Nova Natuurkunde MAX deel A - Hoofdstuk 2 - Elektriciteit oefentoetsen & antwoorden

In een stof die (veel) vrije elektronen bevat, kunnen de elektronen zich verplaatsen (in aanwezigheid van een spanningsveld); dat wil zeggen dat er een stroom doorheen kan lopen. Deze stoffen noemen we geleiders.In een stof waar de elektronen geen bewegingsvrijheid hebben (gebonden zijn aan een atoom/molecuul), zal geen stroom kunnen lopen. Deze noemen we isolators. De stroomsterkte (I) is gelijk aan de hoeveelheid lading (Q) die per tijdseenheid (t) langs een punt stroomt: $I=\frac{Q}{t}$Uitgedrukt in eenheden staat er: de hoeveelheid Ampère ($A$) is gelijk aan de hoeveelheid Coulomb ($C$) die per seconde ($s$) langs stroomt.De spanning ($U$) is gelijk aan de hoeveelheid energie ($\Delta E$), die per lading ($Q$), tussen twee punten afneemt/toeneemt: $U=\frac{\Delta E}{\Delta Q}$ Uitgedrukt in eenheden staat er: de hoeveelheid Volt (V) is gelijk aan de hoeveelheid Joule (J) die per Coulomb (C) tussen twee punten afneemt/toeneemt. De interne weerstand van een spanningsmeter is zeer hoog waardoor er geen (nauwelijks) stroom doorheen loopt. Deze parallel over een weerstand plaatsen zal de schakeling dus niet beïnvloeden. Onthoud: Je meet de spanning over een weerstand.Toevoeging: Bij een stroommeter is het net andersom. De interne weerstand van een stroommeter is zeer klein waardoor de stroom er zonder moeite doorheen kan stromen. Deze in serie zetten met een weerstand zal de schakeling dus niet beïnvloeden. Je meet daarom de stroom door een weerstand.$R=\frac{U}{I}$.De juiste koppelingen zijn:PTC: de weerstand neemt toe als de temperatuur van de weerstand toeneemt.NTC: de weerstand neemt af als de temperatuur van de weerstand toeneemt.LDR: de weerstand neemt af als er licht op valt.diode: laat stroom alleen in één richting door.led: laat stroom alleen in één richting door en zendt daarbij licht uit. De linker schakeling is een serieschakeling. De stroom die door de eerste weerstand stroomt, zal ook door de tweede weerstand moeten stromen (de stroom kan nergens anders heen). De stroom door beide weerstanden is dus in een serieschakeling gelijk. De spanning zal zich verdelen over de weerstanden.Rechts zie je een parallelschakeling. In een parallelschakeling (van 2 weerstanden en een spanningsbron) zijn beide weerstanden eigenlijk direct op de spanningsbron aangesloten en beide weerstanden zullen dus dezelfde spanning als de spanningsbron ervaren. De stroom zal zich hier over de twee takken van de schakeling verdelen. De drie draden die naar een geaard stopcontact lopen zijn de fasedraad, de nuldraad en de aarddraad. Alleen op de fasedraad staat spanning, dus deze heeft de elektricien als derde geraakt. Over de volgorde van de nuldraad en aarddraad is hier niet te zeggen. (Schakeldraden worden alleen gebruikt als er een schakelaar gebruikt wordt (doorgaans alleen bij lichtpunten) en daar is hier geen sprake van.) In Joule:Gegeven: $P = 5 \times 5 \, W = 25 \, W$; $t = 4 \, uur \cdot 365 \, dagen \cdot 3600 \, s \approx 5.256 \cdot 10^6 \, s$ Gevraagd: $E$Formule: $E = P \cdot t$Berekening: $E = P \cdot t = 25 \cdot 5.256 \cdot 10^6 = 1.31 \cdot 10^8 \, J$ In kWh:Gegeven: $P = 25 \, W = 0.025 kW$ Gevraagd: $t = 4 \, uur \cdot 365 \, dagen = 1460 \, uur$ Formule: $E = P \cdot t$Berekening: $E = P \cdot t = 0.025 \, kW \cdot 1460 \, uur = 36.5 \, kWh$ Het is ook mogelijk om het antwoord in $J$ direct om te rekenen naar $kWh$. Begin met het antwoord in Joule, inclusief alle decimalen.Door dat getal te delen met 1000 wordt de eenheid $kJ$Door dat wederom te delen met het aantal seconden in een uur, $3600 \, s/uur$, wordt de eenheid $kWh$. In één stap deel je $1.314 \cdot 10^8 \, J$ met $3 \, 600 \, 000 \, s/uur$: $E = \frac{1.314 \cdot 10^8 \, J}{1000 \cdot 3600 \, s/uur} = \frac{1.314 \cdot 10^8 \, J}{3 \, 600 \, 000 \, s/uur} = 36.5 \, kWh$ Bij een Ohmse weerstand verdubbeld de stroomsterkte als de spanning verdubbeld: I2 batterijen=2⋅I1 batterij=2×0.02 A=0.04 AI_{2 \, batterijen} = 2 \cdot I_{1 \, batterij} = 2 \times 0.02 \, A = 0.04 \, AI2batterijen​=2⋅I1batterij​=2×0.02A=0.04A.Dit kan ook met een berekening worden aangetoond: Gegeven: U1×batterij=5VU_{1 \times batterij} = 5VU1×batterij​=5V, I1×batterij=0.02 AI_{1 \times batterij} = 0.02 \, AI1×batterij​=0.02AGevraagd: I2×batterijenI_{2 \times batterijen}I2×batterijen​Formules: De grootte van de Ohmse weerstand in de stroomkring wordt berekend met U=I⋅RU = I \cdot RU=I⋅R. Omschrijven geeft: R=UIR = \frac{U}{I}R=IU​.Berekening: R=U1×batterijI1×batterij=5 V0.02 A=250 ΩR = \frac{U_{1 \times batterij}}{I_{1 \times batterij}} = \frac{5 \, V}{0.02 \, A} = 250\ \OmegaR=I1×batterij​U1×batterij​​=0.02A5V​=250 Ω Met twee batterijen in serie wordt de spanning U2×batterijen=2×5 V=10 VU_{2 \times batterijen} = 2 \times 5 \, V = 10 \, VU2×batterijen​=2×5V=10V De stroomsterkte is danI2×batterijen=U2×batterijenR=10 V250 Ω=0.04 AI_{2 \times batterijen} = \frac{U_{2 \times batterijen}}{R} = \frac{10 \, V}{250 \, \Omega} = 0.04 \, AI2×batterijen​=RU2×batterijen​​=250Ω10V​=0.04A. Dit is twee keer zo groot als de oorspronkelijke stroomsterkte.Conclusie: I2 batterijen=0.04 AI_{2 \, batterijen} = 0.04 \, AI2batterijen​=0.04A. De formule voor geleidbaarheid luidt: G=1RG = \frac{1}{R}G=R1​ en. I=G⋅UI = {G} \cdot{U}I=G⋅U. Als je aanneemt dat de Ohmse weerstand gelijk blijft, blijft de geleidbaarheid ook gelijk. Als dan de spanning toeneemt (verdubbelt) zou de stroom ook moeten verdubbelen, er is immers een recht evenredig verband tussen III en U. Je kunt het ook aantonen met een berekening:G=1R=1250=0,00400 Ω−1G = \frac{1}{R} = \frac{1}{250} = 0,00400\ \Omega^{-1}G=R1​=2501​=0,00400 Ω−1I=G⋅U=0,004⋅10=0,040 AI = {G} \cdot{U} = 0,004 \cdot{10} = 