Overal Natuurkunde 5e ed - Hoofdstuk 3 - Krachten oefentoetsen & antwoorden

De drie eigenschappen van een kracht zijn:Een kracht heeft een grootte, deze wordt aangeduid met de eenheid Newton (N)Een kracht heeft een richting en is daarmee een vector. In sommen herken je de vector door een pijltje boven het symbool van de grootheid: $\overrightarrow{F}$.Een kracht heeft een aangrijpingspunt, dat is waar de kracht zijn kracht op uitoefent.Bijvoorbeeld jij duwt de tafel naar rechts met F = 20 N. De grootte van de kracht is 20 Newton, de richting is naar rechts en het aangrijpingspunt is waar jouw handen tegen de tafel duwen (want daar ervaart de tafel de kracht).De eerste wet van Newton luidt: Als de resulterende kracht 0 (nul) is, zal de snelheid constant zijn of ook nul zijn.Deze wet zegt eigenlijk dat als er twee of meerdere krachten elkaar in evenwichtig houden, of als er geen kracht aanwezig is er ook geen versnelling of vertraging zal plaatsvinden. In dat geval behoudt een object zijn eigen snelheid of blijft deze stil staan.Voorbeeld: Jij staat op de grond, de zwaartekracht trekt jou naar beneden, maar tegelijkertijd drukt de vloer terug (de zogenaamde normaalkracht). De krachten zijn gelijk en houden elkaar in evenwicht. De resulterende kracht is daardoor 0 en dus blijf je stil staanDe zwaartekracht wordt ontleed in twee verschillende krachten: de kracht loodrecht op het oppervlakte: ($F_{z, \perp}$) en de kracht evenwijdig aan het oppervlakte ($F{z, \parallel}$).De resulterende kracht is de uiteindelijke kracht die werkt op een voorwerp waarop meerdere krachten werken. Door deze afzonderlijke krachten samen te stellen (vaak door de parallellogram-methode) verkrijg je de resulterende kracht. Zie de tekening hiernaast waarin de blauwe pijl de resulterende kracht weergeeft en de rode pijlen de twee afzonderlijke krachten.Bij het begin van een vrije val heeft een object geen snelheid maar de zwaartekracht trekt wel aan het object. Volgens de tweede wet van Newton is de resulterende kracht niet nu en zal het object een versnelling ervaren. Gedurende de val krijgt het object meer snelheid en ontstaat er luchtwrijving. Tot het moment dat de luchtwrijving gelijk is aan de zwaartekracht. Dan geldt de eerste wet van Newton waarbij twee krachten elkaar in evenwicht houden en de resulterende kracht nul is. Op dat moment heeft een object een constante snelheid.De middelpuntzoekende kracht is een resulterende kracht (en geen echte kracht) van het samenstelsel van krachten op een object dat een cirkelbeweging maakt. Deze middelpuntzoekende kracht is naar binnen (in de cirkel) gericht en luidt: $F_{mpz}=\frac{mv^2}{r}$. De richting van de zwaartekracht is altijd naar beneden gericht. De grootte van de zwaartekracht is niet gelijk aan de normaalkracht omdat de normaalkracht en de zwaartekracht niet in één lijn liggen. De normaalkracht staat altijd loodrecht op het oppervlakte waarop het blokje rust (in dit geval dus schuin omhoog). Het blokje drukt met zijn massa niet volledig op het oppervlak dus zal de normaalkracht kleiner zijn.Als er geen tegenwerkende kracht zou zijn, zou het blokje gaan versnellen. Er is immers dan maar één kracht aanwezig. Er moet dus een tegenwerkende kracht zijn en omdat het over twee oppervlaktes gaat die met in elkaar in contact zijn (blokje en helling) spreek je van wrijving, een schuifweerstand.Als de hoek wordt vergroot zal de component van de zwaartekracht in de bewegingsrichting toenemen en de normaalkracht (afhankelijk van de component van de zwaartekracht) afnemen. Als de normaalkracht afneemt, neemt de wrijving