Moderne Wiskunde B 12e ed/FLEX deel 2 - Hoofdstuk 9 - Afstanden en hoeken oefentoetsen & antwoorden

De ene driehoek is een vergroting van de andere. Overeenkomstige hoeken zijn even groot.De overeenkomstige zijden staan in een gelijke verhouding  Teken de volgende driehoek ABC.De sinusregel luidt: $\frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{b}{\sin(\beta)} = \frac{c}{\sin(\gamma)}$.Zie de figuur bij de vorige uitwerking. Er geldt:$a^2=b^2+c^2-2bc\cos(\alpha)$$b^2=a^2+c^2-2ac\cos(\beta)$$c^2=a^2+b^2-2ab\cos(\gamma)$Er geldt dat de richtingscoëfficiënten met elkaar vermenigvuldigd gelijk zijn aan -1, oftewel $rc_l \cdot rc_m=-1$.         e. De afstand is $\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$. We willen $\angle \alpha$ berekenen, dus we nemen de cosinusregel: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos(\alpha)$Invullen geeft: $142=10^2+11^2-2\cdot 10\cdot 11\cdot \cos(\alpha)$$196=100+121-220\cos(\alpha)$$-25 = -220 \cos(\alpha)$ (links en rechts 221 eraf)$\cos(\alpha) = \frac{-25}{-220} = \frac{5}{44}$ (links en rechts delen door -220)$\alpha = \cos^{-1}(\frac{5}{44}) = 83,5 \degree$ (om $\alpha$ te berekenen nemen we de inverse). De sinusregel zegt dat  $ \frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{b}{\sin(\beta)}$.Invullen geeft: $\frac{14}{\sin(83,5)} = \frac{10}{\sin(\beta)}$.Kruislings vermenigvuldigen geeft $14\sin(\beta) = 10\sin(83,5)$.Dus $\sin(\beta) = \frac{10}{14}\sin(83,5) \approx 0,7097$.Dat geeft: $\beta = \sin^{-1}(0,7097) = 45,2 \degree$.  We zien dat △ABC⋍△ADB\triangle ABC \backsimeq \triangle ADB△ABC⋍△ADB want ∠A=∠A\angle A = \angle A∠A=∠A en ∠B=90°\angle B = 90 \degree∠B=90°. Hieruit volgt ook dat ∠C=∠B\angle C = \angle B∠C=∠B. We kunnen daarom de volgende verhoudingstabel maken:△ABC\triangle ABC△ABCABBCAC△ADB\triangle ADB△ADBADBDABInvullen van de gegevens geeft△ABC\triangle ABC△ABC161220△ABD\triangle ABD△ABDADBD16BDBDBD kan nu worden berekend. Er geldt dat 2016=12BD\frac{20}{16} = \frac{12}{BD}1620​=BD12​.Kruislings vermenigvuldigen geeft: 20⋅BD=12⋅16=19220 \cdot BD = 12 \cdot 16 = 19220⋅BD=12⋅16=192.Deel links en rechts door 16: BD=19216=9,6BD = \frac{192}{16} = 9,6BD=16192​=9,6. CDCDCD kan worden berekend met de stelling van Pythagoras: BD2+CD2=BC2BD^2+CD^2=BC^2BD2+CD2=BC2Invullen van de gegevens geeft  9,62+CD2=1229,6^2+CD^2=12^29,62+CD2=122Dus CD2=122−9,62=144−92,16=51,84CD^2 = 12^2-9,6^2 = 144 - 92,16 = 51,84CD2=122−9,62=144−92,16=51,84Dus CD=51,84=7,2CD = \sqrt{51,84} = 7,2CD=51,84​=7,2.    Maak eerst een schets van de situatie. Teken ook een horizontale lijn door het snijpunt van de twee lijnen. De hoek van lijn lll met deze horizontale lijn noemen we α\alphaα en de hoek van lijn mmm met de horizontale lijn noemen we β\betaβ.Er geldt dat tan⁡(α)=rcl=2\tan(\alpha)=rc_l=2tan(α)=rcl​=2. Hieruit volgt dat α=tan⁡−1(2)≈63,43°\alpha=\tan^{-1}(2)\approx 63,43 \degreeα=tan−1(2)≈63,43°.Er geldt dat tan⁡(β)=rcm=−3\tan(\beta)=rc_m=-3tan(β)=rcm​=−3. Hieruit volgt dat β=tan⁡−1(−3)≈−71,57°\beta=\tan^{-1}(-3)\approx -71,57 \degreeβ=tan−1(−3)≈−71,57°. Hieruit