Moderne Wiskunde A 12e ed/FLEX deel 1 - Hoofdstuk 1 - Rekenen oefentoetsen & antwoorden

Bij optellen en aftrekken: noemers gelijknamig makenBij vermenigvuldigen: teller keer teller en noemer keer noemerBij delen: delen door een breuk is vermenigvuldigen met het omgekeerdeDit is $3$ minuten en $12 \frac{45}{100}$ seconden.Dit is $2,567\cdot 10^{-4}=0,0002567$. Om $a$te berekenen doen we: $16\cdot 18=25\cdot a$ (kruislings vermenigvuldigen)Oftewel $288=25a$Links en rechts delen door $25$ geeft $a=\frac{288}{25} \approx 11,52$ Om $b$ te berekenen doen we:$23\cdot 25 = 16 \cdot b$ Oftewel $575=16b$ Links en rechts delen door $16$ geeft $b=\frac{575}{16} \approx 35,94$Om $c$ te berekenen doen we:$31\cdot 16=25\cdot c$ Oftewel $496=25c$ Links en rechts delen door $25$ geeft $c=\frac{496}{25}=\approx 19,84$ Eerst de helen in de breuk brengen: $\frac{4}{3}\cdot \frac{13}{5}$  Teller keer teller en noemer keer noemer $ \frac{4}{3}\cdot \frac{13}{5}=\frac{52}{15}$ Helen er weer uithalen: $\frac{52}{15} = 3\frac{7}{15}$ Eerst helen in de breuk brengen: $\frac{8}{3} + \frac{17}{7}$ Dan gelijknamig maken en optellen: $\frac{7}{7}\cdot \frac{8}{3}+ \frac{17}{7}\cdot \frac{3}{3} = \frac{56}{21}+\frac{51}{21}$Helen eruit halen: $\frac{107}{21}=5\frac{2}{21}$ Eerst helen in de breuk brengen: $\frac{11}{3}=\frac{37}{9}$  Dan gelijknamig maken en optellen: $\frac{3}{3}\cdot \frac{11}{3}+ \frac{37}{9} = \frac{33}{9}+\frac{37}{9}=\frac{70}{9}$ Helen eruit halen: $\frac{70}{9}=7\frac{7}{9} $Delen door een breuk is vermenigvuldigen met het omgekeerde:$\frac{\frac{1}{9}}{\frac{2}{7}}=$\frac{1}{9}\cdot \frac{7}{2}=\frac{7}{18}$$\left (\frac{5}{12}  \right )^2=\frac{5}{12} \cdot \frac{5}{12}=\frac{25}{144}$Eerst het deel tussen de haakjes berekenen. Dan de helen in de breuk halen:$2\frac{3}{4}+\frac{7}{12} = \frac{11}{4}+\frac{7}{12}=\frac{33}{12}+\frac{7}{12} =\frac{40}{12}$Nu vermenigvuldigen:$3\frac{1}{6} \cdot \left (2\frac{3}{4}+\frac{7}{12}\right ) =\frac{19}{6}\cdot \frac{40}{12}=\frac{760}{72}=10\frac{40}{72}=10\frac{5}{9}$  $\frac{1}{6}=0,166…$$3+\frac{1}{6}=3,1666…$ $\frac{2}{11}=2\cdot 0,0909…=0,1818…$ $5+\frac{2}{11}=5,1818…$  $1,011=1+\frac{11}{1000}=1\frac{11}{1000}$  $2,650=2+\frac{65}{100}=2\frac{65}{100}=2\frac{13}{20}$. Als de prijs €2100 bedraagt en dit is zonder btw, dan komt er bij het totale bedrag $(100%)$ nog eens $21%$ bij. Samen wordt het nieuwe bedrag $121%$.We maken een verhoudingstabel: prijs€2100?percentage$100%$$121%$We berekenen nu het bedrag door kruislings te vermenigvuldigen: $2100 \cdot 121= 100\cdot ?$.Dit geeft $?= \frac{2100 \cdot 121}{100}=2541$. Nu nog de $10%$ korting. We maken weer een verhoudingstabel:prijs€2541?percentage$100%$$90%$We berekenen nu het bedrag: $2541 \cdot 90= 100\cdot ?$.Dit geeft $?= \frac{2541 \cdot 90}{100}=2286,90$. Alternatief: Hier kan ook met groeifactoren worden gerekend: $2100\cdot 1,21\cdot 0,9=2286,90$  Als de prijs €2100 bedraagt en de korting van $10%$ moet er eerst af, dan is het bedrag na korting $2100 \cdot 0,9=1890$.  Dit is zonder btw, dus berekenen we het bedrag met btw dan komt er bij het totale bedrag $(100%)$ nog eens $21%$ bij. Samen wordt het nieuwe bedrag $121%$.We maken een verhoudingstabel: prijs€1890?percentage$100%$$121%$We berekenen nu het bedrag door kruislings te vermenigvuldigen: $1890 \cdot 121= 100\cdot ?$.Dit geeft $?= \frac{1890 \cdot 12}{100}=2286,90$. Beide bedragen zijn dus gelijk.Alternatief: met groeifactoren wordt het bedrag $2100\cdot 0,9 \cdot 1,21=2286,90$. MarathonlopenDe nieuwe sportpresentator is een wiskundige. Hij  zegt tijdens de uitzending dat een marathonloper de marathon ($42$ km en $195$ m) in $2,15$ uur loopt. (§1.3)Bereken de tijd van de marathonloper in minuten nauwkeurig.  Bereken zijn gemiddelde snelheid in m/s.Uitwerking: $0,15$ uur kunnen we omrekenen naar minuten met behulp van een kruistabel$1$ uur$60$ minuten$0,15$ uur? minutenWe kunnen nu kruislings vermenigvuldigen:             $60\times 0,15=1 \cdot ?$ Het gevraagde aantal minuten is nu $9$, dus $2$ uur en $9$ minuten.  