0,040\,AI=G⋅U=0,004⋅10=0,040A en dat is hetzelfde antwoord als in a). Daarmee heb je aangetoond dat het klopt. De weerstand voldoet aan de wet van Ohm als de stroomsterkte door de weerstand verdubbeld als de spanning over de weerstand verdubbeld. Dat is niet het geval, want de stroomsterkte wordt 1,5x zo groot bij een verdubbeling van de spanning. De weerstand voldoet dus niet aan de wet van Ohm. Het verband $U = I \cdot R$ is altijd geldig, maar bij een niet-ohmse weerstand kan de formule alleen gebruikt worden op één bepaald moment: ofwel vóór de verdubbeling van spanning, ofwel erna. Omdat de diameter van de dikste draad dubbel zo groot is, is de oppervlakte (A) van de doorsnede 4 keer zo groot. De weerstand van de dikste draad zal daarom 4 keer zo klein zijn.Dit volgt uit de formule: $R=\frac{\rho \cdot l}{A}$ (BINAS 35D1). De voorwaarde voor een denkbeeldig doosje van de vervangingsweerstand is dat er alleen maar één draad in- en één draad uitgaat. Als er meerdere draden in óf uit gaan dan kan de vervangingsweerstand niet berekend worden. Zoek dan of je een ander doosje kan tekenen.Gegevens: $R_1 = 11 \Omega$, $R_2 = 2 \Omega$Gevraagd: $R_{tot}$ of $R_v$Formules: De weerstanden staan in serie. Voor twee weerstanden ($R_1$ en $R_2$) in serie is de spanning over beide weerstanden gelijk aan de som van de spanning over iedere individuele weerstand. De stroom is door beide weerstanden gelijk. De vervangingsweerstand $R_{tot}$ in een serieschakeling is:$R_{tot} = \frac{U_{tot}}{I_{tot}} = \frac{U_1 + U_2}{I_{tot}} = \frac{U_1}{I_{tot}} + \frac{U_2}{I_{tot}} = R_1 + R_2$Berekening: $R_{tot} = R_1 + R_2 = 11 + 2 = 13 \Omega$Gegevens: $R_1 = 50 \Omega$, $R_2 = 25 \Omega$Gevraagd: $R_{tot}$ of $R_v$Formules: Voor twee weerstanden in parallel verdeelt de stroom zich over de twee richtingen en is de spanning over beide weerstanden gelijk. Met de geleidbaarheid ($G$) kunnen we de vervangingsgeleidbaarheid $G_{tot}$ op dezelfde manier berekenen als bij (b): $G_{tot} = \frac{I_{tot}}{U_{tot}} = \frac{I_1 + I_2}{U_{tot}} = \frac{I_1}{U_{tot}} + \frac{I_2}{U_{tot}} = G_1 + G_2$Omdat $G = \frac{1}{R}$ is de vervangingsweerstand $R_{tot}$ in een parallelschakeling: $\frac{1}{R_{tot}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$Berekening: $\frac{1}{R_{tot}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} = \frac{1}{50} + \frac{1}{25} = 0.06$Er is niet gevraagd om $\frac{1}{R_{tot}}$, maar om $R_{tot}$. Er staan nu eigenlijk:$\frac{1}{R_{tot}} = \frac{0.06}{1}$. Deze breuken kunnen we beide omkeren:$\frac{R_{tot}}{1} = \frac{1}{0.06} \rightarrow R_{tot} = \frac{1}{0.06} = 17 \Omega$Conclusie: $R_{tot} = 17 \Omega$ Schakeling 1:Gegeven: $R_{tot}=13 \ \Omega$,  $U=24 \ V$Gevraagd: $I_{bron}$Formules: $I_{bron}=U/R$Berekening: $I_{bron}=24/13=1,846 \ A$Conclusie: $I_{bron}=1,8 \ A$Schakeling 2:Gegeven: $R_{tot}=17 \ \Omega$,  $U=24 \ V$Gevraagd: $I_{bron}$Formules: $I_{bron}=U/R$Berekening: $I_{bron}=24/17=1,412 \ A$ ($I_{bron}=1,44 \ A$ als je rekent met $R_{tot}=16,667 \ \Omega$)Conclusie: $I_{bron}=1,4 \ A$ Gegevens: $P = 75 W$$U = 230 \, V$$l = 65 \, cm = 0.65 \, m$ $R = 73 \, \Omega$ Gevraagd: Diameter, ofwel 2 keer de straalFormules: De weerstand van een draad wordt berekend met: $R = \frac{\rho \cdot l}{A}$. Omdat de draad rond is geldt: $A = \pi \cdot r^2$. Hierdoor is: $R = \frac{\rho \cdot l}{\pi \cdot r^2}$.Omschrijven geeft: $R \cdot \pi \cdot r^2 = \rho \cdot l$ en: $r^2 = \frac{\rho \cdot l}{R \cdot \pi} \rightarrow r = \sqrt{\frac{\rho \cdot l}{R \cdot \pi}}$Berekening: De lengte $l$ en de weerstand $R$ zijn gegeven.$\rho_{wolfraam} = 55 \cdot 10^{-9} \, \Omega m$ (BINAS tabel 8)Invullen geeft: $r = \sqrt{\frac{55 \cdot 10^{-9} \cdot 0.65}{73 \cdot \pi}} = 1.25 \cdot 10^{-5} \, m$Diameter = 2 keer de straal: $d = 2 \cdot r = 2.5 \cdot 10^{-5} \, m = 2.5 \cdot 10^{-2} \, mm$Conclusie: Diameter $= 2.5 \cdot 10^{-2} \, mm$ Gegevens: Er zijn geen nieuwe gegevens t.o.v. (a).Gevraagd: $R$ als de lamp aanstaat. Dan is $P = 75 \, W$ en $U = 230 \, V$.Formules: $R = \frac{U}{I}$ De spanning $U$ is gegevenDe stroomsterkte kunnen we met het vermogen berekenen: $P = U \cdot I \rightarrow I = \frac{P}{U}$. Berekening: Invullen geeft: $I = \frac{P}{U} = \frac{75}{230} = 0.326 \, A$De weerstand is dan: $R = \frac{U}{I} = \frac{230}{0.326} = 705 \Omega$Conclusie: $R = 705 \Omega$Als de lamp aanstaat neemt de temperatuur van de gloeidraad toe. We hebben in (b) geconstateerd dat de weerstand ook toeneemt.Bij een PTC geldt: de weerstand neemt toe als de temperatuur van de weerstand toeneemt. Gegevens:$I = 5.0 \cdot 10^{-3} \, A$$t = 1 \, jaar = 365 \, dagen \cdot 24 \, uren / dag = 8760 \, uren$ $1 kWh$ kost  € 0.24.Gevraagd: De kosten van het energieverbruik ($E$) in euro’s.Formules: De totale verbruikte energie wordt berekend met: $E = P \cdot t$.Het vermogen is: $P = U \cdot I$. Dit kunnen we uitrekenen omdat:De spanning uit het stopcontact is: $U = 230 \, V$.De stroom $I$ is gegeven. Berekening: Invullen geeft: $P = 230 \, V \cdot 5.0 \cdot 10^{-3} \, A = 1.15 \, W = 0.00115 \, kW$Dus: $E = P \cdot t = 0.00115 \, kW \cdot 8760 \, h = 10.1 \, kWh$Een andere methode is:$t = 8760 \, uur \cdot 3600 \, s / uur = 3.153 \cdot 10^7 \, s$ $E = P \cdot t$ en $P = U \cdot I$ worden samen $E = U \cdot I \cdot t$. Ingevuld: $E = 230 \cdot 5.0 \cdot 10^{-3} \cdot 3.63 \cdot 10^7 \, J$ Omgerekend naar $kWh$: $E = \frac{3.63 \cdot 10^7 \, J}{3 \, 600 \, 000 \, s / uur} = 10.1 \, kWh$ De kosten van $1 \, kWh$ is gegeven: $10.1 \, kWh \cdot$ € 0.24 $/ kWh =$ € $2.42$Conclusie: Het jaarlijkse energieverbruik kost: € $2.42$ Gegevens: Een elektron heeft 1 elementair ladingsquantum: $e = 1.6 \cdot 10^{-19} \, C$. Dit staat in BINAS tabel 7A.Het gaat om de lading per