Moderne Wiskunde B 12e ed/FLEX deel 1 - Hoofdstuk 4 - Exponentiële functies oefentoetsen & antwoorden

Voor alle functies geldt dat voor x=0x=0x=0 de y-waarde gelijk is aan 333 behalve bij de functie  i(x)=2⋅0,75xi(x)=2\cdot 0,75^xi(x)=2⋅0,75x, daar is de y-waarde voor x=0x=0x=0 gelijk aan 222. Bij deze functie hoort dus grafiek AAA. Als g<1g<1g<1 dan hebben we een dalende grafiek. Alleen h(x)h(x)h(x) en i(x)i(x)i(x) hebben een dalende grafiek maar i(x)i(x)i(x) hoort bij AAA. Dus h(x)h(x)h(x) hoort bij BBB. De andere twee grafieken zijn stijgend want de groeifactor g>1g>1g>1. De grafiek van een functie met een groeifactor van g=6g=6g=6 gaat sneller omhoog dan een  grafiek van een functie met een groeifactor van g=2g=2g=2. Dus DDD hoort bij f(x)f(x)f(x) en CCC bij g(x)g(x)g(x).           Dit is een vermenigvuldiging tov de x-as met 333.Voor vermenigvuldiging met factor ccc geldt immers, uitgaande van f(x)f(x)f(x), dat de nieuwe functie c⋅f(x)c\cdot f(x)c⋅f(x) wordt. Dit is een verschuiving omhoog met 666.Voor een verschuiving omhoog met bbb geldt immers, uitgaande van f(x)f(x)f(x), dat de nieuwe functie f(x)+bf(x)+bf(x)+b wordt.Dit is een verschuiving naar links met 555.Voor een verschuiving naar rechts met aaa geldt immers, uitgaande van f(x)f(x)f(x), dat de nieuwe functie f(x−a)f(x-a)f(x−a) wordt.Dit is een verschuiving naar omhoog met 222 en dan een vermenigvuldiging met 444 ten opzichte van de x-as. Dan wordt 2x2^x2x eerst 2x+2 2^x+22x+2 en dan 4⋅(2x+2)=4⋅2x+84\cdot (2^x+2)=4\cdot 2^x+84⋅(2x+2)=4⋅2x+8Wat ook kan: eerst een vermenigvuldiging met 444 ten opzichte van de x-as en dan een verschuiving met 888 omhoog. Dan wordt 2x2^x2x eerst 4⋅2x 4\cdot 2^x4⋅2x en dan 4⋅2x+84\cdot 2^x+84⋅2x+8 De (horizontale) asymptoot krijg je door te kijken wat er gebeurt met de grafiek als de x-waarde naar oneindig gaat of naar min oneindig.  Als $x$ heel groot wordt gaat $f(x)$ naar $0$. Je neemt immers steeds de helft.  De asymptoot is $y=0$.Als $x$ een heel groot negatief getal wordt gaat $g(x)$ naar $-1$. Neem als voorbeeld $x=-1000$, dan $g(-1000)=0,5\cdot 2^{-1000}-1=0,5\cdot \frac{1}{2^{1000}}-1$. De term $0,5\cdot \frac{1}{2^{1000}}$ gaat naar $0$ en dus $0,5\cdot \frac{1}{2^{1000}}-1$ naar $-1$. De asymptoot is $y=-1$.De grafieken kunnen alle x-waarden aannemen, dus het bereik is $D_f=D_g=\mathbb{R}$De grafiek van $f(x)$ ligt geheel boven de $x-as$. Het bereik is dus $B_f=[ 0 , \to \rangle$De grafiek van $g(x)$ ligt geheel boven de lijn $y=-1$. Het bereik is dus $B_g=[ -1 , \to \rangle$Vul de waarden van $x$ in in de functies:$x$$-2$$-1$$0$$1$$2$$3$$f(x)$$8$$4$$2$$1$$0,5$$0,25$$g(x)$$-0,875=-\frac{7}{8}$$-0,75$$-0,5$$0$$1$$3$Invoer:$y_1=2\cdot 0,5^x$ en $y_2=0,5\cdot 2^x-1$Venster: $-3 \leq x \leq 3$ en   $-3 \leq y \leq 3$   Optie intersect geeft $x \approx 1,69$.De eerste transformatie geeft $h^*(x)=f(x-3)= 2\cdot 0,5^{x-3}$De tweede transformatie geeft  $h(x)=2\cdot h^* =2\cdot (2\cdot  0,5^{x-3})=4\cdot 0,5^{x-3}$De eerste transformatie geeft $i^*(x)=3\cdot g(x)= 3\cdot (0,5\cdot 2^x-1)=1,5\cdot 2^x-3$De tweede transformatie geeft  $i(x)= i^*-2 =1,5\cdot 2^x-5$ Werk eerst het percentage om naar de groeifactor met de formule g=1+p100g=1+\frac{p}{100}g=1+100p​. De groeifactor is 1,0171,0171,017Een uur is een zesde deel van 666 uur. De groeifactor per uur is 1,01716≈1,0031,017^{\frac{1}{6}} \approx 1,0031,01761​≈1,003 (1,002811,002811,00281)De groeifactor is 1,0171,0171,017Een dag is vier keer 666 uur. De groeifactor per uur is 1,0174≈1,0701,017^4\approx 1,0701,0174≈1,070 (1,069751,069751,06975). $f(x)=12\cdot 3^{2x+2}=12\cdot 3^{2x} \cdot 3^2=12\cdot 3^{2x}\cdot 9= 108\cdot 3^{2x}$ Schrijf $3^{2x}$ als $(3^2)^x=9^x$. Dan $108\cdot 3^{2x}= 108\cdot 9^x$Schrijf $(9)^{2-\frac{1}{2}x}$ als $9^2 \cdot (9)^{-\frac{1}{2}x}=81 \cdot (9)^{-\frac{1}{2}x}$$\frac{2}{81}\cdot (9)^{2-\frac{1}{2}x}$ wordt dan $2\cdot  (9)^{-\frac{1}{2}x}$$(9)^{-\frac{1}{2}x}=\left( 9^{-1}\right )^{\frac{1}{2}x}=\left(\frac{1}{9}\right )^{\frac{1}{2}x}$Dit kan worden herschreven tot $\left (\frac{1}{9}^{\frac{1}{2}}\right) ^x=\left( \frac{1}{3} \right) ^x$Conclusie: $f(x)$ kan worden herschreven tot $2\cdot  \frac{1}{3} ^x$. Zorg er eerst voor dat de grondtallen gelijk zijn: $5^{x-7}=5^3$ Als $g^a=g^b$ dan is $a=b$ dus $x-7=3$Conclusie: $x=10$ Schrijf beide kanten om met groeifactor $3$ $\frac{1}{3}=3*{-1}$, dus de linkerkant kan worden geschreven als $(\frac{1}{3})^{x+2}=\left(3^{-1}\right)^{x+2}=3^{-x-2}$. De rechterkant is te schrijven als $27^{\frac{1}{2}}=\left( 3^3\right)^{\frac{1}{2}}=3^{\frac{3}{2}}$Als $g^a=g^b$ dan $a=b$ dus uit $3^{-x-2}=3^{\frac{3}{2}}$ volgt $x-2=\frac{3}{2}$Hieruit volgt dat $x= 3 \frac{1}{2}$Breng eerst de 8 van links naar rechts: $2^{x-3}=8=2^3$Nu is $x-3=3$ en hieruit volgt dat $x=6$Deel beide kanten door $3$. We krijgen $9\cdot \left ( \frac{1}{3} \right )^x= 9^{x-2}$.     Schrijf beide kanten om met grondtal $9$De rechterkant kan worden herschreven als $9\cdot \left ( 9^{-\frac{1}{2}} \right )^x=9^{-\frac{1}{2}x+1}$Er geldt nu dat $9^{-\frac{1}{2}x+1}=9^{x-2}$ dus $1\frac{1}{2}x=3$Hieruit volgt dat $x=2$. De formule is $B=b\cdot g^t$ waarin $B$ het vermogen is, $b$ de beginwaarde, $g$ de groeifactor en $t$ de tijd in jaren. De groeifactor 15 jaar is $\frac{56 miljard}{34 miljoen}$Per jaar is de groeifactor dan $\left( \frac{56 miljard}{34 miljoen} \right)^{\frac{1}{15}}$Dit is gelijk aan $1,639$De