Getal en Ruimte wisB 12e ed deel 1 - Hoofdstuk 2 - De afgeleide functie oefentoetsen & antwoorden

De formule $\large \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ stelt de gemiddelde verandering van een functie $f$ over een interval $[a, b]$ voor. (Dit wordt ook het differentiequotiënt van $f(x)$ over het interval $[a,b]$ genoemd.) Laat in je schets zien waar $\Delta x$ en $\Delta y$ gevonden kunnen worden! De vorm van je functie $f(x)$ mag je zelf kiezen.$\frac{dx}{dy}$ betekent het differentiaalquotiënt: Als je het differentiequotiënt $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ over een steeds kleiner interval $\Delta x = b-a$ uitrekent, gaat $\Delta x \rightarrow 0$Het differentiequotiënt $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ gaat dan over in het differentiaalquotiënt $\frac{dx}{dy}$.Het differentiaalquotiënt $\frac{dx}{dy}$ is de exacte waarde van de helling van de grafiek $f$ in het punt $A$. De helling in een punt noem je ook wel de afgeleide waarde.In een tijd-afstand situatie is de afgeleide waarde gelijk aan de snelheid op dat moment. Gevraagd wordt naar het differentiequotiënt van $f$ op het interval $[10,40]$. Het differentiequotiënt is de gemiddelde verandering van $f$ op dit interval: $\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{f(40)-f(10)}{40-10}$.Tip: Vind je dit lastig? Plot de grafiek op je GR en maak zelf een schets, zoals in deze uitwerking. We bepalen eerst $f(10)$ en $f(40)$ en daarna het differentiequotiënt.$f(10) = -\frac{1}{25} \cdot 10^2 + 4 \cdot 10 - 60 = -4 + 40 - 60 = -24$  $f(40) = -\frac{1}{25} \cdot 40^2 + 4 \cdot 40 - 60 = -\frac{1600}{25} + 160 - 60 = -64 + 160 - 60 = 36$ Bepaal het differentiequotiënt:$\large \frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{f(40)-f(10)}{40-10} = \frac{36 - \, -24}{40 - 10} = \frac{60}{30} = 2$. De helling van de grafiek $f$ in het punt $P$ bepalen we door de helling van de raaklijn $k$ aan de grafiek $f$ in het punt $P$. We kiezen twee geschikte punten op lijn $k$ waarvan de coördinaten goed zijn af te lezen. Hier zijn deze punten gegeven, namelijk punten $A$ en $B$.$A(0,-80)$ en $B(8,100)$ zijn twee punten op lijn $k$.De helling van de raaklijn is ongeveer $\frac{y_B - y_A}{x_A - x_B} = \frac{100 - \, - 80}{8-0} = \frac{180}{8} = 22,5$De helling van de grafiek van $f$ in punt $P$ is gelijk aan de helling van raaklijn $k$, dus gelijk aan $22,5$. Zie de tekening. Toelichting:De hellinggrafiek (blauw) is op hoogte nul waar de grafiek van $f(x)$ een top heeft. Zie de grijze stippellijnen.De hellinggrafiek heeft een minimum of maximum waar de grafiek van $f(x)$ het snelste daalt of stijgt.De hellinggrafiek is negatief (onder de x-as) waar de grafiek van $f(x)$daalt.De hellinggrafiek is positief (boven de x-as) waar de grafiek van $f(x)$ stijgt. De afgeleide van $f(x) = 5x +7 \sqrt 5$ is $f’(x)=5$. Toelichting: Als $f(x) = u(x) + v(x)$ dan is $f’(x) = u’(x) + v’(x)$. (In woorden: De afgeleide van de som van twee functies is gelijk aan de som van de afgeleide van de twee functies (somregel) ).De afgeleide van $u(x)=5x$ is gelijk aan $u’(x)=5$. (De grafiek