Pulsar Natuurkunde 3e ed - Hoofdstuk 2 - Bewegen en rekenen oefentoetsen & antwoorden

In een (v,t)-diagram teken je de snelheid als functie van de tijd. Op de x-as zet je de waardes voor de tijd neer en op de y-as komen de waardes van de snelheid.De gemiddelde versnelling tussen twee tijdstippen kan worden bepaald door de twee coördinaten met elkaar te verbinden en vervolgens geeft de richtingscoëfficiënt de gemiddelde versnelling aan. In het voorbeeld hieronder wordt dat gedaan door de groene lijn.Bij een vrije val valt een object doordat de zwaartekracht aan het object trekt. Het object zal ongehinderd versnellen omdat er geen tegenkracht (zoals luchtweerstand) aanwezig is.Het aantal cijfers waarin het antwoord wordt geformuleerd is afgerond op het kleinste aantal decimalen van de gebruikte getallen in de opgave.Denk bijvoorbeeld aan: 1,01 + 22,045 = 23,06. De “1,01” heeft de minste significante cijfers achter de komma (2), dus je antwoord van 23,055 wordt dan afgerond naar 23,06. Zoek voor een formule naar de grootheden die zijn gegeven. Verder helpt voor nu ook de aanduiding van de paragraaf zodat je kunt zien waar je de formule kunt vinden.De snelheid gevraagd en s en t gegeven geeft de formule voor de snelheidGegeven: $s=25 \ m$; $t = 0,25 \ s$Gevraagd: $v$Formule: $s=v\cdot t$ → $v = \frac{s}{t}$Berekening:  $v = \frac{s}{t} = \frac{25}{0,25} = 100$Conclusie: $v = 1,0 \cdot 10^2 \ m/s$ (significantie van 2 want andere zijn ook 2)De gemiddelde versnelling kent één formule: $a_{gem} = \frac{\Delta v}{\Delta t}$Gegeven: $\Delta v = 3,75 \ m/s$; $\Delta t = 2,5 \ s$Gevraagd: $a_{gem}$Formule: $a_{gem} = \frac{\Delta v}{\Delta t}$Berekening: $a_{gem} = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{3,75}{2,5}=1,5$Conclusie: $a_{gem} = 1,5 \ m/s^2$ (significantie van 2 want getal met minste significantie is ook 2) Antwoord: $2,3 \cdot 10^2$. Het antwoord moet in 2 significante cijfers worden geschreven. Het gaat hier om een vermenigvuldiging en dan neem je het getal met de minste cijfers. In dit geval is dat het getal 68, dat bestaat uit 2 cijfers. Je moet naar beneden afronden omdat het tussenantwoord 234,6 was en je gebruikt de wetenschappelijke notatie omdat een antwoord als 230 niet 2 maar 3 significante cijfers heeft.Antwoord: $15,9$. Het antwoord bestaat uit 1 significant cijfer achter de komma. Het gaat hier om een optelling en dan kijk je naar het aantal cijfers achter de komma. In dit geval één cijfer (13,5). Het tussenantwoord van 15,89 rond je naar boven af tot het antwoord.Antwoord: $0,39$ of $3,9 \cdot 10^{-1}$. Ook hier een antwoord met 2 significante cijfers. Het getal 3,0 bestaat uit twee cijfers vandaar dat je het antwoord ook in twee significante cijfers schrijft. Je rondt het antwoord naar boven af (het tussenantwoord was 0,38597….). De wetenschappelijke methode is voor dit antwoord niet belangrijk, bij natuurkunde wordt wel vaak een antwoord in de wetenschappelijk notatie verwacht. Maak gebruik van de formule: $v_{gem} = \frac{1}{2} \cdot (v_{begin} + v_{eind})$Gegeven: $v_{begin} = 10 \ m/s$; $v_{eind} = 15 \ m/s$Gevraagd: $v_{gem}$Formule: $v_{gem} = \frac{1}{2} \cdot (v_{begin} + v_{eind})$Berekening: $v_{gem} = \frac{1}{2} \cdot (v_{begin} + v_{eind}) = \frac{1}{2} \cdot (10,0 + 15,0) = 12,5$Conclusie: $v_{gem} = 13 \ m/s$. (Omdat $v_{eind}$ de kleinste significantie heeft (2 cijfers) moet het antwoord ook in 2 cijfers worden gegeven).Hier moet je eerst omrekenen in de basiseenheden (in dit geval meters en seconden).Gegeven: $s=3,00 \ km = 3,00 \cdot 10^3 \ m$; $t = 15,0 \ min = 900 \ s$. Merk op dat de afstand in meters nu in wetenschappelijk notatie wordt gegeven, immers de significantie blijft gelijk en 3000 m is iets anders dan 3,00 * 103 m.Gevraagd: $v_{gem}$Formule: $s = v_{gem} \cdot t \rightarrow v_{gem} = \frac{s}{t}$Berekening: $v_{gem} = \frac{s}{t} = \frac{3,00\cdot 10^3}{900} = 3,33…$Conclusie: $v_{gem} = 3,33 \ m/s$ (significantie van 3!)In vraag a. ging de snelheid van 10,0 m/s naar 15 m/s $\Delta v = 5 \ m/s$ (de regels voor significantie stellen dat bij aftrekken en optellen je kijkt naar het aantal cijfers achter de komma. In dit geval is dat 0, want 15 m/s heeft geen cijfer achter de komma).Gegeven: $\Delta v = 15 - 10,0 = 5 \ m/s$; $\Delta t   = 13,0 \ s$Gevraagd: $a_{gem}$Formule: $a_{gem} = \frac{\Delta v}{\Delta t}$Berekening: $a_{gem} = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{5}{13,0} = 0,384615$Conclusie: $a_{gem} = 0,4 \ m/s^2$Merk op dat hier weliswaar twee cijfers staan, maar de 0 voor een komma wordt niet gezien als een significant cijfer. Je had natuurlijk ook als antwoord mogen geven: 4 * 10-1 m/s2.Je weet dat de valversnelling $g = 9,81 \ m/s^2$ is. Verder begint de bal met een snelheid van 0.Gegeven: $\Delta v = 4,5 \ m/s$; $a = g = 9,81 \ m/s^2$Gevraagd: $\Delta t$Formule: $a_{gem} = \frac{\Delta v}{\Delta t} \rightarrow \Delta t = \frac{\Delta v}{a}$Berekening: $\Delta t = \frac{\Delta v}{a} = \frac{4,5}{9,81} = 0,45872$Conclusie: $\Delta t = 0,46 \ s$ (significantie van 2 cijfers omdat de snelheid in 2 significante cijfers is gegeven.)Je ziet dat hier een straal r en een periode T wordt gegeven. Het gaat dus om een cirkelbeweging.Gegeven: $r=1,20 \  m$; $T=54,05 \  s$ Gevraagd: $v$Formule: $v=\frac{2\pi r}{T}$Berekening: $v=\frac{2\pi r}{T}=\frac{2 \cdot \pi \cdot 1,20}{54,05}=0,139497$Conclusie: $v=0,139 \ m/s$ (Significantie van 3 cijfers, omdat de straal de kleinste significantie heeft. En besef dat de 0 voor de komma niet meetelt. Je had het antwoord ook wetenschappelijk mogen noteren, dan werd het: $v=1,39\cdot 10^{-1} \  m/s$). Bereken eerst het gemiddelde, ga dan de afwijking bepalen en bereken dan de nauwkeurigheid.Het gemiddelde is: $\frac{3,45 + 3,41 + 3,47 + 3,48 + 3,45}{5} = 3,452$De afwijking per getal is:$|3,45-3,452|=0,002$ (merk op dat het antwoord positief is)$|3,41-3,452|=0,042$$|3,47-3,452|=0,018$$|3,48-3,452|=0,028$$|3,45-3,452|=0,002$Bereken de nauwkeurigheid: $\frac{0,002+0,042+0,018+0,028+0,002}{5}=0,0184 \rightarrow 0,02$Conclusie: $3,45 \pm 0,02$. Bereken eerst het gemiddelde, ga dan de afwijking bepalen en bereken dan de nauwkeurigheid.Het gemiddelde is: $\frac{12,3+13,5+10,8+11,6+12,8+11,7+11,9}{7}=12,086$De afwijking per getal is:$|12,3-12,086|=0,214$$|13,5-12,086|=1,414$$|10,8-12,086|=1,286$$|11,6-12,086|=0,486$$|12,8-12,086|=0,714$$|11,7-12,086|=0,386$$|11,9-12,086|=0,186$Bereken de nauwkeurigheid: $\frac{0,214+1,414+1,286+0,486+0,714+0,386+0,186}{7}=0,669 \rightarrow 0,7$Conclusie: $12,1 \pm 0,7$. Jan en Marie hebben een de val van de prop en het vel op video vastgelegd en vervolgens in een (h,t)-grafiek de