beginwaarde is $34$ miljoen op $t=0$ ($2004$).De formule is dan  $B=34000000\cdot 1,639^t$. We lossen de vergelijking op $2=4-2^{0,3x-2}$ Dit geeft $2=2^1=2^{0,3x-2}$Als $g^a=g^b$ dan $a=b$, hieruit volgt dat $0,3x-2-1$Hieruit volgt weer dat $0,3x=3$ en dus $x=10$. Eerst berekenen we punt $Q$ om de formule van de lijn op te kunnen stellenDe vergelijking  $4-2^{0,3x-2}=0$ lossen we op met de GR. Het hoeft immers niet exact. Invoer: $y_1=4-2^{0,3x-2}$Venster: $0\leq x\leq 30$ en   $0\leq y\leq 5$De oplossing is $x=13,33…$Nu kunnen we lijn $l$ opstellen. Dit is een lineaire formule van de vorm $y=ax+b$De richtingscoëfficiënt van lijn $l$ is $-\frac{5}{13,33…}=-0,375$Snijpunt met de y-as is $5$, dit is de waarde van $b$De formule van lijn $l$ wordt nu $y=-0,375x+5$We gaan nu de coördinaten van $S$ berekenenWe moeten de vergelijking $4-2^{0,3x-2}=-0,375x+5$ oplossenInvoer: $y_1=4-2^{0,3x-2}$ en $y_2=-0,375x+5$Venster: $0\leq x\leq 14$ en   $0\leq y\leq 5$De coördinaten van $S$ zijn $(4,30;3,39)$.Eerst passen we de transformaties toe: $g(x)$ wordt $g(x)=4-2^{0,3(x+20)-2}+10=14-2^{0,3x+4}$Dit kan worden herschreven als $14-2^{0,3x}\cdot 2^4=14-16\cdot 2^{0,3x}$Er geldt dus dat $a=14$ en $b=-16$Eerst passen we de transformaties toe: $g(x)$ wordt $g(x)=4-2^{0,3(x+20)-2}+10=14-2^{0,3x+4}$Dit kan worden herschreven als $14-2^{0,3x}\cdot 2^4=14-16\cdot 2^{0,3x}$Dit kan geschreven worden als $14-16\cdot 2^{0,3}\cdot 2^x=14-19,70\cdot 2^x$Er geldt dus dat $a=14$ en $b=-19,70$Eerst passen we de vermenigvuldiging toe: $2\cdot f(x)=2\cdot (4-2^{0,3x-2})=8-2\cdot 2^{0,3x-2}=8-2^{0,3x-1}$Vervolgens verschuiven we de grafiek $10$ naar rechts: we vervangen $x$ door $x-10$: $h(x)=8-2^{0,3(x-10)-1}=8-2^{0,3x-4}$ De groeifactor per zes uur is 77,185,8\frac{77,1}{85,8}85,877,1​Per uur is de groeifactor dan (77,185,8)16\left( \frac{77,1}{85,8} \right)^{\frac{1}{6}}(85,877,1​)61​Dit is gelijk aan 0,98230,98230,9823Dit is een daling van (1−0,9823)∗100(1-0,9823)*100%=1,77%(1−0,9823)∗100.Voor de temperatuur TTT geldt de exponentiële formule T=77,1⋅0,982tT=77,1\cdot 0,982^tT=77,1⋅0,982t(We ronden de groeifactor af op 333 decimalen). Hierin in ttt de tijd in uren vanaf het moment dat de thermosfles 121212 uur in de koeling staat.We moeten de vergelijking  77,1⋅0,982t≥6577,1\cdot 0,982^t\geq 6577,1⋅0,982t≥65 oplossen. We lossen in plaats daarvan de vergelijking op.Voer in op je GRInvoer: y1=77,1⋅0,982xy_1=77,1\cdot 0,982^xy1​=77,1⋅0,982x en y2=65y_2=65y2​=65Venster: 0\legx≤300\leg x\leq 300\legx≤30 en   0\legy≤1000\leg y\leq 1000\legy≤100Optie intersect geeft t=9,4t=9,4t=9,4Dit is na de eerste 121212 uur waarbij de temperatuur ook boven de  65∘C65^{\circ} C65∘C was. In totaal dus 212121 uur.