van $u(x) = 5x$ is een rechte lijn door de oorsprong. De helling hiervan is constant, in dit geval gelijk aan 5.)De afgeleide van $v(x)= \sqrt 5$ is gelijk aan $v’(x)=0$. (In dit geval is $v(x)$ een constante functie. In een grafiek stelt dit een horizontale lijn voor. De helling daarvan en dus de afgeleide is 0.)De afgeleide van $f(x) = 5x +7 \sqrt 5$ is dus gelijk aan $f’(x) = 5 +0 = 5$. Om de afgeleide van $g(x) = 4x(x^2-6x+9)+2$ te bepalen, gebruik je de productregel (en de somregel, maar de term $2$ valt weg bij het differentiëren).$g’(x) = [4x]’ \cdot (x^2-6x+9) + 4x \cdot [x^2-6x+9]’ $$= 4 \cdot (x^2-6x+9) + 4x \cdot (2x -6)$$= 4x^2-24x+36 + 8x^2-24x$$= 12x^2 - 48x +36$Alternatief kun je eerst de haakjes uitwerken:$g(x)=4x(x^2-6x+9)+2$$=4x^3-24x^2+36x+2$Bepaal nu $g'(x)$ door gebruik te maken van de regel voor het bepalen van de afgeleide van een machtsfunctie en de regels voor het differentiëren:$g'(x)=4 \cdot 3 \cdot x^2-24 \cdot 2 \cdot x^1+36\cdot x^0+0$$g'(x)=12x^2-48x+36$Om de afgeleide van $h(t)=(5t^2+4)(2t-4)$ te bepalen gebruik je de productregel. Dat geeft:$h’(x) = [5t^2+4]’ \cdot (2t-4) + (5t^2+4) \cdot [2t-4]’$$= (10t) \cdot (2t-4) + (5t^2+4) \cdot 2$$= 20t^2 - 40t + 10t^2 + 8$$=30t^2 -40t + 8$ Alternatief: Je mag ook de functie eerst herschrijven door de haakjes weg te werken.$h(t)=(5t^2+4)(2t-4)$$=5t^\cdot (2t-4)+4 \cdot (2t-4)$$=10t^3-20t^2+8t-16$Bepaal nu $h'(t)$:$h'(t)=10 \cdot 3 \cdot t^2-20 \cdot 2 c\dot t^1+8 c\dot t^0$$h'(t)=30t^2-40t+8$.Extra toelichting bij het uitwerken van de haakjes: we gebruiken de rekenregel $(a+b)(c+d)=a(c+d)+b(c+d)=ac+ad+bc+bd$.Om de afgeleide van $I(q)=π(2q)^3$ te bepalen, herschrijf je de functie:$I(q)=π(2q)^3$$=π \cdot 2^3q^3 $ (toelichting: er geldt $(pq)n=p^nq^n$)$=π \cdot 8 \cdot q3$$=8π q^3$Bepaal nu $I'(q)$:$I'(q)=8π \cdot 3 \cdot q^2$$I'(q)=24π q^2$Toelichting: het getal $\pi$ is een constante, dus dat laat je gewoon voor de functie staan bij het nemen van de afgeleide (net als bijvoorbeeld het getal $8$) Voor deze functie hebben we de quotiëntregel nodig. De teller is $3x+2$, dus afgeleide is $t’= 3$. De noemer is $x^2-4$, dus afgeleide is $n’= 2x$.Invullen in $[\frac{t}{n}] ‘ = \frac{nat-tan}{n^2}$ geeft:$r’(x) = \frac{(x^2-4) \cdot 3 - (3x+2) \cdot 2x}{(x^2-4)^2}$$= \frac{3x^2-12 -6x^2 - 4x}{x^4 - 8x^2 + 16}$ (let op de - in de bovenkant van de breuk!)$=\frac{-3x^2-4x-12}{x^4-8x^2+16}$. Allereerst een tip: Als de grafiek er niet bij staat is het altijd handig deze wel te plotten. Dan heb je een idee hoe de grafiek eruit ziet en kun je ook eenvoudig bepalen of de raaklijn daalt of stijgt (in dit geval stijgt de raaklijn). Ook kun je zien of het snijpunt met de y-as in de goede richting is.De rc van een raaklijn is gelijk aan de afgeleide in dat punt. In formulevorm: $f’(x_A)=a$. We bepalen eerst de afgeleide: $f’(x)=-\frac{2}{25}x+4$Dit geeft $a=f’(4)=-\frac{8}{25}+4=\frac{92}{25}$De raaklijn heeft als formule $y=ax+b$ met $a=\frac{92}{25}$De y-waarde krijg je door $4$ in te vullen in de functie $f$: y=f(4)=-\frac{16}{25}+16-60=-44\frac{16}{25}$Invullen geeft (met $x=4$): $-44\frac{16}{25}=\frac{92}{25}\cdot 