seconde, dus $t = 1 \, s$Gevraagd: Het aantal elektronen per secondeFormules: Het aantal elektronen is de totale lading gedeeld door de lading van één elektron: $N = \frac{Q}{q}$. Deze formule moet je zelf beredeneren. $q = - e$ staat in de gegevens. Omdat het gaat om een aantal doet het minteken er niet toe.De totale lading $Q$ kan berekend worden met: $I = \frac{Q}{t} \rightarrow Q = I \cdot t$.Berekening: $Q = I \cdot t = 5.0 \cdot 10^{-3} \, A \cdot 1 \, s = 5.0 \cdot 10^{-3} \, C$.Het aantal elektronen is dan: $N = \frac{Q}{q} = \frac{5.0 \cdot 10^{-3}}{1.6 \cdot 10^{-19}} = 3.125 \cdot 10^{16}$ elektronen.Conclusie: $N = 3.125 \cdot 10^{16}$ elektronen bewegen per seconde door de lamp dimmer. Gegeven: $R_1 = 10 \Omega$$R_2 = 16 \Omega$$R_3 = 3 \Omega$$R_4 = 2 \Omega$$R_5 = 20 \Omega$$U = 12 \, V$Gevraagd:  De stroom ($I_{tot}$) door de Ampèremeter.Formules: De stroom door de Ampèremeter wordt berekend met: $I = \frac{U}{R_{tot}}$.$U$ is gegeven.De vervangingsweerstand $R_{tot}$ moet berekend worden:de vervangingsweerstand van de weerstanden in serie kunnen bij elkaar worden opgeteld met: $R_{tot} = R_1 + R_2$. de vervangingsweerstand van de weerstanden in parallel wordt berekend met: $\frac{1}{R_{tot}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$.Je kunt ook de formules voor geleidbaarheid gebruiken(zeker bij de parallelle weerstanden. In dat geval had je de volgende formule kunnen gebruiken voor de totale geleidbaarheid: $G_{tot} = G_1 + G_2$.  (alleen bij parallel!!)Berekening: Stap 1: De vervangingsweerstanden die in serie staan worden bij elkaar opgeteld. Dit is altijd beter dan eerst de vervangingsweerstand van parallel geschakelde weerstanden bij elkaar op te tellen.$R_{12} = R_1 + R_2 = 10 + 16 = 26 \Omega$$R_{34} = R_3 + R_4 = 3 + 2 = 5 \Omega$Stap 2: Nu er in de parallelschakeling alleen “twee” weerstanden, $R_{34}$ en $R_5$ staan kan de vervangingsweerstand $R_{345}$ berekend worden.$\frac{1}{R_{345}} = \frac{1}{R_{34}} + \frac{1}{R_2} = \frac{1}{5} + \frac{1}{20} = 0.25 = \frac{0.25}{1}$Breuken omkeren geeft: $\frac{R_{345}}{1} = \frac{1}{0.25} \rightarrow R_{345} = \frac{1}{0.25} = 4 \Omega$Stap 3: de “twee” weerstanden, $R_{345}$ en $R_{12}$ zijn in serie en kunnen bij elkaar worden opgeteld:$R_{tot} = R_{12345} = R_{12} + R_{345} = 26 + 4 = 30 \Omega$. Stap 4: De stroom door de Ampèremeter is: $I = \frac{U}{R_{tot}} = \frac{12 \, V}{30 \Omega} = 0.4 \, A$.Conclusie:  $I = 0.4 \, A$  Gegeven: $R = 35\Omega$, $l = 80 m$, materiaal: Koper, Diameter haar = 0,060$mm$Gevraagd: Diameter koperdraad ($d$)Formules: De weerstand van een draad wordt berekend met: $R = \frac{\rho \cdot l}{A}$.  