De marathonloper legt $42195$ meter af in $2$ uur en $9$ minuten$2$ uur is $2\cdot 3600=7200$ sec $9$ minuten zijn $540$ secSamen is dit $7740$ sec.Delen we dit door elkaar dan $\frac{42195}{7740}=5,45$ m/s  De tabel voor formule 1 is:$x$1348$y$6121527Voor een verhoudingstabel geldt dat als de ene variabele $a$ keer zo groot wordt, dat de andere variabele ook $a$ keer zo groot moet worden. Als voor twee kolommen dit niet waar is, is er geen sprake van een verhoudingstabel. Neem twee willekeurige kolommen, bv de derde en de vierde.Er geldt niet dat $3\cdot 15=4 \cdot 12$, dus dit is geen verhoudingstabel (we hoeven de rest niet te controleren).De tabel voor formule 2 is:$x$1348$y$327816561Neem twee willekeurige kolommen, bv de derde en de vierde.Er geldt niet dat  $3\cdot 71=4 \cdot 27$, dus dit is geen verhoudingstabel.De tabel voor formule 3 is:$x$1348$y$391224Neem twee willekeurige kolommen, bv de derde en de vierde.Er geldt dat $3\cdot 12=4 \cdot 9$.We moeten nu ook de andere kolommen controleren, dus bijvoorbeeld de tweede en de derde $1\cdot 9=3 \cdot 3$, en de vierde en de vijfde $4\cdot 24=8 \cdot 12$Conclusie: dit is een verhoudingstabel.  Er wonen 261332352261332352261332352 mensen in Azië waarvan een derde deel in Zuid-Oost Azië. Dat zijn er 261332352⋅13261332352 \cdot \frac{1}{3}261332352⋅31​. We hoeven dit aantal niet tussendoor uit te rekenen.Van dit aantal woont een zesde deel op een eiland. Dit is dus een zesde van 261332352⋅13261332352 \cdot \frac{1}{3}261332352⋅31​, oftwel 261332352⋅13⋅16261332352 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{6}261332352⋅31​⋅61​Van dit aantal dat op een eiland in Zuid-Oost Azie woont, woont een vierde deel in de grote stad. DIt is een vierde deel van 261332352⋅13⋅16261332352 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{6}261332352⋅31​⋅61​, oftewel 261332352⋅13⋅16⋅14261332352 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{6}\cdot \frac{1}{4}261332352⋅31​⋅61​⋅41​.Op dezelfde manier verder redenerend, hebben we x=261332352⋅13⋅16⋅14⋅12⋅110⋅112=151234x= 261332352 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{6}\cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{10} \cdot \frac{1}{12}=151234x=261332352⋅31​⋅61​⋅41​⋅21​⋅101​⋅121​=151234. In 1981 had $4\%$ van $5056000$ mannen obesitas, dat is $0,04\cdot 5056000=202240$In 2004 had $10\%$ van $6211000$ mannen obesitas, dat is $0,10\cdot 6211000=621100$Het gevraagde percentage is $\frac{621100-202240}{202240}\cdot 100\% \approx 207\%$        Alternatief: We kunnen de twee eerste stappen ook berekenen met een verhoudingstabel. Hier laten we de alleen de eerste stap zien (hetzelfde geldt voor vraag b).aantal in 1981$5056000$  (mannen)?     (mannen met obesitas)percentage$100%$$4%$We kunnen nu het aantal mannen met obesitas berekenen door kruislings te vermenigvuldigen: $5056000\cdot 4= 100 \cdot ? $.Dit geeft $?=202240$ In 1981 had $4\%$ van $5056000$ mannen obesitas, dat is $0,04\cdot 5056000=202240$In 1981 had $6\%$ van $5033000$ vrouwen obesitas, dat is $0,06\cdot 5033000=301980$Er zijn dan in totaal $202240+301980=504220$ volwassenen met obesitasIn totaal zijn er $5056000+5033000=10089000$ volwassenenHet percentage is gelijk aan ongeveer $\frac{504220}{10089000} \cdot 100 \approx 5,0\%$.  In totaal fiets hij $50$ km in $2$ uur en $35$ minuten.$35$ minuten is $\frac{35}{60}$  uurZijn gemiddelde snelheid is $\frac{50}{2\frac{35}{60}}=19,35$ km/u Op de heenweg duurt de reis $\frac{25}{22}=1,13636…$ uurOp de terugweg duurt de reis $\frac{25}{24}=1,04166…$ uurIn totaal duurt de reis $2,1780303…$ uur Hij legt $50$ km af in $2,1780303…$ uurZijn gemiddelde is $\frac{50}{2,1780303…}=22,9565…$ km/uurOmrekenen naar m/s is delen door $3,6$ en dit geeft $6,38$ m/s. $1$ $mm$ is gelijk aan $0,001$ $m$ dus de oppervlakte is $0,001 \cdot 0,001=0,000001$ $m^2$ en dit is gelijk aan $1\cdot 10^{-6}$ $m^2$.De oppervlakte van het voetbalveld is $ 100m \cdot 50m=5000m^2$.Er passen $\frac{5000}{0,000001}= 5000000000$  stukjes papier op het voetbalveld.Dit is in standaardvorm:  $5 \cdot 10^{9}$.