4+b$We berekenen $b$: $b=-\frac{1484}{25}=-59\frac{9}{25}De formule van de raaklijn is nu $y=\frac{92}{25}\cdot x-59\frac{9}{25}$. Bepaal de afstand die is afgelegd in 10 seconden. Bereken vervolgens de gemiddelde snelheid.De afstand die is afgelegd in 10 seconden is:s(10)=-\frac{1}{15}10^3+2 \cdot 10^2$$=-\frac{1000}{15}+200=133,3$ mDe gemiddelde snelheid gedurende de eerste 10 seconden is $\frac{133,33}{10}=13,33$ m/s. (Gebruik dat snelheid = afstand / tijd).Bepaal de afstand die is afgelegd na 6 seconden. Bereken vervolgens de gemiddelde snelheid.De afstand die is afgelegd in de eerste 10 seconden is 133,3 m (onderdeel a).De afstand die is afgelegd in de eerste 6 seconden is $s(6)=-\frac{1}{15}6^3+2\cdot 6^2$$=-\frac{216}{15}+72=57,6$ mDe gemiddelde snelheid gedurende op het interval [6, 10] is $v_{gem}=\frac{\Delta s }{\Delta t} =\frac{133,3-57,6}{10-6}=18,9$ m/sDe snelheidsfunctie $v(t)$ is de afgeleide functie van de afstandsfunctie $s(t)$.Bepaal de afgeleide functie: $v(t)=s'(t)=-\frac{1}{5}t^2+4t$.Bepaal de snelheid op $t=6$:$v(6)=-\frac{1}{5}6^2+4 \cdot 6=16\frac{4}{5}$Conclusie: De snelheid van de auto op $t=6$ is $16,8$ m/s.  Vul de limiet in: $f’(-3) = \large \lim\limits_{h\rightarrow 0} \frac{f(-3+h)-f(-3)}{h}$Werk uit. Eerst de functie invullen:$\large f’(x) = \lim\limits_{h\rightarrow 0} \frac{2(-3+h)^2-16(-3+h)-2(-3)^2- - 16(-3)}{h}$Uitrekenen en haakjes uitwerken geeft:$f’(x) = \large \lim\limits_{h\rightarrow 0} \frac{2(9-6h+h^2)+48-16h-2(9)-48}{h}$= $\large \lim\limits_{h\rightarrow 0} \frac{18-12h+2h^2+48-16h-18-48}{h}$= $\large \lim\limits_{h\rightarrow 0} \frac{2h^2-28h}{h}$= $\large \lim\limits_{h\rightarrow 0} 2h-28$= $\large 0 - 28 = -28$. Dezelfde stappen als bij opgave a, maar dan met $x$ ingevuld in plaats van $-3$:$f’(x) = \large \lim\limits_{h\rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ = $\large \lim\limits_{h\rightarrow 0} \frac{2(x+h)^2-16(x+h)-2(x)^2- - 16(x)}{h}$= $\large \lim\limits_{h\rightarrow 0} \frac{2(x^2+2xh+h^2)-16x-16h-2x^2-16x}{h}$= $\large \lim\limits_{h\rightarrow 0} \frac{2x^2+4xh+2h^2-16x-16h-2x^2-16x}{h}$= $\large \lim\limits_{h\rightarrow 0} \frac{4xh + 2h^2-16h}{h}$= $\large \lim\limits_{h\rightarrow 0} 4x+2h-16$= $\large 4x-16$. Nu is het aangetoond. Begin met de vorm van de functie $f(x)=px^3+qx+r$. Eerst de afgeleide hiervan: $f’(x) = 3px^2+q$ ($r$ is een constante, dus die valt weg).Nu moet gelden dat  $f'(x)=3x^2+2$.Dus het getal vóór de $x^2$ moet gelijk zijn aan $3$. Dat betekent dat $3p = 3$, dus $p=1$.De losse term moet gelijk zijn aan $2$, dus $q=2$.Nu gaan we nog het gegeven gebruiken dat $f(1) = 4$.Vul de formule in met $q=2$ en $p=1$: $f(x) = 1x^3+2x+r$Dan is $f(1) = 1^3+2(1) +r = 4$Dus $1 + 2 + r = 4$, dus $r = 4-1-2=1$Conclusie: $p=1, q=2$ en $r=1$.Tip: controleer je antwoord. Heeft de nu gevonden functie $f(x) = x^3+2x+1$ de juiste afgeleide? En komt er inderdaad uit dat $f(1)=4$? Door dit te controleren weet je zeker dat je het juiste antwoord hebt gevonden. Werkwijze: De algemene vergelijking van een rechte lijn is $y=ax+b$. Voor de raaklijn aan $f$ in het snijpunt $P$ met de $y$-as geldt $a=f'(0)$.