Getal en Ruimte wisB 12e ed deel 1 - Hoofdstuk 3 - Meetkunde oefentoetsen & antwoorden

 Juiste antwoorden zijn:Overeenkomstige hoeken zijn even groot.De overeenkomstige zijden staan in een gelijke verhouding.Een raaklijn aan een cirkel staat loodrecht op de verbindingslijn van het middelpunt van de cirkel en het raakpunt.  $1:1:\sqrt{2}$.Teken de volgende driehoek ABC.De sinusregel luidt: $\frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{b}{\sin(\beta)} = \frac{c}{\sin(\gamma)}$. 12�3+10=021​x3​+10​=0Haal 1010​ naar de andere kant: 12�3=−1021​x3​=−10​�3=−210x3​=−210​Nu kun je delen door 33​: �=−2103x=3​−210​​Vermenigvuldig boven en onder met 33​ om te vereenvoudigen: �=−2103⋅33x=3​−210​​⋅3​3​​�=−2303x=3−230​​�=−2330x=−32​30​. Haal �x buiten haakjes: �(3+12)=15x(3​+12)​=15Dat geeft: �=153+12x=3​+12​15​Nu staat het nog niet in de juiste vorm. Gebruik dat 12 =4⋅3=2312​ =4​⋅3​=23​: �=153+23x=3​+23​15​�=1533x=33​15​Boven en onder maal 33​: �=1533⋅33x=33​15​⋅3​3​​�=1539x=9153​​�=1593x=915​3​�=1233x=132​3​ Alles met �x naar één kant, getallen naar de andere kant: �2−7�=5x2​−7x=5Buiten haakjes halen: �(2−7)=5x(2​−7)=5�=52−7x=2​−75​Gebruik een merkwaardig product ((�+�)(�−�)=�2+�2(a+b)(a−b)=a2+b2) om de wortels uit de breuk weg te werken: �=52−7⋅2+72+7x=2​−75​⋅2​+72​+7​�=52+102−49x=2−4952​+35​x=−4752​+35​ Noem eerst een zijde $x$. Hier kiezen we voor $BD=x$, want dan is ook gelijk $CD=x$.$\triangle ADC$ is een bijzondere driehoek: de hoeken zijn $30\degree$, $90\degree$ en $60\degree$.De zijden verhouden zich als $1: 2 : \sqrt{3}$.Dan is $AD=x \times \sqrt{3}$.Via zijde $AB$ kunnen we nu een vergelijking maken. We weten namelijk dat $AB= 16$ is (gegeven).Ook kunnen we $AB$ uitdrukken in $x$, want: $AB = AD + DB = x+x\sqrt{3}$.Dat levert de vergelijking:$x+x\sqrt{3} = 16$Die oplossen levert:$x(1+\sqrt{3})=16$ (haal $x$ buiten haakjes)$\large x=\frac{16}{1+\sqrt{3}}$ (deel door $1+\sqrt{3}$).Nu kunnen we $AD$ berekenen:$AD=x \cdot \sqrt{3}$$\large AD=\frac{16\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}}$. $Opp. \triangle = \frac{1}{2} \cdot zijde \cdot hoogte$.$Zijde  = AB = 16$$Hoogte = CD = x = \frac{16}{1+\sqrt{3}}$Invullen geeft: $Opp. \triangle ABC = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot \frac{16}{1+\sqrt{3}}=\frac{128}{1+\sqrt{3}}$. We willen $\angle \alpha$ berekenen, dus we nemen de cosinusregel: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos(\alpha)$Invullen geeft: $142=10^2+11^2-2\cdot 10\cdot 11\cdot \cos(\alpha)$$196=100+121-220\cos(\alpha)$$-25 = -220 \cos(\alpha)$ (links en rechts 221 eraf)$\cos(\alpha) = \frac{-25}{-220} = \frac{5}{44}$ (links en rechts delen door -220)$\alpha = \cos^{-1}(\frac{5}{44}) = 83,5 \degree$ (om $\alpha$ te berekenen nemen we de inverse). De sinusregel zegt dat  $ \frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{b}{\sin(\beta)}$.Invullen geeft: $\frac{14}{\sin(83,5)} = \frac{10}{\sin(\beta)}$.Kruislings vermenigvuldigen geeft $14\sin(\beta) = 10\sin(83,5)$.Dus $\sin(\beta) = \frac{10}{14}\sin(83,5) \approx 0,7097$.Dat geeft: $\beta = \sin^{-1}(0,7097) = 45,2 \degree$.  