volgt dat de hoek tussen de twee lijnen gelijk is aan α−β≈135°\alpha - \beta \approx 135 \degreeα−β≈135° (of α+∣β∣≈ +135°\alpha + |\beta|\approx  +135 \degreeα+∣β∣≈ +135°). Omdat deze hoek groter is dan 90°90 \degree90° en we altijd de kleinste hoek tussen de lijnen willen weten, doen we: 180°−135°=45°180\degree-135\degree=45\degree180°−135°=45°.Werkwijze: Kies twee punten AAA en BBB, een op de ene lijn en een op de andere lijn. Zie tekening. Het snijpunt van de twee lijnen noemen we SSS. We kiezen A(2,0)A(2,0)A(2,0) en B(2,8)B(2,8)B(2,8). (Andere keuzes zijn ook mogelijk). We berekenen eerst zijdes SBSBSB en SASASA in de driehoek om vervolgens met de cosinusregel hoek SABSABSAB tussen de twee lijnen te berekenen.De coördinaten van het snijpunt SSS krijgen we door de vergelijking 2x+4=−3x+62x+4=-3x+62x+4=−3x+6 op te lossen. Alle xxx naar links en de rest naar recht geeft 5x=25x=25x=2 oftewel x=0,4x=0,4x=0,4.De yyy-waarde is dan 2⋅0,4+4=4,82\cdot 0,4+4=4,82⋅0,4+4=4,8 (invullen in de lijn).De zijdes van de driehoek zijn: SB=(xB−xS)2+(yB−yS)2=(2−0,4)2+(8−4,8)2=12,8=3,58.SB=\sqrt{(x_B-x_S)^2+(y_B-y_S)^2}=\sqrt{(2-0,4)^2+(8-4,8)^2}=\sqrt{12,8}=3,58.SB=(xB​−xS​)2+(yB​−yS​)2​=(2−0,4)2+(8−4,8)2​=12,8​=3,58.SA=(xA−xS)2+(yA−yS)2=(2−0,4)2+(0−4,8)2=25,6=5,06SA=\sqrt{(x_A-x_S)^2+(y_A-y_S)^2}=\sqrt{(2-0,4)^2+(0-4,8)^2}=\sqrt{25,6}=5,06SA=(xA​−xS​)2+(yA​−yS​)2​=(2−0,4)2+(0−4,8)2​=25,6​=5,06AB=8De cosinusregel geeft AB2=SA2+SB2−2⋅SA⋅SB⋅cos⁡(α)AB^2 =SA^2+SB^2-2\cdot SA\cdot SB\cdot \cos(\alpha)AB2=SA2+SB2−2⋅SA⋅SB⋅cos(α).Invullen geeft:  82=5,062+3,582−2⋅5,06⋅3,58⋅cos⁡(α)8^2=5,06^2+3,58^2 -2\cdot 5,06\cdot 3,58\cdot \cos(\alpha)82=5,062+3,582−2⋅5,06⋅3,58⋅cos(α)cos⁡(α)=64−12,8−25,6−2⋅5,06⋅3,58≈−0,706\cos(\alpha)=\frac{64-12,8-25,6}{-2\cdot 5,06\cdot 3,58} \approx -0,706cos(α)=−2⋅5,06⋅3,5864−12,8−25,6​≈−0,706Hieruit volgt dat α=cos⁡−1(−0,706)=135°\alpha=\cos^{-1}(-0,706) =135 \degreeα=cos−1(−0,706)=135°, dus de hoek tussen de lijnen is 180°−135°=45°180 \degree - 135 \degree = 45 \degree180°−135°=45° (opnieuw willen we de kleinste hoek).  Eerst berekenen we de basis $b=AB$. Dit kan met de stelling van Pythagoras, of direct met de formule voor de afstand: $AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$.De formule invullen geeft: $AB=\sqrt{(6-2)^2+(5-2)^2}=\sqrt{16+9}=5$.  De hoogte $h$ die er loodrecht op moet staan kan op dezelfde manier worden berekend: $CD=\sqrt{(x_D-x_C)^2+(y_D-y_C)^2}$.$C$ ligt op het midden van $AB$ dus de coördinaten zijn $C(4;3,5)$.Dit geeft $CD=\sqrt{(1-4)^2+(7,5-3,5)^2}=\sqrt{9+16}=5$.De oppervlakte van de driehoek is: $0.5\cdot b \cdot h=0,5\cdot 5 \cdot 5=12,5$. Veel informatie hebben we niet (dus we gaan straks een zijde $x$ stellen), maar aangezien het een rechthoek betreft hebben we te maken met rechte hoeken.De diagonaal AC kan worden berekend met de stelling van Pythagoras: $AB^2+BC^2=AC^2$. Invullen van de gegevens geeft:$12^2 +5^2=AC^2$$AC^2 =144+25=169$$AC=\sqrt{169}=13$.We zien dat $\triangle ABF \backsimeq \triangle CEF$ want $\angle A=\angle C$ (z-hoek) en $\angle