(1) Bepaal de helling van raaklijn $k$ in het punt $P$.$f'(x)=3x^2+2x-16$$a=f'(0)=3\cdot 0^2+2\cdot 0-16=-16$(2) Stel de vergelijking van raaklijn $k$ op:Er geldt: $y=-16x+b$ en lijn $k$ gaat door $P(0, f(0))=(0, -16)$Dus er moet gelden: $b=-16$(3) Dus $k:y=-16x-16$De algemene vergelijking van een rechte lijn is $y=ax+b$. Voor de raaklijn aan $f$ in het snijpunt $Q$ met de $x$-as moet eerst het snijpunt met de $x$-as worden bepaald. (1) Bepaal het snijpunt van $f$ met de $x$-as. Los op: $f(x)=0$.$f(x)=0$$(x+1)(x^2-16)=0$Schijf om tot: $(x+1)(x+4)(x-4)=0$. Dat geeft snijpunten met de $x$-as voor $x=-4$, $x=-1$ en $x=4$. (Alternatief mag je ook stellen dat $(x+1)+0 \vee (x^2-16)=0$. Verder oplossen geeft dan dezelfde snijpunten).Uit de gegeven grafiek volgt dat $x=4$ de $x$-coördinaat is die hoort bij $Q$ (want $Q$ ligt op de positieve $x$-as). Dus $Q(4, 0)$(2) Bepaal de helling van raaklijn $l$ in het punt $Q$. $f'(x)=3x^2+2x-16$Invullen geeft $a=f'(4)=3\cdot 4^2+2\cdot 4-16=40$(3) Stel de vergelijking van raaklijn $l$ op:Er geldt: $y=40x+b$Lijn $l$ gaat door $Q(4,  0)$Er moet gelden: $0=40\cdot 4+b$, dus $b=-160$(4) Dus $l:y=40x-160$. Om evenwijdig te zijn, moeten lijnen dezelfde helling hebben. Dat is hier dus de helling van lijn kkk, en die vinden we via de afgeleide: k’(x)=1k’(x) = 1k’(x)=1.Dat geeft de volgende werkwijze: (1) stel eerst de vergelijking van afgeleide functie op, (2) bereken bij welke xxx de afgeleide gelijk is aan 111, (3) vul de gevonden xxx in bij fff om de yyy-coördinaten van de raakpunten te vinden.(1) De functie fff is een gebroken functie, dus gebruik de quotiëntregel.Teller is 222, dus afgeleide teller is 000Noemer is 8x−28x-28x−2, dus afgeleide noemer is 888Invullen in [tn]‘=nat−tann2[\frac{t}{n}] ‘ = \frac{nat-tan}{n^2}[nt​]‘=n2nat−tan​ geeft:(8x−2)⋅0−2⋅8(8x−2)2\frac{(8x-2) \cdot 0 - 2 \cdot 8}{(8x-2)^2}(8x−2)2(8x−2)⋅0−2⋅8​=−16(8x−2)2= \frac{-16}{(8x-2)^2}=(8x−2)2−16​Dus f’(x)=−−16(8x−2)2=16(8x−2)2f’(x) = -\frac{-16}{(8x-2)^2} = \frac{16}{(8x-2)^2}f’(x)=−(8x−2)2−16​=(8x−2)216​. (2) Afgeleide gelijkstellen aan 111 geeft:16(8x−2)2=1\frac{16}{(8x-2)^2}=1(8x−2)216​=1. Nu de breuk wegwerken door te vermenigvuldigen met de noemer:16=1⋅(8x−2)216 = 1 \cdot (8x-2)^216=1⋅(8x−2)216=(8x−2)216 = (8x-2)^216=(8x−2)2. Je kunt nu de haakjes uitwerken, maar mag ook direct de wortel trekken om de vergelijking op te lossen. Let daarbij op de tweede oplossing:8x−2=4∨8x−2=−48x-2 = 4 \vee 8x-2 = -48x−2=4∨8x−2=−48x=6∨8x=−28x = 6 \vee 8x = -28x=6∨8x=−2x=34∨x=−14x=\frac{3}{4} \vee x=-\frac{1}{4}x=43​∨x=−41​(3) De yyy-coördinaten vinden:x=34x=\frac{3}{4}x=43​ geeft y=f(34)=5−28⋅34−2=5−26−2=5−24=412y = f(\frac{3}{4}) = 5-\frac{2}{8 \cdot \frac{3}{4}-2} = 5 - \frac{2}{6-2} = 5-\frac{2}{4} = 4\frac{1}{2}y=f(43​)=5−8⋅43​−22​=5−6−22​=5−42​=421​. Dus A(34,412)A(\frac{3}{4}, 4\frac{1}{2})A(43​,421​).x=−14x=-\frac{1}{4}x=−41​ geeft y=f(−14)=5−28⋅−14−2=5−2−2−2=5−2−4=512y = f(-\frac{1}{4}) = 5-\frac{2}{8 \cdot -\frac{1}{4}-2} = 5 - \frac{2}{-2-2} = 5-\frac{2}{-4} = 5\frac{1}{2}y=f(−41​)=5−8⋅−41​−22​=5−−2−22​=5−−42​=521​. Dus B(−14,512)B(-\frac{1}{4}, 5\frac{1}{2})B(−41​,521​).