Moderne Wiskunde A 12e ed/FLEX deel 1 - Hoofdstuk 2 - Verbanden oefentoetsen & antwoorden

De algemene formule van een lineaire formule is $y=ax+b$. Hierin is $a$ de richtingscoëfficiënt en $b$ het snijpunt met de y-as.De algemene formule van een evenredige formule is $y=ax$. Het is een speciaal geval van een lineaire formule: namelijk waarin $b=0$. Dit betekent dat het snijpunt met de y-as gelijk is aan nul, oftewel, de lijn gaat door de oorsprong.  De algemene formule van een omgekeerd evenredige formule is $y=\frac{a}{x}$. Hierin is $a$ een constante. De grafiek is geen rechte lijn maar een kromme. Er zijn drie soorten stijgingen: toenemend, constant en afnemend.Er zijn drie soorten dalingen: toenemend, constant en afnemend. De grafiek van $g(x)$ is niet stijgend en niet dalend. De functie f heeft twee toppen: een maximum bij (0,4) en een minimum bij (2,0). De functie g heeft geen top. (Omdat de grafiek hier al gegeven is, mag je de antwoorden aflezen en hoef je deze niet te berekenen). Werk eerst de haakjes weg: $2x - 8 - x + 10 = 4x + 4$Breng nu alles met een $x$ naar links en de rest naar rechts $-3x = 2$Deel nu links en rechts door $-3$: $x = \frac{-2}{3}$Werk eerst de breuken weg door alle termen keer $4$ te doen: $4 \cdot (\frac{1}{2} (3x - 4)) = 4 \cdot ( \frac{1}{4} ( 80 - 5x))$Dit geeft $2 \cdot (3x - 4) = 1 \cdot (80 - 5x)$Haakjes wegwerken: $6x - 8 = 80 - 5x$Alle termen met een $x$ naar links en de rest naar rechts: $11x = 88$Deel nu links en rechts door $11$: $x = \frac{88}{11} = 8$ (Je kunt ook eerst de haakjes wegwerken en dan de breuken) Om de lineaire formule op te stellen doorlopen we het volgende stappenplan. Stap 1. Schrijf $y = ax + b$Stap 2. Bereken de richtingscoëfficiënt $a$ met de formule $a = \frac{\triangle y}{\triangle x}$, waarin $\triangle y$ de toename is in de tweede coördinaat (de $y$) en $\triangle x$ de toename is in de eerste coördinaat (de $x$).Stap 3. Vul deze $a$ in in de algemene formule van stap 1.Stap 4. Bereken $b$ door een van de punten in te vullen.Stap 5. Schrijf de formule op.We zullen nu de stappen uitwerken:Stap 1. $y = ax + b$Stap 2. $a = \frac{4 - 24}{6 - 2} = \frac{-20}{4} = -5$Stap 3. $y = -5x + b$Stap 4. Neem bijvoorbeeld het punt $B(6,4)$ en vul dit in in de formule: $4 = -5 \cdot 6 + b$. Hieruit volgt dat $4 = -30 + b$ ofwel $b = 34$Stap 5. $y = -5x + 34$Tip: Je kunt nu je antwoord controleren door het andere punt in te vullen en te kijken of het klopt. Werk eerst de haakjes weg: $5(a-1)+2c=10$ wordt $5a-5+2c=10$Links en rechts $+5$: $5a+2c=5$Links en rechts $-5a$: $2c=10-5a$Links en rechts delen door $2$: $c=5-2\frac{1}{2}a$Vul voor elke $t$ die je tegenkomt in de formule $s=2(t-1) + 5t$ de uitdrukking $4r+9$ in (denk aan de haakjes):  $s=2((4r+9)-1) + 5(4r+9)$Werk de haakjes weg: $s=2(4r+8) + 5(4r+9)$ en verder herleid:  $s=8r+16 + 20r+45$Verder herleiden geeft $s=28r+61$. In je GR: Invoer: $y_1 = 2x^3 - 4x^2 + 5$Venster: $-4 \leq x \leq 4$ en $-4 \leq y \leq 12$Opties: maximum en minimumDe coördinaten van de toppen zijn: maximum $(0,5)$ en minimum $(.,82; 3.80)$In je GR: Invoer: $y_1 = 2x^3 - 4x^2 + 5$, $y_2 = 3x +4$ Venster: $-4 \leq x \leq 4$ en $-4 \leq y \leq 12$Opties: snijpuntenDat geeft: de coördinaten van de snijpunten zijn: $(-0.77; 1.68)$, $(0.26;4.77)$ en $(2.52;11.55)$De grafieken van $f$ en $g$ zijn al gegeven en de snijpunten zijn al bepaald. We kunnen nu aflezen: $f(x) \geq g(x)$ voor $-0.77 \leq x \leq 0.26$ en $x \geq 2.52$. Noem $k$ de kosten en noem $t$ het aantal shirts Dit is een voorbeeld van een evenredige formule; als het aantal gekochte t-shirts $2$ keer zo groot wordt, nemen de kosten ook $2$ keer toeEr geldt dan dat $k=a\cdot t$ met $a=125$. De formule is $k=1,25t$.      b.Als alleen de coach komt dan moet hij $120$ pizza’s zelf opetenKomt zijn zoon ook, dan eten ze allebei $60$ pizza’sHoe meer gasten, hoe minder pizza’s per persoon, dus dit is een voorbeeld van een omgekeerd evenredige formule. Noem $P$het aantal pizza’s per persoon en $g$ het aantal gastenDan geldt $P=\frac{a}{g}$ met $a=120$.De formule is $P=\frac{120}{g}$. Om a en b te berekenen doorlopen we het volgende stappenplan. Stap 1. Lees 2 punten af op de grafiek.Stap 2. Bereken de richtingscoëfficiënt $a$ met de formule $a=\frac{\Delta A}{\Delta t}$ waarin $\Delta y$ de toename is in de tweede coördinaat (de y) en $\Delta x$ de toename is in de eerste coördinaat (de x).Stap 3. Vul deze  $a$in in in de formule $A=at+b$. Stap 4. Bereken $b$ door een van de punten in te vullen.We zullen nu de stappen uitwerken:Stap 1. Lees 2 punten af: bijvoorbeeld bij $t=$ is $A=91$ bij $t=12$ is $A=82$. Stap 2.  $a=\frac{\Delta A}{\Delta t}=\frac{82-91}{12-2}=\frac{-9}{10}= -0,9$Stap 3.  $A=-0,9t+b$Stap 4. Neem bijvoorbeeld het punt (2,91) en vul dit in in de formule: $91=-0,9\cdot 2+b$. Hieruit volgt dat $91=-1,8+b$ ofwel $b=92,8$. Stap 5. $A=-0,9t+92,8$Je kunt nu je antwoord controleren door het andere punt in te vullen en te kijken of het klopt.Let op: je moet zo nauwkeurig mogelijk aflezen, maar je mag er een bepaald  percentage naast zitten. Zo is bijvoorbeeld bij $t=2$ is $A=90,5$ ook goed. Ten hoogste betekent dat dat het maximale bedrag is; alle bedragen zijn dus lager. De formule bevat de variabele $x$: schadebedragen lager dan of gelijk aan $x$ euro. Dus in dit geval is $x=100000$.We vullen$x=100000$ in de formule in. Dat geeft: $P = 100 - 100 \cdot (\frac{50000}{100000})^{1.77}$ Er volgt dat $P = 70.7$% Het percentage moet gelijk zijn aan $75$, dus los de volgende vergelijking op: $75 = 100 - 100 \cdot (\frac{50000}{x})^{1.77}$Doe dit met je grafische rekenmachine: Invoer: $y_1 = 100 - 100 \cdot (\frac{50000}{x})^{1.77}$ en $y_2 = 75$Venster: $0 \leq x \leq 200000$ en $0 \leq y \leq 100$Plot de grafieken en gebruik optie Snijpunten. Dat geeft: $x = 109425$Conclusie: Het