ook af waardoor uiteindelijk het blokje gaat bewegen. De Fz,║ wordt groter dan de Fw.Het aangrijpingspunt van de zwaartekracht ligt in het midden van het blokje, dus ook de twee componenten hebben een aangrijpingspunt in het midden van het blokje. De wrijvingskracht heeft een aangrijpingspunt op het wrijvingsvlak tussen het blokje en de grond. De lengte van de wrijvingskracht is gelijk aan de component in de bewegingsrichting. De normaalkracht, loodrecht op het oppervlakte, heeft dezelfde lengte als de component loodrecht op de beweging. De normaalkracht heeft het aangrijpingspunt op het raakpunt van het blokje en de grond. Het stijgingspercentage is 5 %, dit betekent dat ze per 1 meter, 5 cm afdalen. De component in de bewegingsrichting van de zwaartekracht zorgt ervoor dat ze zonder te trappen kunnen rollen. De rolweerstand en de luchtweerstand zullen niet groot zijn. De resulterende kracht zal in de richting van de beweging wijzen. Als er een resulterende kracht aanwezig is, zullen Jan en Marie gaan versnellen (denk aan F = m * a). Als ze blijven versnellen neemt hun snelheid dus toe en hebben ze een grote snelheid onderaan de helling.De grootheden $C_w, \rho$ en $A$ zijn constanten en spelen slechts een beperkte rol. Het is vooral de snelheid die in deze som van belang is. Naarmate de snelheid toeneemt zal de luchtwrijving ook toenemen: De toename van deze luchtwrijving gaat kwadratisch sneller dan de toename van de snelheid. En als de luchtwrijving toeneemt betekent dit een tegenwerkende kracht en zal de versnelling worden afgeremd.  Voor het samenstellen van twee of meer krachten zijn drie methodes mogelijk: pythagoras, parallellogrammethode en de kop-staart methode. Voor opgave a. kun je gebruik maken van pythagoras, maar natuurlijk ook de parallellogrammethode. We kiezen voor pythagoras (de andere twee komen in b. en c. aan bod).Pythagoras kun je toepassen in situaties waar de hoek tussen de twee kracht loodrecht is. Maar eerst moet je de grootte van de krachten bepalen. Dit doe je met een geodriehoek.Je meet bijvoorbeeld een lengte van 8,5 cm op de korte kant en 11,7 cm op de lange kant.Met de schaal weet je nu dat de korte kant een kracht weergeeft van 8,5⋅10=85 N8,5 \cdot 10 = 85 \ N8,5⋅10=85 N en de lange kant 117 N117 \ N117 N.Met pythagoras kun je nu de resulterende kracht berekenen: a2+b2=c2→c=a2+b2=7225+13689=144,6a^2+b^2=c^2 \rightarrow c= \sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{7225+13689} = 144,6a2+b2=c2→c=a2+b2​=7225+13689​=144,6De grootte van de resulterende kracht is dus: Fres=144,6 NF_{res} = 144,6 \ NFres​=144,6 N.Deze situatie laat zich niet makkelijk met pythagoras oplossen en dus gebruik je de parallellogrammethode. In dit geval gebruik je je geodriehoek niet alleen voor het opmeten van de lengtes maar ook om hulplijnen te tekenen en de resulterende kracht te tekenen.Leg je geo langs één van de krachten.Teken een hulplijn evenwijdig aan deze pijl, die de andere pijl punt raakt. (gebruik voor de duidelijkheid altijd een stippellijn)Herhaal dit voor de andere pijl. Je krijgt dan een figuur die er zo uit ziet.Teken de resulterende kracht (de groene pijl) van het snijpunt van de twee pijlen tot het snijpunt van de twee stippellijnen en meet de lengte van deze resulterende kracht.De lengte is 10,1 cm. Dit komt overeen met een grootte van de kracht: Fres=101 NF_{res}=101 \ NFres​=101 NLET OP: jouw waardes kunnen afwijken omdat je een kleiner scherm hebt of omdat je hebt geprint.Hier zie je meerdere krachten. Deze is weliswaar met de parallellogrammethode op te lossen (door steeds nieuwe resulterende