Moderne Wiskunde B 12e ed/FLEX deel 1 - Hoofdstuk 2 - Machtsfuncties oefentoetsen & antwoorden

$x^{-n} = \frac{1}{x^n}$. Indien $x = 0$ dan staat in de noemer het getal $0$ (en delen door $0$ kan niet).Er geldt: $g^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{g^m}$ indien $m \geq 0$ en $n > 0$.Toelichting: Om de regel toe te passen moet $m \geq 0$ en $n > 0$. Stel dat je een macht met een negatieve breuk hebt als exponent, gebruik dan eerst de regel dat $g^{-p} = \frac{1}{g^p}$. $g^{\frac{m}{n}} = \frac{1}{g^{\frac{m}{n}}}$ met $m \geq 0$ en $n>0$.Dus: $g^{- \frac{m}{n}} =  \frac{1}{g^{\frac{m}{n}}} = \frac{1}{\sqrt[n]{g^m}}$  $(2x^3)^3$Herschrijf de macht als een product van steeds hetzelfde getal:$= 2x^3 \cdot 2x^3 \cdot 2x^3$De volgorde van vermenigvuldiging mag worden veranderd:$= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot x^3 \cdot x^3 \cdot x^3$Herschrijf $x^3 = x \cdot x \cdot x$:$= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x$Herschrijf $2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3$ en $x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x = x^9$:$= 2^3 \cdot x^9$$2^3 = 8$, vereenvoudig:$= 8x^9$Dus: $(2x^3)^3 = 8x^9$Opmerkingen:Bovenstaande uitwerking is veel uitgebreider dan nodig is bij het maken van een toets. Bekijk deze goed en zorg dat je de stappen begrijpt. Op een toets hoef je de uitwerking niet zo uitgebreid op te schrijven. Het gaat sneller als je de regels $(g^a)^b = g^{ab}$ en $(p \cdot q)^a = p^a \cdot q^a$ toepast.Voor het begrip is het goed om bij het oefenen een aantal keren de uitwerking uitgebreid op te schrijven. Je kunt dan tijdens het maken van een toets hierop teruggrijpen als je niet meer precies weet wat de regel precies is.Een verkorte uitwerking met toepassing van de genoemde rekenregels is: $(2x^3)^3 = 2^3 \cdot (x^3)^3 = 8x^9$, ga dat na!$\frac{-5}{2a^{-3}}$Schrijf als negatieve macht met behulp van $g^{-n} = \frac{1}{g^n}$: $= \frac{-5}{2 \cdot \frac{1}{a^{-3}}}$Vermenigvuldig teller en noemer met $a^3$: $= \frac{-5}{2 \cdot \frac{1}{a^3}} \cdot \frac{a^3}{a^3}$$ = \frac{-5a^3}{2}$Werk verder uit: $= -2 \frac{1}{2} a^3$Dus: $\frac{-5}{2a^{-3}} = - 2 \frac{1}{2} a^3$. $x^4 \cdot \sqrt[3]{x}$Met behulp van $g^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{g^m}$:$= x^4 \cdot x^{\frac{1}{3}}$Met behulp van $g^a \cdot g^b = g^{a + b}$$= x^{4 + \frac{1}{3}} = x^{4 \frac{1}{3}}$Dus $x^4 \cdot \sqrt[3]{x} = x^{4 \frac{1}{3}}$$(x^2)^{\frac{2}{9}}$Met behulp van $(g^a)^b = g^{ab}$:$= x^{2 \cdot \frac{2}{9}} = x^{\frac{4}{9}}$Met behulp van $g^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{g^m}$:$= \sqrt[9]{x^4}$Dus: $(x^2)^{\frac{2}{9}} = \sqrt[9]{x^4}$ Een lineaire functie heeft als grafiek een rechte lijn. Alleen grafiek $II$ heeft de vorm van een rechte lijnIndien $p = 1$, geldt $f_1 (x) = c \cdot x^1 = cx$. Een lineaire functie is, heeft als algemene vergelijking $y = ax + b$. Neem $a = c$ en $b=0$, dan is deze vergelijking gelijk aan de vergelijking van $f_1 (x)$. Een negatieve exponent wil zeggen dat geldt $p < 0$. Dan geldt $f_p (x) = \frac{1}{x^{-p}}$. Merk op dat geldt: $-p > 0$. Voor toenemende waarden van $x$ wordt $f_p (x) = \frac{1}{x^{-p}}$ steeds kleiner.Dit komt overeen met grafiek $IV$.Een minder abstracte redenering is met behulp van een voorbeeld met een negatieve exponent. Neem bijvoorbeeld $p = -5$. $f_{-5} (x) = x^{-5} = \frac{1}{x^5}$Hier is $p = -5 < 0$, dus $-p = 5 > 0$. Voor toenemende waarden van $x$ wordt $f_{-5} (x) = x^{-5} = \frac{1}{x^5}$ steeds kleiner.Dit komt overeen met grafiek $IV$. Voor $p = 1$ geldt $f_p (x)$ is een lineaire functie.Voor $0 < p < 1$ geldt dat $f_p (x)$ een wortelfunctie is. De grafiek van $f_p (x)$ met $0 < p < 1$ is dan minder stijgend als de grafiek van $f_p (x)$ met $p = 1$.Dit komt overeen met grafiek $III$.   