrt{2 \cdot 2 - 3} = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1$, klopt.Indien $x = 6$ dan $\sqrt{2 \cdot 6 - 3} = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3$, klopt.Conclusie: De snijpunten zijn $(2, 1)$ en $(6, 3)$.(2) Schets de grafiekenTip: Gebruik je grafische rekenmachine                         Invoer: $y_1=\sqrt{2x-3}$en $y_2=-\frac{1}{2}x$              Venster: $-2 \leq x\leq 10$ en $-1 \leq y \leq 6$Zet de schets ook in je eigen uitwerking.                          (3) Geef de oplossingVoor $2 < x < 6$ geldt $f(x)>k(x)$. b) Te bepalen: waarden van $b$ waarvoor geldt $f(x) = \sqrt{2x - 3}$ en $k: y = \frac{1}{2}x + b$ precies één punt gemeenschappelijk hebben.Stel vergelijking op. Los op door links en rechts te kwadrateren en verder uit te werken:$\sqrt{2x - 3} = \frac{1}{2}x + b$   (links en rechts kwadrateren)$(\sqrt{2x - 3})^2 = (\frac{1}{2}x + b)^2$   (werk wortel en haakjes weg, let op de term $bx$ aan de rechterkant)$2x - 3 = \frac{1}{4}x^2 + bx + b^2$$0 = \frac{1}{4}x^2 + bx + b^2 - 2b + 3$$\frac{1}{4}x^2 + (b-2)x + (b^2 + 3) = 0$$x^2 + 4(b -2)x + 4(b^2 + 3) = 0$Bepaal de discriminant:$D = 16(b - 2)^2 - 16(b^2 + 3)$$D = 16(b^2 - 4b + 4) - 16(b^2 + 3$$D = - 64b + 16$Tip: Vind je dit nog moeilijk? Kijk dan bij de uitleg over de $abc$-formule in opgave 2 en vergelijk de formule $ax^2 + bx + x = 0$ met $x^2 + 4(b - 2)x + 4(b^2 + 3) = 0$.Er is precies één oplossing indien $D = 0$, dus:$-64b + 16 = 0$$b = \frac{1}{4}$Nu weten we echter nog niet alle mogelijke waarden voor $b$. Daarom hieronder een schets van de situatie bij $b = \frac{1}{4}$. Te zien is dan dat lijn $k$ en functie $f$ precies één punt met elkaar gemeen hebben. Je kunt zien dat indien $b < \frac{1}{4}$ er twee snijpunten zijn. Indien $b$ voldoende klein wordt, dan is er uiteindelijk maar één snijpunt van lijn $k$ met de grafiek van functie $f$.Los op $f(x) = 0$$\sqrt{2x - 3} = 0$$x = 1 \frac{1}{2}$Dus snijpunt met $x$-as: $(1 \frac{1}{2}, 0)$Bepaal snijpunt lijn $k$ met $(1 \frac{1}{2}, 0)$:$k: y = \frac{1}{2}x + b$ gaat door $( 1 \frac{1}{2}, 0)$Dus geldt: $0 = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} + b$Hieruit volgt: $b = - \frac{3}{4}$Voor $- \frac{3}{4} \leq \, b \, < \frac{1}{4}$ hebben lijn $k$ en de grafiek van $f$ precies twee punten gemeenschappelijk.Conclusie: voor $b = \frac{1}{4}$ of $b < - \frac{3}{4}$ hebben lijn $k$ en de grafiek van $f$ precies één punt gemeenschappelijk. a) Berekening coördinaten van $P$ en $Q$.Los op $f_1(x) = 0$.$\frac{x-1}{1} + \frac{2}{x - 1} - 5 = 0$ $x - 1 + \frac{2}{x - 1} - 5 = 0$   (alle termen keer $x-1$ geeft:)$(x - 1)^2 + 2 - 5(x - 1) = 0$$x^2 - 2x + 1 + 2 - 5x + 5 = 0$$x^2 - 7x + 8 = 0$Discriminant: $D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 17$Oplossingen: $x = \frac{-(-7) \pm \sqrt{17}}{2} = 3 \frac{1}{2} \pm \frac{1}{2} \sqrt{17}$Tip: Ga na hoe elke volgende regel werd verkregen uit de vorige regel. Vind je het moeilijk, kijk dan eens naar de vele voorbeelden bij de uitwerkingen van andere opgaven.Conclusie: $P(3 \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \sqrt{17}, 0)$ en $Q(3 \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{17},0)$b) Bereken coördinaten $R$. Los op $f_1(x) = f_{4 \frac{1}{2}} (x)$$\frac{x -1}{1} + \frac{2}{x-1} - 5 = \frac{x-1}{4 \frac{1}{2}} + \frac{9}{x-1} - 5$$x - 1 + \frac{2}{x-1} = \frac{2}{9}(x-1) + \frac{9}{x-1}$Links en rechts vermenigvuldigen met $(x-1)$ levert op:$(x-1)^2 + 2 = \frac{2}{9} \cdot (x-1)^2 + 9$En verder herleiden geeft:$\frac{7}{9} \cdot (x-1)^2 - 7 = 0$$\frac{7}{9} \cdot (x^2 - 2x + 1) - 7 = 0$ (voor een alternatieve oplossing zie ook tip hieronder)$x^2 - 2x + 1 - 9 = 0$$x^2 - 2x + 8 = 0$$(x - 4)(x + 2) = 0$$x = 4 \vee x = -2$Er moet gelden (zie opgave) dat $x > 0$ Dus vervalt $x = -2$ en blijft als oplossing over $x = 4$.Tip: Je kunt $(x-1)^2 + 2 = \frac{2}{9}(x-1)^2 + 9$ ook herleiden tot $(x-1)^2 = 9$ en dit vervolgens verder oplossen: $x-1 = 3$ of $x -1 = -3$. Ga na dat je dan dezelfde oplossing verkrijgt.$y$-coördinaat van $R$ wordt gevonden met:$y = f_1(4) = \frac{4-1}{1} + \frac{2}{4 -1 } - 5 = 3 + \frac{2}{3} - 5 = - 1 \frac{1}{3} = - \frac{4}{3}$Dus $R(3, -2)$ Onderscheid de volgende deelstappen: (1) Los op $f(x)=g(x)$ met $f(x)=(x+1)^2+7(x+1) $ en $g(x)=-12$. (2) Schets de grafieken. (3) Geef de oplossing. (1) Los op $f(x)=g(x)$.Breng alles naar een kant:$(x+1)^2+7(x+1) +12= 0$Vervang $x+1$ door $p$:$p^2+7p+12=0$Ontbind in factoren:$(p+3)(p+4)=0$$p+3=0 \vee p+4=0$$p=-3 \vee p=-4$Los de vergelijking nu op voor $x$:  $p=x+1=-3 \vee p=x+1=-4$$x=-4 \vee x=-5$(2) Schets de grafiekenTip: Gebruik je grafische rekenmachine                         Invoer: $f(x)=(x+1)^2+7(x+1)$  en $y_2=-12$              Venster: $-16 \leq x\leq 6$ en $-14\leq y\leq 5$ Zet de schets ook in je eigen uitwerking.            (3) Geef de oplossing:Voor $x\leq -5$ en $x \geq -4$ geldt $(x+1)^2+7(x+1) \geq -12$.