Moderne Wiskunde B 12e ed/FLEX deel 1 - Hoofdstuk 3 - Functies en grafieken oefentoetsen & antwoorden

De eerste verschuiving is een verticale verschuiving. Als de grafiek van $f(x)$ met een afstand d omhoog wordt geschoven, dan wordt de nieuwe functie $g(x)=f(x)+d$.De tweede verschuiving is een horizontale verschuiving. Als de grafiek over een afstand met c naar rechts wordt verschoven, dan wordt de nieuwe functie $g(x)=f(x-c)$. Dus iedere $x$ in de functie wordt vervangen door $ x-c$. De derde transformatie is een vermenigvuldiging ten opzichte van de x-as. Als de grafiek wordt vermenigvuldigd met een factor a dan wordt de nieuwe functie $g(x)=af(x)$. Let op, als $f(x)$ uit meerdere termen bestaat dan moet deze functie $f(x)$ in zijn geheel tussen haakjes worden geschreven.De exponentiële functie $f(x)=b\cdot g^x$ heeft een horizontale asymptoot $y=0$. De b=gebroken functie $f(x)=\frac{1}{x}$ heeft een verticale asymptoot $x=0$ en een horizontale asymptoot $y=0$.De enige functie met een beginpunt is de wortelfunctie $f(x)=\sqrt{x}$. Het beginpunt is $(0,0)$. Het domein van een functie zijn alle mogelijke waarden van $x$ die je in mag vullen in de functie.Het bereik van een functie zijn alle mogelijke waarden van $y$ die de functie kan aannemen. Een vermenigvuldiging ten opzichte van de x-as met $3$ betekent $g(x)=3 \cdot f(x)$ en dit levert op $g(x) = 3 \cdot 3^x = 3^{x+1}$. Een verschuiving van 4 naar links betekent $h(x)=g(x+4)$. We vervangen dus iedere $x$ door $x+4$. Dit geeft $h(x) = 3^{x+5}$      b. Een verschuiving van 5 omhoog betekent $g(x)=f(x)+5$. Dit geeft $g(x)=3^x+5$.Een vermenigvuldiging ten opzichte van de x-as met -2 betekent $h(x)=-2\cdot g(x)$ en dit levert op  $h(x)=-2\cdot (3^x+5)=-2\cdot 3^x-10$. De noemer $x^4+2$ wordt nooit gelijk aan $0$. We kunnen dus alle waarden invullen voor $x$: het domein van $f(x)$ is $\mathbb{R}$. $x^4 \geq 0$ voor alle $x$. Dan $x^4+2 \geq 2$ voor alle $x$. Dan is de $y$ waarde altijd kleiner dan $4$. Immers als de noemer gelijk is aan $2$ dan is de y-waarde $4$. Als de noemer groter wordt, neemt de y-waarde af. Dus het bereik is $\langle \gets, 4]$. De functie $m(x)=x^2$ is een dalparabool met een top door de oorsprong.De functie $n(x)=2x^2$ is een dalparabool met een top door de oorsprong. (het is dezelfde functie als de vorige alleen vermenigvuldigd met de x-as met een factor 2, dus de parabool wordt smaller).Dus de functie $g(x)=2x^2+6$ is hetzelfde als de functie $n(x)$ alleen $6$ omhoog geschoven.Dit betekent dat de grafiek van $g(x)$ een dalparabool is met een de top in het punt $(0,6)$.Het domein is nu $\mathbb{R}$ en het bereik $[6, \to \rangle$.c.De term onder de wortel mag niet kleiner dan $0$ worden We lossen op $3x-9 \geq 0$Dit geeft $x\geq 3$.Dit is het domein: $[ 3, \to \rangle$De term $\sqrt{3x-9}$ is $0$ of groter dan $0$.Als de term gelijk is aan $0$ dan is $7-\sqrt{3x-9}$ gelijk aan $7$.Als de term groter is dan $0$ dan is $7-\sqrt{3x-9}$ kleiner dan $7$.Het bereik is $\langle \gets, 7]$. Links en rechts kwadrateren: $2x-1=(\frac{1}{5}x+2)^2=\frac{1}{25}x^2+\frac{4}{5}x+4$Alles naar een kant halen: $-\frac{1}{25}x^2+ 1\frac{1}{5}x-5=0$Alles vermenigvuldigen met $25$: $-x^2+ 30x-125=0$Alles vermenigvuldigen met $-1$: $x^2-30x+125=0$Ontbinden in factoren: $(x-5)(x-25)=0$Er zijn twee oplossingen: $x-5=0 \vee x-25=0$Er geldt dus dat $x=5 \vee x=25$.Door in te vullen in de oorspronkelijke vergelijking kun je zien dat dit beide echte oplossingen zijn. ($\sqrt{2\cdot 5-1}=\frac{1}{5}\cdot 5+2$) Merk op dat $(y^3)^2=y^6$. Dus de een is het kwadraat van de ander.Stel $y^3=x$Dan kan de vergelijking worden omgeschreven naar $x^2-7x+12=0$Deze kunnen we ontbinden in factoren: $(x-4)(x-3)=0$Er geldt dat $x-4=0 \vee x-3=0$En dus dat $x=4$ of $x=3$Maar $y^3=x$ dus $y^3=4 \vee y^3=3$Dit betekent dat $y=\sqrt[3]{4} \vee y=\sqrt[3]{3} $      c.Breng eerst de $x$ naar de andere kant: $\frac{3}{x+1}=11\frac{1}{4}-x$Trucje: $\frac{6}{2}=3$ en dus ook $6=2\cdot 3$.In ons geval krijgen we $3=(x+1)(11\frac{1}{4}-x)$Haakjes wegwerken geeft: $3=-x^2+10\frac{1}{4}x +11\frac{1}{4}$$3$ naar de andere kant en alles vermenigvuldigen met $-4$: $4x^2-41x-33=0$De discriminant is gelijk aan $(-41)^2-4\cdot 4\cdot 33=2209$De wortel van de discriminant is $\sqrt{2209}=47$.Oplossingen zijn dan $x=\frac{41+47}{8}=11$ en  $x=\frac{41-47}{8}=-\frac{3}{4}$Beide oplossingen zijn echte oplossingen want deze waarde kun je invullen voor $x$ zonder dat de noemer gelijk wordt aan $0$.      d. We kunnen $2x(x^2-4)=4x^3-8x^2$ schrijven als $A\cdot B=C$ maar daarvoor hebben we geen standaard oplossingsmethodeDe rechterkant kunnen we wel herleiden: $4x^3-8x^2=2x(2x^2-4x)$We krijgen dan $2x(x^2-4)=2x(2x^2-4x)$ en dit is te schrijven als $A\cdot B=A\cdot C$Dit heeft als oplossing $A=0 \vee B=C$Dit geeft $2x=0 \vee x^2-4=2x^2-4x$Oplossen geeft $x=0 \vee x^2-4x+4=0$Er is dus een oplossing $x=0$ en de andere oplossingen krijgen we door te ontbinden: $(x-2)(x-2)=0$De oplossingen zijn dus $x=0 \vee x=2$Alternatief: Werk de haakjes weg van $2x(x^2-4)=4x^3-8x^2$: $2x^3-8x=4x^3-8x^2$Haal alles naar een kant: $2x^3-8x^2+8x=0$Haal $2x$ buiten haakjes: $2x(x^2-4x+4)=0$Dit geeft $2x=0 \vee x^2-4x+4=0$Zie nu de uitwerking hierboven   De grafiek van $i$ heeft als enige een beginpunt. Dit is dus de wortelfunctie $\sqrt{2x-1}$. De x-coördinaat van het beginpunt is de $x$ waarvoor geldt dat $2x-1=0$. Dit is bij $x=0.5$. Dit klopt ook in de grafiek. De grafiek van $j(x)$ heeft als enige een asymptoot. Dit is dan de grafiek van functie $2\cdot 0,5^x$. De groeifactor is kleiner dan $1$ dus het is een dalende functie. Dit klopt met de grafiek. Bij $x=0$ vinden we het beginpunt $2$. Ook dit komt overeen met de grafiek. Er zijn twee parabolen: $h$ en $g$. De grafiek van $(x-2)(x+3)$ heeft snijpunten in $x=2$ en $x=-3$. Dit komt overeen met $g$.De grafiek van $h$ heeft een top in $(2,0)$. Dit komt overeen met de functie $2(x-2)^2$. Immers $a(x-p)^2+q$ heeft als top $(p,q)$. de grafiek van $f$ blijft over. Deze heeft een maximum en een minimum. Dit komt overeen met de derdegraadsfunctie $x^3-4x^2+4$. Het domein is $[2, \to \rangle$. Het bereik is $\langle \gets, 3]$. Door een verschuiving omhoog of omlaag verandert de x-coördinaat van een beginpunt niet. Door een verschuiving naar links of rechts wel.De standaard wortelfunctie (in de grafiek hieronder $h(x) )$ heeft als