Lees af uit de figuur: voor elk van de vier getekende grafieken geldt $f_p (1) = 2 \frac{1}{2}$.Er geldt: $f_p (1) = c \cdot 1^p = c \cdot 1 = c$.Dus: $c = 2 \frac{1}{2}$. Links en rechts $25$ aftrekken.$x^4 = 81$De macht is $4$, een even getal, dus er zijn twee oplossingen. $x = -\sqrt[4]{81} \vee x = \sqrt[4][{81}$$x=-3 \vee x=3$Dus twee oplossingen:  $x=-3 \vee x=3$.Links en rechts $+40$.$\large 2x^{\frac{2}{3}}= 128$Links en rechts delen door $2$.$\large x^{\frac{2}{3}}=64$Nu kun je links en rechts tot de macht $\frac{3}{2}$ doen om de macht links weg te werken. (Eerst tot de macht $3$ en daarna worteltrekken geeft hetzelfde resultaat).$\large (x^{\frac{2}{3}})^{\frac{3}{2}}=64^{\frac{3}{2}}$$\large x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = 64^{\frac{3}{2}}$ (gebruik de rekenregel $(g^a)^b = g^{ab}$Dat geeft: $\large x = 64^{\frac{3}{2}} = (\sqrt{64})^3 = 8^3 = 512$. Met toepassing van $(p \cdot q)^a = p^a \cdot q^a$ volgt:$\large \frac{14x^2 \cdot (2x^3)^4}{32(-x^3)^3} = \frac{14x^2 \cdot 2^4(x^3)^4}{32(-1)^3(x^3)^3}$Gebruik nu $(g^a)^b = g^{ab}$ (en we herschikken de termen):$ \large = \frac{14 \cdot 2^4 \cdot x^2 \cdot x^{3 \cdot 4}}{32(-1)^3x^9} = \frac{14 \cdot 2^4 \cdot x^2 \cdot x^{12}}{32(-1)^3x^9}$Met toepassing van $g^a \cdot g^b = g^{a+b}$ en het vermenigvuldigen van de getallen:$\large = \frac{14 \cdot 2^4 \cdot x^{2+12}}{32(-1)^3x^9} = \frac{14 \cdot 16 \cdot x^{14}}{32\cdot -1\cdot x^9}=\frac{224x^{14}}{-32x^9}$Gebruik nu de regel $\frac{g^a}{g^b} = g^{a-b}$:$\large = \frac{224x^{14}}{-32x^9} = \frac{224}{-32}\cdot x^{14-9} = -7x^5$. Schrijf de wortel als een macht met behulp van $g^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{g^m}$ (als $g>0$):$\large p^3 \cdot \sqrt[4]{p^5} \cdot \sqrt{p} = p^3 \cdot p^{\frac{5}{4}} \cdot p^{\frac{1}{2}}$Gebruik de rekenregel $g^a \cdot g^b = g^{a+b}$:$\large p^3 \cdot p^{\frac{5}{4}} \cdot p^{\frac{1}{2}} = p^{3+\frac{5}{4}+\frac{1}{2}} = p^{4\frac{3}{4}}$Dat vereenvoudigen tot:$\large p^{4\frac{3}{4}} = p^4 \cdot p^{\frac{3}{4}}$En de gebroken exponent naar een wortel omschrijven met behulp van $g^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{g^m}$:$\large p^4 \cdot p^{\frac{3}{4}} = p^4 \sqrt[4]{p^3}$. Schrijf de wortel als macht met de regel $g^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{g^m}$:$\large \frac{(x^3)^2}{x^5 \cdot (\sqrt[3]{x^2})^4} = \frac{(x^3)^2}{x^5 \cdot (x^{\frac{2}{3}})^4}$Werk de haakjes uit met $(g^a)^b = g^{ab}$:$\large = \frac{x^{3 \cdot 2}}{x^5 \cdot x^{\frac{2}{3} \cdot 4}} = \frac{x^6}{x^5 \cdot x^{\frac{8}{3}}}$Gebruik $g^a \cdot g^b = g^{a+b}$$\large = \frac{x^6}{x^{5+\frac{8}{3}}} = \frac{x^3}{x^{7\frac{2}{3}}}$Nu naar één macht met $\frac{g^a}{g^b} = g^{a-b}$:$\large = x^{6-7\frac{2}{3}}=x^{-1\frac{2}{3}}$Schrijf zonder negatieve macht met behulp van de regel $g^{-n} = \frac{1}{g^n}$: $\large = \frac{1}{x^{1\frac{2}{3}}}$ (vanuit de vorige stap had je hier ook in één keer naar toe mogen werken)Nu moet de breuk nog uit de macht. Daartoe eerst met $g^a \cdot g^b = g^{a+b}$:$\large = \frac{1}{x^1 \cdot x^{\frac{2}{3}}}$Laatste stap: de gebroken macht omschrijven tot een wortelfunctie met $g^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{g^m}$:$\large = \frac{1}{x \sqrt[3]{x^2}}$.   