E= \angle B$ (z-hoek). Hieruit volgt dat ook $\angle CFE=\angle AFB$ want de som van de hoeken in een driehoek is $180 \degree$.We kunnen de volgende verhoudingstabel maken:$\triangle ABF$ABBFAF$\triangle CEF$CEEFCFInvullen van de gegevens geeft$\triangle ABF$12BFAF$\triangle CEF$2,5EFCFWe hebben nu te weinig gegevens om $AF$ te kunnen berekenen. Maar we weten wel dat $AC=AF+FC=13$. Stellen we nu de gevraagde zijde $AF$ gelijk aan $x$ (de meest logische keuze voor een zijde om $x$ te stellen is meestal de zijde die je wilt berekenen), dan geldt dat $FC=13-x$. Vullen we dit in in de tabel dan krijgen we$\triangle ABC$12BF$x$$\triangle ADB$2,5EF$13-x$We kunnen nu alsnog $AF$, oftewel $x$, berekenen omdat de volgende verhouding geldt: $\frac{12}{2,5}=\frac{x}{13-x}$.Kruislings vermenigvuldigen geeft (vergeet de haakjes niet): $12\cdot (13-x)= 2,5x$Haakjes uitwerken geeft: $156-12x= 2,5x$.Dit geeft: $156= 14,5x$Links en rechts keer 2: $312= 29x$Links en rechts delen door 29 geeft $x=\frac{312}{29}=10\frac{22}{29}$Conclusie: $AF=10\frac{22}{29}$. Er geldt: $\sin(\alpha)=\frac{overstaande \ zijde}{schuine \ zijde} = \frac{h}{AC}$.Dit kan worden geschreven als: $AC\cdot \sin(\alpha)=h$.Uit de introductie van de opgave weten we dat $Opp(\triangle ABC)=\frac{1}{2} \cdot AB\cdot h$. Substitueer $h=  AC\cdot \sin(\alpha)$ in deze formule.Dit geeft inderdaad: $\frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin(\alpha)$. De sinusregel zegt: $\large \frac{AC}{\sin(\beta)}=\frac{BC}{\sin(\alpha)}$.Dit kan worden herschreven als: $\large AC=\frac{BC \cdot \sin(\beta)}{\sin(\alpha)}$.Substitueren we dit in de formule van vraag a, dan geeft dit $\large \frac{1}{2} \cdot AB\cdot \frac{BC\cdot \sin(\beta)}{\sin(\alpha)} \cdot \sin(\alpha)=\frac{1}{2} \cdot AB\cdot BC \cdot \sin(\beta)$. De sinusregel zegt: $\large \frac{AC}{\sin(\beta)}=\frac{AB}{\sin(\gamma)}$.Dit kan worden herschreven als: $\large AB = \frac{AC \cdot \sin(\gamma)}{\sin(\beta)}$.Substitueren we dit in de formule van vraag a geeft dit: $\large \frac{1}{2} \cdot AC \cdot \frac{AC \cdot \sin(\gamma)}{\sin(\beta)} \cdot \sin(\beta)=\frac{1}{2} \cdot AC^2\cdot \frac{\sin(\gamma)\cdot \sin(\alpha)}{\sin(\beta)}$. Werkwijze: De cosinusregel luidt $a^2=b^2+c^2-2bc\cos(\alpha)$, waarbij in dit geval in $\triangle MKT$ zijde $KT = a$, $MK = b$ en $MT = c$. Druk eerst de zijdes van de driehoek uit in $r$ en vul daarna de cosinusregel in om de gevraagde regel aan te tonen. Gebruik de figuur om de zijdes $MK$, $KT$ en $MT$ van $\triangle$ uit te drukken in $r$. Er geldt: $MK=MA-KA=4-1=3$.Er geldt ook dat $KT=KV+VT=1+r$.En er geldt dat $MT=MU-TU=4-r$.We kunnen nu de cosinusregel opschrijven voor $\triangle MKT$: $KT^2=MK^2+MT^2-2\cdot MK\cdot MT \cdot \cos(\alpha)$.Invullen van de gegevens van de zijdes levert:$(1+r)^2=3^2+(4-r)^2-2\cdot 3\cdot (4-r)\cdot \cos(\alpha)$.Dit schrijven we om zodat we de gevraagde regel kunnen aantonen:Werk de haakjes uit: $1+2r+r^2 =9+16-8r+r^2 -(24 -6r)\cdot \cos(\alpha)$$-24+10r=-(24-6r)\cdot \cos(\alpha)$De min wegwerken door alles te delen