Veel informatie hebben we niet (dus we gaan straks een zijde $x$ stellen), maar aangezien het een rechthoek betreft hebben we te maken met rechte hoeken.De diagonaal AC kan worden berekend met de stelling van Pythagoras: $AB^2+BC^2=AC^2$. Invullen van de gegevens geeft:$12^2 +5^2=AC^2$$AC^2 =144+25=169$$AC=\sqrt{169}=13$.We zien dat $\triangle ABF \backsimeq \triangle CEF$ want $\angle A=\angle C$ (z-hoek) en $\angle E= \angle B$ (z-hoek). Hieruit volgt dat ook $\angle CFE=\angle AFB$ want de som van de hoeken in een driehoek is $180 \degree$.We kunnen de volgende verhoudingstabel maken:$\triangle ABF$ABBFAF$\triangle CEF$CEEFCFInvullen van de gegevens geeft$\triangle ABF$12BFAF$\triangle CEF$2,5EFCFWe hebben nu te weinig gegevens om $AF$ te kunnen berekenen. Maar we weten wel dat $AC=AF+FC=13$. Stellen we nu de gevraagde zijde $AF$ gelijk aan $x$ (de meest logische keuze voor een zijde om $x$ te stellen is meestal de zijde die je wilt berekenen), dan geldt dat $FC=13-x$. Vullen we dit in in de tabel dan krijgen we$\triangle ABC$12BF$x$$\triangle ADB$2,5EF$13-x$We kunnen nu alsnog $AF$, oftewel $x$, berekenen omdat de volgende verhouding geldt: $\frac{12}{2,5}=\frac{x}{13-x}$.Kruislings vermenigvuldigen geeft (vergeet de haakjes niet): $12\cdot (13-x)= 2,5x$Haakjes uitwerken geeft: $156-12x= 2,5x$.Dit geeft: $156= 14,5x$Links en rechts keer 2: $312= 29x$Links en rechts delen door 29 geeft $x=\frac{312}{29}=10\frac{22}{29}$Conclusie: $AF=10\frac{22}{29}$. We werken vanuit zijde $AB$. $AB=2$ (gegeven)$AB = AP + PQ + QB$ (zie figuur)$AP = QB$ (want het kleine vierkant ligt in het midden van zijde $AB$: het ligt symmetrisch door de twee even grote kwartcirkels)Vul nu de gegevens in bij $AB$:$AB = AP + PQ + QB = AP + x + AP = 2 \cdot AP + x$.Gebruik dat $AB=2$:$2\cdot AP + x = 2$$2 \cdot AP = 2-x$$AP = 1-\frac{1}{2}x$  Vind de zijdes van de driehoek:Gebruik dat $AP = 1-\frac{1}{2}x$: dan is $AQ = AP + PQ = 1-\frac{1}{2}x+x = 1+\frac{1}{2}x$.$QR = QP = x$ (vierkant)$AR = 2$, want gegeven is dat $R$ op de kwartcirkel $c$ ligt (dus $AR$ is de straal en is dus gelijk aan $AB=2$).De stelling van Pythagoras toepassen geeft:$AQ^2+ QR^2 = AR^2$ Let op de haakjes bij het invullen: $(1+\frac{1}{2}x)^2 + x^2 = 2^2$$1 + \frac{1}{4}x^2+ x + x^2 = 4$$1\frac{1}{4}x^2+ x -3 = 0$Vermenigvuldig alle termen met $4$ om de breuk weg te werken: $5x^2+4x-12=0$Via de ABC-formule: $a=5, b=4, c=-12$ dus $D = \sqrt{b^2-4ac} = 256$Dat geeft $x=\frac{-4\pm 16}{10}$Dus $x = \frac{6}{5}$ (want $x=-2$ voldoet niet, een lengte kan niet negatief zijn).Conclusie: $PQ = \frac{6}{5}$. Werkwijze: De cosinusregel luidt $a^2=b^2+c^2-2bc\cos(\alpha)$, waarbij in dit geval in $\triangle MKT$ zijde $KT = a$, $MK = b$ en $MT = c$. Druk eerst de zijdes van de driehoek uit in $r$ en vul daarna de cosinusregel in om de gevraagde regel aan te tonen. Gebruik de figuur om de zijdes $MK$, $KT$ en $MT$ van $\triangle$ uit te drukken in $r$. Er geldt: $MK=MA-KA=4-1=3$.Er geldt ook dat $KT=KV+VT=1+r$.En er geldt dat $MT=MU-TU=4-r$.We kunnen nu de cosinusregel opschrijven voor $\triangle MKT$: $KT^2=MK^2+MT^2-2\cdot MK\cdot MT \cdot \cos(\alpha)$.Invullen van de gegevens van de zijdes levert:$(1+r)^2=3^2+(4-r)^2-2\cdot 3\cdot (4-r)\cdot \cos(\alpha)$.Dit schrijven we om zodat we de gevraagde regel kunnen aantonen:Werk de haakjes uit: $1+2r+r^2 =9+16-8r+r^2 -(24 -6r)\cdot \cos(\alpha)$$-24+10r=-(24-6r)\cdot \cos(\alpha)$De min wegwerken door alles te delen door $-1$: $24-10r=(24-6r)\cdot \cos(\alpha)$Links en rechts delen door de term $(24-6r)$ geeft: $\cos(\alpha)=\frac{24-10r}{24-6r}$Alle termen in de breuk kunnen worden gedeeld door 2. Daarmee tonen we het aan: $\cos(\alpha)=\frac{12-5r}{12-3r}$. We hebben nu te weinig gegevens. Daarom moeten we hulplijnen tekenen om een berekening te kunnen maken. De diagonalen van het trapezium zijn een goede keuze. Daarmee kunnen we hoeken berekenen om vervolgens de hoogte van het parallellogram te vinden, zodat we de oppervlakte kunnen berekenen.Teken de diagonalen en noem het snijpunt $S$:Hiermee gaan we eerst $\angle{BAS}$ berekenen. Omdat de diagonalen van een parallellogram elkaar middendoor snijden, geldt: $AS=6,5$ en $BS=4$.Nu weten we in $\triangle ABS$ drie zijden en kunnen we hoeken berekenen met de cosinusregel: $a^2=b^2+c^2-2bc \cdot \cos(\alpha)$. Neem voor $\alpha$ hoek $BAS$, dan is $a = BS = 4$, $b=AS = 6,5$ en $c=AB=9$. Invullen en uitwerken geeft:$4^2=6,5^2+9^2-2\cdot 6,5\cdot 9\cdot \cos(\angle BAS)$$16=42,25+81-117\cos(\angle BAS)$$117\cos(\angle BAS)=42.25+81-16 = 107,25$$\cos(\angle BAS)=\frac{107,25}{117}=0,9166…$Dus $\angle BAS=\cos^{-1}(0,9166…) = 23,556…\degree$Dan kunnen we de hoogte $h$ van het parallellogram berekenen. Teken punt $E$ loodrecht onder $C$ op het verlengde van lijnstuk $AB$. Het lijnstuk $CE$ is gelijk aan de hoogte $h$.Bereken de hoogte $h$ van het parallellogram met de sinus in $\triangle AEC$:$\sin(\angle BAS)=\frac{AE}{AC} = \frac{h}{13}$$\sin(23,556…\degree)=\frac{h}{13}$Dus $h=13 \cdot \sin(23,556…\degree)=5,195...$Nu kunnen we de oppervlakte berekenen.$Opp. \ parallellogram = zijde  \cdot bijbehorende \ hoogte$, dus$Opp. \ ABCD = 9 \cdot 5,195...=46,759… \approx 46,8$.