pijlen te tekenen en die vervolgens als uitvalsbasis te nemen voor de volgende pijlen). Maar het is makkelijker met de kop-staart methode. Met de kop-staart methode verbind je de pijlen met elkaar door pijl achterkant vast te maken aan pijlpunt enz.In ons voorbeeld beginnen we met de pijl linksonder. Die verplaatsen we naar de pijl die naar beneden wijst.Vervolgens herhalen we dat met de twee andere pijlen, die aansluiten op de laatste pijl die is aangesloten.Teken nu de resulterende kracht van start tot eind en meet de lengte van deze pijl.De opgemeten lengte is 12,3 cm. Met toepassen van de schaal weten we nu dat de resulterende kracht: Fres=123 NF_{res}=123 \ NFres​=123 N.LET OP: jouw waardes kunnen afwijken omdat je een kleiner scherm hebt of omdat je hebt geprint.Trouwens: wist je dat het niets uitmaakt met welke pijl je start? Je komt altijd op hetzelfde uit. Kijk maar in de onderstaande twee figuren.     Bij een vrije val is er alleen sprake van de zwaartekracht. Op moment van loslaten trekt het touw nog niet aan de emmer. De enige kracht die op dat moment aanwezig is is dan de zwaartekracht.Als de emmer een cirkelbeweging beschrijft is er sprake van de middelpuntzoekende kracht. De emmer beweegt met constante snelheid wordt schijnbaar naar binnen getrokken. Het water in de emmer ervaart deze kracht niet en wil naar buiten toe bewegen maar komt tegen de bodem van de emmer aan en ervaart daar een normaalkracht. De schijnbare kracht naar buiten en de normaalkracht heffen elkaar op waardoor het water op de plaats blijft (binnen de emmer). We starten met het bepalen van de twee componenten. Je ziet een blokje op de helling en maar één kracht: de zwaartekracht. In de opgave staat dat je de kracht loodrechte ($F_{\perp}$ en de kracht evenwijdig aan het oppervlak ($F_{\parallel}$) moet bepalen. Maar voordat je dat doet bepaal je eerst de schaal. Daarna teken je de hulplijnen waarlangs de krachten hun kracht uitoefenen en dan los je de vraag verder op.Stap 1: Schaal bepalen. Met de geodriehoek meet je de lengte van de pijl. In dit voorbeeld is dat 6 cm. (Bij jou kan dit anders zijn dus meet de lengte goed op!!).Je weet dat de grootte van de zwaartekracht $F_z=250 \ N$ . De schaal bereken je door de kracht te delen door de lengte, dus: $schaal = \frac{250}{6}=41,67$. Dus de schaal is 1:41,67.Stap 2: Hulplijnen tekenen.De hulplijnen vangen aan op hetzelfde punt als de zwaartekracht. De kracht loodrecht staat loodrecht op het oppervlakte, de andere kracht is evenwijdig aan het oppervlakte. Dit ziet er als volgt uit.Stap 3: Pas de parallellogrammethode toe en teken de twee componenten.Stap 4: Meet de lengte, pas de schaal toe en je hebt het antwoord.De kracht evenwijdig aan het oppervlakte heeft een lengte van 2 cm, dus $F_{\parallel}=2\cdot 41,67=83,3 \ N$De kracht loodrecht heeft een lengte van 5,7 cm, dus $F_{\perp}=5,7 \cdot 41,67=237,5 \ N$De helling is gegeven, namelijk $\alpha=20\degree$. Je weet van de wiskunde dat de hoek van de helling gelijk is aan de hoek tussen $F_z$ en $F_{\parallel}$ en dat je daarmee de lengte van $F_{\parallel}$ kunt berekenen met $F_{\parallel} = F_z \cdot \sin(\alpha)$ en dat $F_{\perp} = F_z \cdot \cos(\alpha)$. Dat geeft:$F_{\parallel} = F_z \cdot \sin(\alpha)=250\cdot \sin(20)=85,5 \ N$$F_{\perp} = F_z \cdot \cos(\alpha)=250\cdot \cos(20)=234,9 \ N$Het valt je waarschijnlijk op dat de antwoorden verschillen tussen a) en b). Dit komt omdat de bepaalmethode (tekenen) altijd onnauwkeuriger is dan het berekenen. Teken eerst de situatie met de gegevens die je hebt. Je kunt vervolgens met behulp van de