Omdat de draad rond is geldt: $A = \pi \cdot r^2$. Hierdoor is: $R = \frac{\rho \cdot l}{\pi \cdot r^2}$.Omschrijven geeft: $R \cdot \pi \cdot r^2 = \rho \cdot l$ en: $r^2 = \frac{\rho \cdot l}{R \cdot \pi} \rightarrow r = \sqrt{\frac{\rho \cdot l}{R \cdot \pi}}$. Binas Tabel 8: $\rho_{koper} = 17 \cdot{10^{-9}} \Omega m$Berekening:  $r = \sqrt{\frac{\rho \cdot l}{R \cdot \pi}}$ invullen:$r = \sqrt{\frac{17 \cdot 10^{-9} \cdot 80}{35 \cdot \pi}} = 1,112 \cdot 10^{-4} \, m \rightarrow d = 2r = 2,224 \cdot{10^{-4}} \ m = 0,22 \ mm$Conclusie: ruim 3 keer zo dik als een haar. Gegeven: $P = 7,1 \cdot{10^9}W$, $R = 35\Omega$Gevraagd: afleiding van: $P = \frac{U^2}{R}$, Spanning $U$Formules: $P = U \cdot I$, $R = \frac{U}{I}$ Afleiding: $R = \frac{U}{I} \rightarrow I = \frac{U}{R}$Formules samenvoegen: $P = U \cdot{\frac{U}{R}} \rightarrow \, P = \frac{U^2}{R}$.Berekening: Eventueel eerst de formule omschrijven en invullen: $P = \frac{U^2}{R}$ → $U = \sqrt{P\cdot R} = \sqrt{7,1\cdot 10^9\cdot 35}$Conclusie: $U = 5,0\cdot{10^5}V$Een  weerstand waarbij de weerstandswaarde toeneemt bij een toenemende temperatuur noemt men een PTC. Hier is het belangrijk je te realiseren dat de capaciteit gelijk staat aan de opgeslagen energie. Dit is goed te zien aan de eenheid Wh, een vermogen (W) maal een tijd (h)… Door de energie van de bliksem uit te rekenen in de eenheid Wh, is het vrij gemakkelijk het aantal oplaadbare telefoons te berekenenGegeven: vermogen en tijd “bliksem”: $P=7,1\cdot 10^9 \ W$, $t=1,4\cdot 10^{-5} \ s$, Capaciteit telefoon: $E=9,88 \ Wh$Gevraagd: Aantal keer dat je je telefoon zou kunnen opladen met 1 “bliksem”.Formules: $E=P\cdot t$Berekening:$E_{bliksem}=P\cdot t=7,1\cdot 10^9\cdot (\frac{1,4\cdot 10^{-5}}{60\cdot 60})=27,611 \ Wh$ (seconden omrekenen naar uren is hier in de formule gedaan!)Aantal telefoons=$\frac{27,611}{9,88}=2,79$Conclusie: je kunt er 2 telefoons volledig mee opladen. Let op! Niet afronden naar 3, want je kunt er nog geen 3 telefoons mee opladen. Alternatieve berekeningen zijn hier om alles in Joules of kWh om te zetten.  Gegeven: $P=180 \ W$, $U=12,8 \ V$, verdeeld over 13 parallelle dradenGevraagd: Weerstand van 1 draadFormules: $P=U\cdot I$, $R=U/I$, $G=\frac{1}{R}=I/U$ Parallelschakeling: $G_{vervang}=G_1+G_2+...$, $I_{totaal}=I_1+I_2+...$, $U_{bron}=U_1=U_2=...$Berekening: Totale stroom: $I=P/U =180/12,8=14,06 \ A$ Parallel met 13 gelijke weerstanden. De stroom wordt hier eerlijk verdeeld, dus per draad: $I_{1 \ draad}=14,06/13=1,0817 \ A$. Parallel, dus spanning gelijk aan de bronspanning: $R=U/I=12,8/1,0817=11,833$ Conclusie: $R=11,8 \ \Omega$ klopt. Een alternatieve manier is om eerst de vervaningsgeleidbaarheid te berekenen, dat te delen door 13 (ivm het aantal draden), en dan de weerstand te bepalen: $I=P/U =180/12,8=14,06 \ A$$G_{vervang}=I/U=14,06/12,8=1,0986 \ S$$G_{1 \ draad}=G_{vervang}/13=0,0845 \ S$$R=1/G=1/0,0845=11,833$Dus $R=11,8 \ \Omega$De stroomsterkte die de accu dan levert, is kleiner dan ervoor want de stroom door de kapotte draad valt weg en de stroomsterkte door de andere draden verandert niet.