bedrag is € $109425$.De $P$’s in beide formules stellen hetzelfde voor. We stellen ze aan elkaar gelijk: $100-100\cdot (\frac{50000}{x})^{1,77}=100-100\cdot (\frac{71396}{y}) ^{1,77}$Haal aan beide kanten $100$ af en deel links en rechts door $-100$We houden over: $(\frac{50000}{x}) ^{1,77}=(\frac{71396}{y}) ^{1,77}$. Dit is aan elkaar gelijk als  $\frac{50000}{x}=\frac{71396}{y}$.Kruislings vermenigvuldigen geeft $50000\cdot y=71396 \cdot x$ Links en rechts delen door 50000: $y=\frac{71396}{50000} \cdot x$Er is dus een evenredig verband. Het getal $a=\frac{71396}{50000} \approx 1,43$ geeft aan hoeveel dollar je moet betalen voor 1 euro. De inhoud is in deze opgave gelijk aan 1 liter (merk op $1 \, liter = 1 dm^3$ en $r$ en $h$ zijn ook beiden uitgedrukt in dm) en dus $I = 1 = \pi r^2 h$.We kunnen nu $h$ uitdrukken in $r$ door links en rechts te delen door $\pi r^2h$. We krijgen dan: $h = \frac{1}{\pi r ^2}$.Dan kunnen we de oppervlakte schrijven als (substitueer de formule voor $h$ in de formule voor de oppervlakte $O$ van opgave b). $O = 2 \pi r^2 + 2 \pi r h = 2 \pi r^2 + 2 \pi r \cdot \frac{1}{\pi r^2} = 2 \pi r^2 + \frac{2}{r}$      b.               Om het minimum van deze oppervlakte te bepalen moeten we de formule in de GR zetten en de optie minimum kiezen.Invoer $y_1 = 2 \pi x^2 + \frac{2}{x}$Venster: $0 \leq x \leq 2$ en $0 \leq y \leq 20$Opties: minimumDe coördinaten van het minimum zijn: $(0.54; 5.54)$ Conclusie: De minimale hoeveelheid is nu $5.54 \, dm^2$ (omdat alles is uitgedrukt in dm)      c. De straal is gelijk aan de x-coördinaat van vraag b: 0,54 dmDe hoogte krijgen we door de straal in te vullen in de formule  $h=\frac{1}{\pi r^2}$. Dit geeft $h=\frac{1}{\pi 0,54^2}=1,09$ dm. Conclusie: de afmetingen zijn $h=1,09$ dm en $r=0,54$ dm.  De grafiek van de roofdieren is dalend op het interval tussen $t= 3,5$ en $t= 8,5$ en verderop weer tussen  $t=13,5$ en $t= 18,5$.De top zit bij $t=3,5$ en het dal bij $8,5$. Het middel van deze punten zit bij $t=6$.In het begin van die daling, vanaf de top tot aan het midden van de top en het dal,  neemt die daling toe, na dat midden neemt de daling weer af.De grafiek van de roofdieren is toenemend dalend tussen $t= 3,5$ en $t=6$ en verderop weer tussen $t=13,5$ en $t= 16$. Er zijn drie stappen:Stap 1. Plot de grafieken van $P_1$ en $P_2$. Stap 2. Bereken de coördinaten van de snijpunten.Stap 3. Ga met behulp van de grafieken na voor welke x de ongelijkheid geldt.We werken nu de stappen uit.Stap 1: Invoer: $y_1=100\cdot (1-0,72^x)$ en $y_2=100-(46t+90)\cdot 0,55^t$ Venster:  $0 \leq x\leq 10$ en  $0 \leq y\leq 110$Stap 2: Opties snijpunten: $x=3,2$ en $x=0,6$. Dit zijn de snijpunten van de twee grafieken.Stap 3: Aflezen voor welke waarden van $x$ geldt dat $P_1\geq P_2$. Dit is voor $0,6 \leq x\leq 3,2$. De oorspronkelijke formule bevat geen $x$ maar een $t$.Conclusie: voor $0,6 \leq t\leq 3,2$ is $P_1\geq P_2$.