Moderne Wiskunde B 12e ed/FLEX deel 1 - Hoofdstuk 3 - Functies en grafieken oefentoetsen & antwoorden

a) $f(3)$ betekent de functiewaarde bij $x=3$.Je berekent de functiewaarde $f(3)$ door in het functievoorschrift $f(x)$ in te vullen $x=3$. b) Domein: Alle waarden van $x$ waarvoor een functiewaarde $f(x)$ bestaat, vormen samen het domein van $f$. Het domein van de functie $f$ kun je bepalen door na te gaan welke mogelijke waarden van $x$ je in het functievoorschrift mag invullen.Bereik: Alle functiewaarden die kunnen voorkomen, vormen het bereik van de functie $f$. Het bereik van een functie $f$ kun je bepalen door na te gaan welke mogelijke waarden de functie kan aannemen.c) Indien $f(x)$ een gebroken functie is, kun je onderzoeken of er een horizontale asymptoot is door waarden van $x$ te nemen die ver van $0$ in te vullend) Indien $f(x)$ een tweedegraadsfunctie of kwadratische functie is, geldt: $f(x)=ax^2+bx+c$, waarbij geldt $a\neq 0$. a) $f(x)=\frac{8}{x^4+2}$Bepalen domein:De noemer $x^4+2$ wordt nooit gelijk aan $0$. We kunnen dus alle waarden invullen voor $x$Het domein van $f(x)$ is $\mathbb{R}$.Bepalen bereik:$x^4 \geq 0$ voor alle $x$. Dan is de noemer $x^4+2 \geq 2$ voor alle $x$. De teller in de breuk $f(x)=\frac{8}{x^4+2}$ is gelijk aan $8$ voor alle $x$.De noemer in de breuk is gelijk aan $2$ voor $x=0$Voor toenemende en afnemende waarden van $x$ wordt de noemer steeds groter.De breuk $f(x)=\frac{8}{x^4+2}$ is dan altijd kleiner dan $4$. Immers als de teller in de breuk gelijk is aan $8$ voor alle $x$ en de noemer groter wordt dan $2$, dan is de breuk maximaal gelijk aan $4$. Als de noemer groter wordt, neemt de waarde van de breuk en dus de functiewaarde af. Dus het bereik is $\langle \gets, 4]$Conclusie: Het domein van $f$ is $\mathbb{R}$ en het bereik is $\langle \gets, 4]$.b) $g(x)=2x^2+6$Bepalen domein:De functie $g(x)=2x^2+6$ heeft een functiewaarde voor iedere willekeurige waarde van $x$.Het domein is $\mathbb{R}$Bepalen bereik: De functie $m(x)=x^2$ is een dalparabool met een top door de oorsprong.De functie $n(x)=x^2$ is een dalparabool met een top door de oorsprong. (het is dezelfde functie als de vorige alleen vermenigvuldigd met de $x$-as met een factor $2$, dus de parabool wordt smaller).De functie $g(x)=2x^2+6$ is hetzelfde als de functie $n(x)$ alleen $6$ omhoog geschovenDit betekent dat de grafiek van $g(x)$ een dalparabool is met een de top in het punt $(0,6)$.Conclusie: het domein van $g$ is $\mathbb{R}$ en het bereik is $[6, \to \rangle$. c) $h(x)=7-\sqrt{3x-9}$Bepalen domein:De term onder de wortel mag niet kleiner dan $0$ worden We lossen op $3x-9 \geq 0$Dit geeft $x\geq 3$.Dit is het domein: $[ 3, \to \rangle$Bepalen bereik:De term $\sqrt{3x-9}$ is $0$ of groter dan $0$.Als de term gelijk is aan $0$ dan is $7-\sqrt{3x-9}$ gelijk aan $7$.Als de term groter is dan $0$ dan is $7-\sqrt{3x-9}$ kleiner dan $7$.Het bereik is $\langle \gets, 7]$.Conclusie:Conclusie: het domein van $h$ is $[ 3, \to \rangle$ en het bereik van $h$ is $\langle \gets, 7]$ a) Horizontale asymptoot:Je kunt onderzoeken of er een horizontale asymptoot is door waarden van $x$ die ver van $0$ liggen in te vullen.Als je voor $x$ waarden invult die ver van $0$ liggen komt de waarde van de breuk $\frac{10}{2x-1}$ dicht bij $0$.dus $f(x)=7-\frac{10}{2x-1}$ komt dicht bij $7$.Horizontale asymptoot: $y=7$.Verticale asymptoot:Voor een verticale asymptoot kijk je naar waarden van $x$ waarvoor de noemer van de breuk in een gebroken functie gelijk is aan $0$:In de breuk $\frac{10}{2x-1}$  geldt dat de noemer $2x-1=0$ als $x=\frac{1}{2}$Verticale asymptoot:  $x=\frac{1}{2}$b) Horizontale asymptoot:Je kunt onderzoeken of er een horizontale asymptoot is door waarden van $x$ die ver van $0$ liggen in te vullen.Als je voor $x$ waarden invult die ver van $0$ liggen komt de waarde van de breuk $\frac{4}{x^2-4x-5}$ dicht bij $0$.dus $g(x)=2-\frac{4}{x^2-4x-5}$ komt dicht bij $2$.Horizontale asymptoot: $y=2$.Verticale asymptoot:Voor een verticale asymptoot kijk je naar waarden van $x$ waarvoor de noemer van de breuk in een gebroken functie gelijk is aan $0$:In de breuk $\frac{4}{x^2-4x-5}$ is de noemer $x^2-4x-5=0$ als $(x-5)(x+1)=0$ of $x=5 \vee x=-1$ Verticale asymptoten: $x=-1$ en $x=5$. De grafiek van iii heeft als enige een beginpunt. Dit is dus de wortelfunctie 2x−1\sqrt{2x-1}2x−1​. De x-coördinaat van het beginpunt is de xxx waarvoor geldt dat 2x−1=02x-1=02x−1=0. Dit is bij x=0.5x=0.5x=0.5. Dit klopt ook in de grafiek.De grafiek van j(x)j(x)j(x) heeft als enige een asymptoot. Dit is dan de grafiek van functie 2⋅0,5x2\cdot 0,5^x2⋅0,5x. De groeifactor is kleiner dan 111 dus het is een dalende functie. Dit klopt met de grafiek. Bij x=0x=0x=0 vinden we het beginpunt 222. Ook dit komt overeen met de grafiek.Er zijn twee parabolen: ggg en hhh. De grafiek van (x−2)(x+3)(x-2)(x+3)(x−2)(x+3) heeft snijpunten in x=2x=2x=2 en x=−3x=-3x=−3. Dit komt overeen met ggg.De grafiek van hhh heeft een top in (2,0)(2,0)(2,0). Dit komt overeen met de functie 2(x−2)22(x-2)^22(x−2)2. Immers a(x−p)2+qa(x-p)^2+qa(x−p)2+q heeft als top (p,q)(p,q)(p,q)De grafiek van fff blijft over. Deze heeft een maximum en een minimum. Dit komt overeen met de derdegraadsfunctie x3−4x2+4x^3-4x^2+4x3−4x2+4. a) $(x+5)^2=(x+5)(2x+7)$We schrijven de vergelijking in de vorm:$(x+5)(x+5)=(x+5)(2x+7)$We herkennen nu de vorm $A \cdot B =A \cdot C$. Dus een oplossing is $B=C$:$x+5=2x+7$$x=-2$Tip: controleer je antwoord door de gevonden waarde voor $x$ te substitueren in de oorspronkelijke vergelijking en ga na dat de gevonden waarde voor $x$ voldoet.b)$\sqrt{2x-1}=\frac{1}{5}x+2$.Links en rechts kwadrateren:$2x-1=(\frac{1}{5}x+2)^2$$2x-1=\frac{1}{25}x^2+\frac{4}{5}x+4$Alles naar een kant halen en alles vermenigvuldigen zodat de breuk voor $x^2$ verdwijnt: $\frac{1}{25}x^2- 1\frac{1}{5}x+5=0$$x^2- 30x+125=0$Ontbinden in factoren: $(x-5)(x-25)=0$$x-5=0 \vee x-25=0$$x=5 \vee x=25$Vul de gevonden oplossingen in de oorspronkelijke vergelijking en ga na dat beide oplossingen voldoen.Conclusie: $\sqrt{2x-1}=\frac{1}{5}x+2$ heeft als oplossingen van $x-5=0 \vee x-25=0$c) $\frac{3x^2+2}{4x^2-7x-16}-1=0$.Herschrijf de vergelijking. Werk de noemer in de breuk weg, door links en rechts te vermenigvuldigen met ${4x^2-7x-16}$:$\frac{3x^2+2}{4x^2-7x-16}=1$$(3x^2+2)=(4x^2-7x-16)$Breng alles naar één kant:$x^2-7x-18=0$Ontbind in factoren:$(x+2)(x-9)=0$$x=-2 \vee x=9$Vul de gevonden oplossingen in de oorspronkelijke vergelijking en ga na dat beide oplossingen voldoen.Conclusie: $x=-2 \vee x=9$ zijn oplossingen van $\frac{3x^2+2}{4x^2-7x-16}-1=0$. a) Bepalen domein:De noemer $x-1$ mag niet gelijk zijn aan $0$. We kunnen dus alle waarden $x$ uitgezonderd de waarde $x=1$Het domein van $f$ is $\langle \gets,1 \rangle \bigcup \langle 1, \rangle$.Bepalen bereik:Voor toenemende waarden van $x$ nadert $\frac{2}{x-1}$ naar $0$ maar blijft gelden $\frac{2}{x-1} > 0$voor alle $x$.Voor afnemende waarden van $x$ nadert $\frac{2}{x-1}$ naar $0$ maar blijft gelden $\frac{2}{x-1} < 0$voor alle $x$.Dus $f(x)=3+\frac{2}{x-1}$ kan alle waarden aannemen, uitgezonderd $3$Dus het bereik is $\langle \gets,3 \rangle \bigcup \langle 3, \rangle$.Conclusie: Het domein van $f$ is$\langle \gets,1 \rangle \bigcup \langle 1, \rangle$ en het bereik is $\langle \gets,3 \rangle \bigcup \langle 3, \rangle$.b) Horizontale asymptoot:Je kunt onderzoeken of er een horizontale asymptoot is door waarden van $x$ die ver van $0$ liggen in te vullen.Als je voor $x$ waarden invult die ver van $0$ liggen komt de waarde van de breuk $\frac{2}{x-1}$ dicht bij $0$.dus $f(x)=2+\frac{2}{x-1}$ komt dicht bij $2$.Horizontale asymptoot: $y=2$.Verticale asymptoot:Voor een verticale asymptoot kijk je naar waarden van $x$ waarvoor de noemer van de breuk in een gebroken functie gelijk is aan $0$:In de breuk $\frac{2}{x-1}$  geldt dat de noemer $x-1=0$ als $x=1$Verticale asymptoot: $x=1$c) $f(x)=3+\frac{2}{x-1}$, $k: y=2x+3$.Om de snijpunten te bepalen, los op:$3+\frac{2}{x-1}=2x+3$Links en rechts vermenigvuldigen met $x-1$ en uitwerken:$3 \cdot (x-1) +2=(2x+3) \cdot (x-1)$$3x-3+2=2x^2-2x+3x-3$$3x-1=2x^2+x-3$Alles naar één kant brengen:$2x^2-2x+2=0$Links en rechts delen door $2$:$x^2-x+1=0$Met behulp van de $abc$-formule wordt gevonden:$x=\frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2-4 \cdot -(1) \cdot 1}}{2 \cdot 1}$$x=\frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$$x=\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \sqrt{5} \vee x=\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{5}$De $x$-coördinaten behorende bij snijpunten van $f$ met lijn $k$ zijn:$x=\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \sqrt{5}$$x=\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{5}$ a) $f(x)=6x-x^2$Noem het te vinden punt $R$. Dit is de top van de grafiek. De coördinaten zijn $x_{top}$ en $y_{top}$. We kunnen de $x_{top}$ op $2$ manieren vinden.We bepalen de snijpunten $S_1$ en $S_2$ van de grafiek van $f$ met de $x$-as. Nu ligt $x_{top}$ precies in het midden van deze $2$ punten (want iedere parabool is symmetrisch). De  snijpunten $S_1$ en $S_2$ van de grafiek van $f$ met de $x$-as door op te lossen: $f(x)=0$.$6x-x^2=0$Ontbind in factoren en los op:$x(6-x)=0$$x=0 \vee 6-x=0$$x=0 \vee x=6$Snijpunten $f$ met de $x$-as: $S_1(0,0)$ en $S_2(6,0)$. Immers de punten liggen op de $x$-as dus de $y$-coördinaat van is $0$.De $x$-coördinaat van de top is nu $3$ (het midden). Dus $x_{top} = 3$. $y_{top}=f(x_{top} )= f(3) = 6 \cdot 3 - 3^2 = 9$. Dus $R(3,9)$Conclusie: $p = y_{top} = 9$.ALTERNATIEF: de $x_{top}$ kan ook direct worden berekend met de formule $x_{top}=\frac{-b}{2a}$ waarin $a$ het getal is voor de $x^2$ en $b$ het getal voor de $x$ in de functie $f$. Hier is $a=-1$ en $b=6$ en dus $x_{top}=\frac{-6}{2\cdot -1}=3$.$y_{top}$ kan  nu berekend worden zoals hierboven.  b) Bepaal oppervlakte rechthoek $DCBA$:De oppervlakte van een rechthoek kunnen we berekenen door lengte keer breedte. We zien in figuur 2 dat we als breedte bijvoorbeeld $DC$ en als lengte $AD$ kunnen nemen. De breedte $DC$ kan als volgt worden berekend: Gegeven is dat $x_D=q$ en $x_C=6-q$Hieruit volgt voor de breedte $DC=(6-q) -q=6-2q$ De lengte $AD$ krijgen we door te realiseren dat dit precies de functiewaarde in het punt $q$ is. Dus $AD=f(q)$ oftewel de y-waarde van het punt $A$. $AD=f(q)=6q-q^2$Oppervlakte rechthoek $DCBA$ is gelijk aan de breedte $DC$ keer lengte $AD$. Denk aan de haakjes. Er volgtOppervlakte $= DC \cdot AD= (6-2q)(6q-q^2)$Conclusie: aangetoond is dat $S=(6-2q)(6q-q^2)$