door $-1$: $24-10r=(24-6r)\cdot \cos(\alpha)$Links en rechts delen door de term $(24-6r)$ geeft: $\cos(\alpha)=\frac{24-10r}{24-6r}$Alle termen in de breuk kunnen worden gedeeld door 2. Daarmee tonen we het aan: $\cos(\alpha)=\frac{12-5r}{12-3r}$. Stel lijn $f: y=ax+b$.Begin met de richtingscoëfficiënt. De lijn $AC$ heeft als richtingscoëfficiënt $\frac{\Delta y}{\Delta x} =\frac{-3}{4}$, want om van $A$ naar $C$ te komen gaan we $4$ naar rechts en $-3$ naar beneden. Er geldt dat $rc_{AC}\cdot rc_{CD}=-1$, want de zijden $AC$  en $CD$  staan loodrecht op elkaar. Dus $rc_{CD}=\frac{4}{3}$.Bereken vervolgens $b$. Lijn $f$ kan nu geschreven worden als $y=\frac{4}{3}x+b$.Aangezien deze lijn door punt $C(12,4)$ gaat, moet gelden dat $4=\frac{4}{3} \cdot 12+b$, ofwel $4=16+b$.Er volgt nu dat $b=-12$.Dat geeft $f: y=\frac{4}{3}x-12$.De afstand tussen $A$ en $D$ is $\sqrt{(x_D-x_A)^2+(y_D-y_A)^2}$.Invullen geeft: $AD = \sqrt{(18-8)^2+(p-7)^2}=\sqrt{100+p^2-14p+49}=\sqrt{p^2-14p +149}$. Kies zelf je aanpak. Manier 1: met de richtingscoëfficiënten. Werkwijze: Om de hoek tussen $f$ en $g$ te kunnen bepalen, teken je een horizontale lijn door het snijpunt van de twee lijnen $f$ en $g$. Dan kun je met de tangens de hoek tussen lijn $g$ en de horizontale lijn berekenen, en vervolgens de hoek tussen $f$ en $g$.Trek lijn $AD$ door aan de kant van $D$ en teken een horizontale lijn vanuit $D$. Zie onderstaande tekening. Er geldt dat $\tan(\alpha+\beta)=rc_{CD}=\frac{4}{3}$. Hieruit volgt dat $\alpha + \beta = \tan^{-1}(\frac{4}{3})\approx 53,13 \degree$.Voor $\angle \beta$ hebben we eerst de richtingscoëfficiënt van lijn $g$ nodig.De lijn $AD=g$ heeft als richtingscoëfficiënt $\frac{\Delta y}{\Delta x} =\frac{5}{10}$, want om van $A$ naar $D$ te komen gaan we $10$ naar rechts en $5$ naar boven.Er geldt dan dat $\tan(\beta)=rc_{AD}=\frac{5}{10}$. Hieruit volgt dat $\beta=\tan^{-1}(\frac{5}{10})\approx 26,57 \degree$.Nu is $\alpha=(\alpha+\beta)-\beta \approx 53,13\degree -26,57\degree=26,56 \degree$.  Manier 2: met de cosinusregel. Werkwijze: Voor de cosinusregel werken we in $\triangle ACD$. We berekenen de lengtes van alle zijdes en vullen vervolgens de cosinusregel in om hoek $\alpha$ te berekenen. Met de coördinaten $A(8,7)$, $C(12,4)$ en $D(18,12)$ bereken we de lengtes van de zijden van $\triangle ACD$:$AD =  \sqrt{(x_D-x_A)^2+(y_D-y_A)^2} = \sqrt{(18-8)^2+(12-7)^2}=\sqrt{100+25}=\sqrt{125}$.$CD =  \sqrt{(x_D-x_C)^2+(y_D-y_C)^2} = \sqrt{(18-12)^2+(12-4)^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$.$AC =  \sqrt{(x_C-x_A)^2+(y_C-y_A)^2} = \sqrt{(12-8)^2+(4-7)^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$ (je had ook meteen mogen zien dat $AC$ de straal is van cirkel $c$).De cosinusregel voor $\triangle ACD$ luidt:$AC^2=CD^2+AD^2-2\cdot CD \cdot AD \cdot \cos(\alpha)$.Invullen en uitwerken geeft:$25 = 100 + 125 - 2 \cdot 10 \cdot \sqrt{125}\cdot \cos(\alpha)$$-200 = -20 \sqrt{125}\cdot \cos(\alpha)$$\cos \alpha = \frac{-100}{-20 \sqrt{125}} = 0,8944…$Dus $\alpha = \cos^{-1}(0,8944…) \approx 26,56 \degree$.