gegevens overgenomen van waar het vel of de prop zich bevond. Ze gingen daarbij uit van een tijdsinterval van 0,1 seconde. Dit kun je zien aan de grafiek. In de grafiek is op de x-as de tijd in seconde weergegeven. Elk meetpunt is steeds 0,1 s verder.Bij een vrije val zal een object steeds verder versnellen als gevolg van de valversnelling. In de (h,t)-grafiek van de prop zie je een lijn die overeenkomt met een versnelde beweging (paraboolvorm) en daarom mag je aannemen dat de beweging lijkt op een vrije val.Tussen de tijdstippen $t=0,2 \ s$ en $t=1,4 \ s$ beschrijft het vel een constante snelheid, dit is te zien aan de rechte lijn in de (h,t)-grafiek.Het is een constante snelheid en daarvoor gebruik je: $s=v \cdot t$Gegeven: $\Delta s = 0,89 - 0,09 = 0,80 \ m$; $\Delta t = 1,4 - 0,2 = 1,2 \ s$Gevraagd: $v$Formules: $s=v \cdot t \rightarrow v = \frac{s}{t}$Berekening: $v = \frac{s}{t} = \frac{0,80}{1,2} = 0,666…$Conclusie: $v = 0,67 \ m/s$. (Significantie van 2 cijfers omdat de afstand ook in 2 significant cijfers is bepaald.)Om het te kunnen bewijzen gebruik je $a_{gem} = \frac{\Delta v}{\Delta t}$Gegeven: $\Delta v = 4,00 -0=4,00 \ m/s$; $\Delta t = 0,50 - 0 = 0,50 \ s$Gevraagd: $a_{gem}$Formule: $a_{gem} = \frac{\Delta v}{\Delta t}$Berekening: $a_{gem} = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{4,00}{0,50} = 8,00$Conclusie: De gemiddelde versnelling van $a_{gem} = 8,0 \ m/s^2$ is inderdaad niet gelijk aan de valversnelling. Om snelheden om te rekenen gebruik je het getal 3,6. Wil je van km/h naar m/s moet je het kleiner maken en dus delen. Wil je van m/s naar km/h dan vermenigvuldig je. In deze gevallen:Sneltrein: $v = 115/3,6 - 31,94 \rightarrow v = 32 \ m/s$Stoptrein: $v=55/3,6 - 15,27 \rightarrow v = 15 \ m/s$Om te kunnen bewijzen moet je voor beide treinen uitrekenen hoeveel tijd zij nodig hebben. Denk er wel aan dat de sneltrein tien minuten later vertrekt.Gegeven: $s=22,5 \ km$; $v_{snel} = 115 \ km/h$; $v_{stop} = 55 \ km/h$; $t_{snel} = +0,17 \ h$Gevraagd: $t_{snel}$; $t_{stop}$Formules: $s= v \cdot t \rightarrow t = \frac{s}{v}$Berekening: $t_{stop} = \frac{s}{v} = \frac{22,5}{55} = 0,41 \ h$; $t_{snel} = \frac{22,5}{115} + 0,15 = 0,20 + 0,15 = 0,35 \ h$Conclusie: De sneltrein doet er 0,07 uur korter over. Dat is 4,2 minuten. De formule die je hanteert is natuurlijk die van de baansnelheid: $v = \frac{2\pi r}{T}$. De gegevens staan echter niet in de basiseenheden en moeten nog wel worden omgezet.Gegeven:$v = 3680 \ km/u = \frac{3680/3,6} = 1022,22 \ m/s$$T=27,32 \ dagen=27,32 \cdot 24 \ uur=655,68 \ uur$, en dat is $655,68\cdot 3600 \ seconden=2,360 \cdot 10^6 \ s$Gevraagd: $r$Formule: v =\frac{2\pi r}{T} \rightarrow v\cdot T = 2 \pi r \rightarrow r = \frac{v \cdot T}{2\pi}$Berekening: $r=\frac{v\cdot T}{2\pi} = \frac{1022,22 \cdot 2,360 \cdot 10^6}{2\pi} = 384024509$Conclusie: $r = 3,84- \cdot 10^8 \ m$ (Beide gegevens zijn in 4 significante cijfers gegeven en dus moet het antwoord ook in 4 significante cijfers. Omdat het een groot getal is gebruik je de wetenschappelijke notatie). De snelheden zijn in de grafiek gegeven. Tussen de tijdstippen $t=1,0 \ min$ en $t=3,0 \ min$ is de beweging nagenoeg eenparig versneld (zie de rechte klimmende lijn). Dus je kunt gebruik maken van de formule: $v_{gem} = \frac{1}{2} \cdot (v_{begin} + v_{eind})$.Gegeven: $v_{begin}  =5,0 \ m/s$; $v_{eind} = 8,0 \ m/s$Gevraagd: $v_{gem}$Formule: $v_{gem} = \frac{1}{2} \cdot (v_{begin + v_{eind})$Berekening: $v_{gem} = \frac{1}{2} \cdot (v_{begin} + v_{eind}) = \frac{1}{2} \cdot (5,0 + 8,0) = 6,5$Conclusie: De gemiddelde snelheid is inderdaad $v_{gem} = 6,5 \ m/s$.Allereerst, besef dat de tijd in minuten is gegeven. Dus je zult bij je berekeningen hier rekening mee moeten houden. Je weet de gemiddelde snelheid want deze is gegeven in vraag a. dus met de formule $s = v_{gem} \cdot t$ kun je de verplaatsing berekenen.Gegeven: $v_{gem} = 6,5 \ m/s$; $t = 3,0 - 1,0 = 2,0 \ min = 120 \ s$.Gevraagd: $s$Formule: $s = v_{gem} \cdot t$Berekening: $s = v_{gem} \cdot t = 6,5 \cdot 120 = 780$Conclusie: $s=7,8 \cdot 10^2 \ m$ (omdat het antwoord in 2 significante cijfers moet worden geschreven en 780 in 3 significante cijfers staat moet je het antwoord in de wetenschappelijke notatie geschreven worden).De gemiddelde snelheid kun je alleen met deze formule uitrekenen als er sprake is van een gelijkmatig optrekken of afremmen. De beweging moet dan eenparig versneld of eenparig vertraagd zijn. In de grafiek zie je dat dit niet het geval is. De fietser versnelt eerst, daarna vertraagt de fietser om een korte tijd bijna constant te rijden en dan weer vervolgens te vertragen. Dus geen gelijkmatige snelheid of gelijkmatige versnelling.Gegeven: $\Delta v = 8,0 - 4,0 = 4,0 \ m/s$; $\Delta t = 5,0 - 3,0 = 2,0 \ min = 120 \ s$Gevraagd: $a_{gem}$Formule: $a_{gem} = \frac{\Delta v}{\Delta t}$Berekening: $a_{gem} = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{4,0}{120} = 0,0333..$Conclusie: $a_{gem}= 3,3 \cdot 10^{-2} \ m/s^2$ (omdat het antwoord veel kleiner is dan 0 is het gebruikelijk om het antwoord in de wetenschappelijke notatie te schrijven en je het antwoord moet in 2 significante cijfers omdat de gegevens ook een significantie hebben van 2 cijfers). Om de tabel te kunnen invullen moet je per hoogte/afstand telkens dezelfde handelingen plegen. We doen het hier twee keer voor met de waardes van 2,75 meter en 0,25 meter.Allereerst bereken je per afstand de gemiddelde waarde. Je telt de tijd waarnemingen bij elkaar op en deelt door 4 (het aantal waarnemingen)$t_{gem-2,75}=\frac{0,310+0,320+0,315+0,321}{4}=0,317$$t-{gem-0,25}=\frac{0,780+0,770+0,779+0,785}{4}=0,779$Ten tweede bereken je per waarneming het verschil met het gemiddelde uit. Het antwoord is altijd positief (de wiskunde gebruikt hiervoor de rechte strepen waartussen de berekening plaatsvindt, het antwoord is dan altijd positief).$t_{gem-2,75}$:$|0,310-0,217|=0,007$$|0,320-0,317|=0,003$$|0,315-0,317|=0,002$$|0,321-0,317$=0,004$$t_{gem-0,25}$:$|0,780-0,779|=0,001$$|0,770-0,779|=0,009$$|0,779-0,779|=0,000$$|0,785-0,779|=0,006$Ten slotte bereken je de gemiddelde afwijking.$\Delta t_{gem-2,75}=\frac{0,007+0,003+0,002+0,004}{4}=0,004 \rightarrow \Delta t_{gem-2,75}=\pm 0,004$$\Delta t_{gem-0,25}=\frac{0,001+0,009+0,000+0,006}{4}=0,004 \rightarrow \Delta t_{gem-0,25}=\pm 0,004$Je kunt nu met deze methode de overige waardes berekenen. Het antwoord ziet er als volgt uit. Je weet dat de formule voor de verplaatsing luidt: $s=v_{gem} \cdot t$. Ook weet je dat de formule voor de gemiddelde versnelling luidt: $a_{gem} = \frac{v}{t} \rightarrow v = a_{gem} \cdot t$. Tot slot weet je dat je de gemiddelde snelheid kunt berekenen met $v_{gem} = \frac{1}{2} \cdot (v_{begin} - v_{eind})$. We zullen deze formules moeten omschrijven, want we weten de snelheid niet.  