x-coördinaat van het beginpunt $x=0$. De grafiek hierboven heeft als beginpunt $x=2$. De standaard wortelfunctie is dus $2$ naar rechts verschoven: $g(x) = \sqrt{x-2}$In de grafiek van $f(x)$ gaan we vanaf het beginpunt $2$ naar rechts en $3$ naar boven. In de grafiek van $g(x)$ gaan we $2$ naar rechts en $0$ naar boven. Dit impliceert een vermenigvuldiging ten opzichte van de x-as met $-1$: $i(x)=-\sqrt{x-2}$ De laatste stap is de verschuiving omhoog. Het beginpunt wordt $3$ omhoog verschoven, en dus de hele grafiek. De functie is nu $f(x)=3-\sqrt{x-2}$. Los op: $3-\sqrt{x-2}=2x-1$Isoleren de term met de wortel: $-\sqrt{x-2}=2x-4$.Kwadrateren links en rechts: $x-2=4x^2-16x+16$.Breng alles naar een kant: $4x^2-17x+18=0$.De discriminant $D=(-17)^2-4\cdot 4\cdot 18=1$Oplossingen zijn $x_1=\frac{17+1}{8}=2,25$ en $x_2=\frac{17-1}{8}=2$$x=2,25$ is geen echte oplossing want $3-\sqrt{2,25-2}\neq 2\cdot 2,25-1$.Conclusie: de oplossing is $x=2$ (Tip: kun je dat uit de grafieken halen van $f(x)$ en $2x-1$?) $x=-1$ is een verticale asymptoot. Dit mag je niet invullen in de functie want dan is de noemer gelijk aan $0$. Het domein is dan $\langle \gets, -1 \rangle\cup \langle -1, \to \rangle$.Als $x$ heel groot wordt dan gaat $\frac{4}{x+1}$ naar $0$ en dus $4-\frac{4}{x+1}$ naar $4$.De horizontale asymptoot is $y=0$. Het bereik is dan $\langle \gets, 0 \rangle\cup \langle 0, \to \rangle$.  $x=4$ is een verticale asymptoot. Dit mag je niet invullen in de functie want dan is de noemer gelijk aan $0$. Het domein is dan $\langle \gets, 4 \rangle\cup \langle 4, \to \rangle$.Als $x$ heel groot wordt dan gaat $\frac{x}{4-x}$ naar $-1$ (de $4$ in de noemer heeft geen invloed meer als $x$ heel groot: $\frac{x}{4-x}\approx \frac{x}{-x}=-1$) De horizontale asymptoot is $y=-1$. Het bereik is dan $\langle \gets, -1 \rangle\cup \langle -1, \to \rangle$.  Beide grafieken hebben zowel een horizontale als een verticale asymptoot. Schuif de standaard gebroken functie $\frac{1}{x}$ $1$ naar links: $\frac{1}{x+1}$.Vermenigvuldig ten opzichte van de x-as met $-4$: $-4\cdot \frac{1}{x+1}=- \frac{4}{x+1}$.Schuif met $4$ omhoog: $- \frac{4}{x+1}+4= 4- \frac{4}{x+1}$.      e.Maak van de $-1$ in de functie $-1-\frac{4}{x-4}$ een breuk (zorg dat de breuken gelijknamig worden:$-1-\frac{4}{x-4}=\frac{-1\cdot (x-4)}{x-4}-\frac{4}{4-x}=\frac{-x+4}{x-4}-\frac{4}{4-x}=\frac{-x}{4-x}=\frac{x}{4-x}$Noreen heeft gelijk.      f.Uit vraag e. weten we dat $g(x)=-1-\frac{4}{x-4}$.Ga uit van de standaard gebroken functie: $\frac{1}{x}$. Verschuif eerst $4$ naar rechts: $\frac{1}{x-4}$Vermenigvuldig met $-4$ ten opzichte van de x-as: $-4\cdot \frac{1}{x-4}=-\frac{4}{x-4}$Verschuif nu $-1$ naar beneden: $-1-\frac{4}{x-4}$.      g. Los exact op: $4-\frac{4}{x+1}=\frac{x}{4-x}$Schrijf de linkerkant als één breuk: $\frac{4x+4}{x+1}-\frac{4}{x+1}=\frac{x}{4-x}$ oftewel $\frac{4x}{x+1}=\frac{x}{4-x}$Kruislings vermenigvuldigen geeft: $16x-4x^2=x^2+x$Alles naar één kant brengen: $5x^2-15x=0$$5x$ buiten haakjes brengen: $5x(x-3)=0$Dit geeft $5x=0 \vee x-3=0$Conclusie: er zijn twee oplossingen: $x=0$ en $x=3$.(Tip: controleer de oplossingen door in te vullen of door te kijken naar de grafieken)