Schrijf eerst $f(x)$ zonder negatieve exponenten, dus maak er breuken van: $\large f(x) = a + \frac{1}{x-1} + \frac{a}{(x-1)^2}$Herleid dit tot één breuk (maak gelijknamig):$\large =  a\cdot \frac{(x-1)^2}{(x-1)^2} + \frac{1}{x-1} \cdot \frac{x-1}{x-1} + \frac{a}{(x-1)^2}$$\large = \frac{a(x-1)^2+(x-1)+a}{(x-1)^2}$$\large = \frac{a(x^2-2x+1)+x-1+a}{(x-1)^2}$$\large = \frac{ax^2 - 2ax + a +x-1+a}{(x-1)^2}$ $\large = \frac{ax^2+(1-2a)x+(2a-1)}{(x-1)^2}$Nu heb je het aangetoond: $\large f(x) = \frac{ax^2+(1-2a)x+(2a-1)}{(x-1)^2}$. Werkwijze: we bepalen eerst waar de snijpunten met de $x$-as zijn. Dan kunnen we de waarden van $a$ zoeken waarvoor er precies 2 snijpunten zijn.Snijpunten met de $x$-as zijn waar $f(x)=0$:$\large \frac{ax^2+(1-2a)x+(2a-1)}{(x-1)^2}=0$ (Tip: vaak als je bij opgave a iets moet aantonen, moet je dat daarna bij opgave b gebruiken. Hier is dat inderdaad het handigst, want de vergelijking wordt er veel eenvoudiger door. En je mag de aangetoonde formule ook gebruiken als opgave a niet was gelukt!)Voor zo’n vergelijking geldt: als $\frac{A}{B} = 0$, dan is $A=0$ en $B\neq 0$.Dus: $ax^2+(1-2a)x+(2a-1) = 0$ met $(x-1)^2\neq 0$, ofwel $x \neq 1$.We hebben nu een kwadratische vergelijking. Er moeten twee snijpunten zijn, dus twee oplossingen: dat betekent dat de discriminant $D>0$. Bepaal eerst de discriminant.$D = (1-2a)^2 - 4 \cdot a \cdot (2a-1)$$D = 4a^2 -4a +1 -8a^2+4a$$D = -4a^2 +1$$D>0$ stellen geeft:$-4a^2+1 > 0$$4a^2 <1$$a^2<\frac{1}{4}$$-\frac{1}{2} < a < \frac{1}{2}$ (Controleer dat dit klopt!)Dus er zijn twee snijpunten met de $x$-as voor $-\frac{1}{2} < a < \frac{1}{2}$. Werkwijze: bereken het energieverbruik bij zowel 12 m/s en 15 m/s. Bereken daarna het verschil in procenten.Bij $v=12$ is $D$: $D(12) = \frac{6,0}{12^2} + 0,00050 \cdot 12^2 - 0,033 \approx 0,08067$Bij $v=15$ is $D$: $D(15) = \frac{6,0}{15^2} + 0,00050 \cdot 15^2 -0,033 \approx 0,10617$Bereken het verschil: met de formule $\frac{nieuw \ - \ oud}{oud}$:Verschil: $\frac{D(15)-D(12)}{D(12)} = \frac{0,10617 - 0,08067}{0,08067} = 0,316$Dus een toename van $0,316 \times 100\% \approx 32\%$. Om de ongelijkheid op te lossen kijken we eerst waar het energieverbruik precies gelijk is aan 0,10.Dat geeft als vergelijking:$D(v) = 0,10$$\large \frac{6,0}{v^2} + 0,00050v^2 - 0,033=0,10$$\large \frac{6,0}{v^2} + 0,00050v^2 =0,133$ Vermenigvuldig nu met $v^2$ om de breuk op te lossen, en vereenvoudig:$6,0 + 0,00050 v^4 = 0,133v^2$$6,0 + 0,00050 v^4 -0,133v^2 = 0$$v^4 - 266v^2 +12000 = 0$Deze vergelijking kunnen we oplossen door er een kwadratische vergelijking van te maken. Dat doen we door te stellen $v^2 = u$:$u^2 - 266u +12000 = 0$ Met de abc-formule: $u = \frac{266 \pm \sqrt{266^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12000}}{2} = v^2$Uitwerken geeft:$v^2 \approx 57,57 \vee v^2 \approx 208,4$$v \approx 7,59 \vee v \approx 14,4$ (de snelheden kleiner dan 0 voldoen niet!)Los nu op: $D(v) < 0,10$Je kunt aflezen uit de gegeven grafiek dat dit is voor waardes tussen $v \approx 7,59$ en $v \approx 14,4$, oftewel $7,59 < v < 14,4$. Alternatief: Uit opgave a blijkt dat $D(12) \approx 0,08067 < 0,10$ en $D(15) \approx 0,10617 > 0,10$, dus $7,59 < v < 14,4$. Conclusie: De parkiet kan heel lang blijven vliegen als $7,59 < v < 14,4$.