Dat doen we als volgt:Als je aanneemt dat $v_{begin} = 0$ wordt de formule voor de gemiddelde snelheid: $v_{gem} = \frac{1}{2} \cdot v_{eind}$.Je kunt nu de formules samenvoegen tot een nieuwe formule: $s = v_{gem} \cdot t = \frac{1}{2} \cdot v_{eind} \cdot t = \frac{1}{2} \cdot a_{gem} \cdot t \cdot t = \frac{1}{2} \cdot a_{gem} \cdot t^2$. Dus $s=\frac{1}{2} \cdot a_{gem} \cdot t^2$.Je kunt de formule nu omvormen tot: $\large a_{gem} = \frac{2 \cdot s}{t^2}$.Deze vraag kun je op twee manieren oplossen: een grafische of een rekenkundige manier.De grafische manier doe je door een (s,t)-grafiek te tekenen van de val. Deze zal dan een parabool moeten weergegeven. De parabool staat voor een versnelde beweging. De grafiek, waarvoor je de gemiddelde tijd neemt, ziet er als volgt uit.De grafiek ziet eruit als een omgekeerde parabool en daarmee mag je aannemen dat de beweging eenparig versneld is en dus voldoet aan een valversnelling.Echter het is natuurlijk mooier om dit rekenkundig op te lossen. Met de formule uit opgave b kun je dan de valversnelling uitrekenen en kijken of deze gelijk is aan de valversnelling op aarde, namelijk $a=9,81 \ m/s^2$. Je kunt nu met elke waarde uit de tabel de valversnelling berekenen. We doen dit alleen maar met de laatste waardes, dus als de bal de grond raakt, dit omdat je dan zeker weet dat je de gemiddelde versnelling over de gehele val berekent. Besef wel dat de $h = 0 \ m$ maar de verplaatsing is dan $s = 3,25 \  m$. Want de bal is 3,25 meter naar beneden gevallen.Gegevens: $s=3,25 \ m$; $t=0,814 \ s$Gevraagd: $a_{gem}$Formule: $\large a_{gem} = \frac{2 \cdot s}{t^2}$Berekening: $\large a_{gem} = \frac{2 \cdot s}{t^2} = \frac{2 \cdot 3,25}{0,814^2} = 9,809…$Conclusie: $a_{gem} = 9,81 \ m/s^2$ en dat is inderdaad gelijk aan de valversnelling.Voor het vinden van een oplossing voor een ingewikkeld probleem gebruik je APUC (analyse, plan, uitvoering en controle).Analyse. Je wilt de valversnelling bepalen. Hiervoor kun je iets laten vallen en vervolgens meten hoe lang dat iets nodig heeft om een bepaalde verplaatsing af te leggen. Je hebt dus een hoogte/afstand en die meet je in meters. Grootheid afstand in (s), eenheid meter in (m). Hoe lang iets er over doet is natuurlijk een tijdsmeting, grootheid tijd in (t) en eenheid seconde in (s). Om het te kunnen berekenen gebruik je de formule die je in vraag b. hebt bewezen: $a_{gem} = \frac{2 \cdot s}{t^2}$.Plan. Je laat iets vallen over een gegeven afstand en start een tijdsmeting. Je meet de valtijd en noteert deze. Voor de zekerheid herhaal je de proef een aantal keer en berekent het gemiddelde met een nauwkeurigheid. Uiteindelijk heb je dan een gemiddelde valtijd en een afstand.Uitvoering. Je voert uit wat je in je plan hebt geschreven. Als je dan het gemiddelde hebt bepaald kun je de valversnelling uitrekenen.Controle. Je hebt nu een uitkomst met de grootheid versnelling (a) en eenheid meter per seconde kwadraat (m/s2). Je hebt de juiste gegevens gebruikt om het te kunnen uitrekenen en de juiste formule. Hiermee heb je de vraag opgelost. Controleer alleen nog of je de juiste significante cijfers hebt gebruikt!