parallellogrammethode de krachten ontbinden en meten. Denk wel aan een schaal die je toepast.Stap 1: Teken de situatie.We nemen een lengte van 6 cm voor de Fres. Dit rekent dan makkelijk met de schaal omdat deze ($schaal=\frac{1800}{6}=300$) 1:300 is. De hoeken staan gegeven dus de touwen (die we nu tekenen als hulplijnen) kun je vervolgens in de tekening zetten. Het ziet er dan als volgt uit.Stap 2: Parallellogrammethode toepassen.Stap 3: Pijlen opmeten en schaal toepassen.Touw 1: 3,8 cm: $F_{touw \ 1}=3,8\cdot 300=1140 \ N$Touw 2: 3,6 cm: $F_{touw \ 2}=3,6\cdot 300=1080 \ N$.De hoeken zijn gegeven en je weet dat beide touwen berekend kunnen worden met $F_{touw \ x}=F_{res} \cdot \cos(\alpha)$, waarbij de $\alpha$ de hoek is tussen het touw en de resulterende kracht. Dat geeft:$F_{touw \ 1}=F_{res} \cdot \cos(\alpha_1)=1800 \cdot \cos(35)=1474 \ N$$F_{touw \ 2}=F_{res} \cdot \cos(\alpha_2)=1800 \cdot \cos(38)=1418 \ N$ Om de netto kracht te kunnen bepalen ga je de twee krachten samenstellen volgens de parallellogram-methode. Voordat je dat echter kunt doen moet je eerst de krachtenschaal vaststellen. Daarna kun je de parallellogram methode toepassen en vervolgens meet je de grootte van de netto kracht en pas je de krachtenschaal weer toe om de daadwerkelijke grootte te krijgen.De krachtenschaal bepaal je met behulp van een geodriehoek. In ons voorbeeld is de krachtenpijl van Jan 5 cm lang. De kracht is 250 N. Om de krachtenschaal vast te stellen wil je weten hoeveel kracht je per 1 cm uitoefent. Dus je deelt de 250 N door 5 cm. En dan krijgt je een schaal van 1:50 (1 cm is gelijk aan 50 Newton).De krachten werken op het massamiddelpunt van de kast. Daarom mag je de pijlen ook tekenen zonder de kast erbij. Dit is makkelijker voor het bepalen van netto kracht. Je krijgt dan de volgende twee pijlen.Met de parallellogram-methode kun je nu de netto-kracht op de kast bepalen:Maak een parallellogram door met stippellijnen evenwijdig aan de pijlen, twee werklijnen te trekken.Trek nu een pijl van het snijpunt van de werklijnen tot waar de daadwerkelijke pijlen bij elkaar komen. Dit is de netto krachtpijl (blauw). Meet de pijl op en pas de krachtenschaal toe om de grootte van de netto kracht te kunnen bepalen. Je meet 8,1 cm. Bij een krachtschaal van 1:50 betekent dit dat de netto kracht Fnetto = 8,1 * 50 = 405 N.Conclusie: de netto kracht heeft een grootte van 405 Newton en in de tekening is de richting gegeven.De wrijvingskracht is afhankelijk van de normaalkracht op de kast. De normaalkracht is gelijk aan de zwaartekracht (Fz = m * g). De wrijvingskracht bereken je met Fw = f * Fn. Als de wrijvingskracht groter is dan de netto kracht waarmee Jan en Marie duwen zal de kist niet van zijn plaats komen.Gegeven: m = 200 kg; g = 9,81 ms-2; f = 0,42; Fnettojm = 405 N (of 400 N als je niet het goede antwoord had in 4a)Gevraagd: Is Fnettojm > Fw? Zo ja dan beweegt de kast, zo nee dan beweegt de kast niet.Formule: Fn = Fz = m * g; Fw = f * FnDit kun je herformuleren naar Fw = f * m * gBerekenen: Fw = 0,42 * 200 * 9,81 = 824 NConclusie: Uit berekening blijkt dat Fnettojm < Fw. Dus de kast zal niet bewegen, Jan en Marie moet meer kracht zetten om de kast te laten bewegen. Er spelen vier krachten een rol, drie daarvan zijn impliciet in de tekst genoemd (wrijving, veer en zwaartekracht) en één kracht (de normaalkracht) is een gevolg van een andere kracht.De grootte is niet van belang omdat er wordt gevraagd te schetsen.Om de veerconstante uit te kunnen rekenen gebruik je de formule: Fv = C * u. De gegevens haal je uit de grafiek. Het valt je op dat de grafiek ,op de y-as, start op 3,0 centimeter. Dit betekent dat de veer in rust een lengte heeft van 3,0 cm. In de bepaling van de uitrekking moet je dus deze 3,0 cm aftrekken. Kies een mooi punt op de grafiek om je berekening te doen. In dit geval zijn alle even waardes van de veerkracht mooi gelegen. Kies bijvoorbeeld Fv = 6,0 N. Daar hoort een waarde bij van l = 6,0 cm. (zie plaatje). Gegeven: u = l – lr = 6,0 – 3,0 = 3,0 cm; Fv = 6,0 NGevraagd: C (de veerconstante)Formule: Fv = C * u => C = Fv / uBerekening: C = 6,0 / 3,0 = 2,0Conclusie: C = 2,0 N/cmOm deze opgave te snappen is het van belang dat je begrijpt wat hier gebeurt. In opgave a) heb je al de vier krachten getekend.De zwaartekracht kan worden ontleed in twee componenten: de component in de bewegingsrichting en loodrecht daarop.De component loodrecht bepaalt de normaalkracht die je ook nodig hebt voor de wrijving.De wrijving- en veerkracht zorgen er samen voor dat het blokje niet schuift.Je weet dat de kist stil staat dus de Fnetto = 0.Je kunt dus stellen dat de Fz,x  = Fw + FvDe wrijvingskracht bereken je met de formule Fw = f * FnDe lengte van de veer kun je aflezen van het diagram.De stappen die achtereenvolgens genomen moeten worden zijn: de wrijvingskracht uitrekenen met behulp van de normaalkracht, de veerkracht bepalen aan den hand wrijvingskracht en de component van de zwaartekracht in de bewegingsrichting, bepalen van de lengte van de veer en uiteindelijk bepalen van de uitrekking van de veer.De wrijvingskracht.Gegeven: m = 2500 g = 2,500 kg; hoek α = 15o; f = 0,06; g = 9,81 ms-2Gevraagd: FwFormule: Fw = f * Fn = f * Fz,y = f * m * g * cos (α)Je gebruikt cos (α) omdat de Fz,y de component van de zwaarte kracht is die onder een hoek van 15o staat. De hoek tussen de Fz en de Fz,y is ook 15o (z-hoek)Berekenen: Fw = 0,06 * 2,500 * 9,81 * cos (15) = 1,42Conclusie: Fw = 1,42 NDe veerkracht. Bedenk dat de nettokracht 0 is. En dus de krachten elkaar opheffen.Gegeven: m = 2500 g = 2,500 kg; Fw = 1,42 N; hoek α = 15o; g = 9,81 ms-2Gevraagd: FvFormule: Fnetto = Fz,x – (Fw + Fv) => Fv = Fz,x - F w = Fz * sin (α) –  Fw = m * g * sin (15) – FwBerekening: Fv = 2,500 * 9,81 * sin (15) – 1,42 = 4,93Conclusie: Fv = 4,93 NBepalen van de lengte van de veer. In de figuur kun je aflezen welke lengte hoort bij de nu berekende Fv = 4,93 N. Daarvoor kijk je op de x-as voor de waarde van de kracht en zoekt dan de bijbehorende waarde van de lengte op. Je vindt dan een lengte van ongeveer 5,5 cm.Bepalen van de uitrekking. In opgave b) had je al gezien dat de grafiek start bij een lengte van 3 cm. Dan wordt er geen kracht op uitgeoefend. Dus dat betekent dat de veer in rust een lengte heeft van 3 cm. De uitrekking is dan de lengte – de lengte in rust: u = 5,5 – 3 = 5,5 cmJe had dit ook kunnen uitrekenen met de veerconstante die je in b) had uitgerekend.Gegeven: C = 2 N/cm; Fv = 4,93Gevraagd: uFormule: Fv = C * u => u = Fv / CBerekening: u = 4,93 / 2 = 2,465Conclusie: u = 2,5 cmDus je antwoord op deze uitdagende som is: u = 2,5 cm. Inzicht: de kogel, op moment van loslaten, heeft een constante snelheid in de richting waarin gegooid wordt. Dit betekent dat de krachten elkaar in evenwicht houden (Fnetto = 0). Een schets helpt je te begrijpen welke krachten op dat moment een rol spelen. Dat zijn er dus 3: spierkracht, zwaartekracht en wrijvingskracht. Merk op dat de spierkracht niet in de beweging van de kogel gericht is. Je moet ook nog de zwaartekracht overwinnen.De krachten liggen niet in een mooi assenstelsel. Je zult dus krachten moeten ontbinden. Het makkelijkste is het assenstelsel de beweging te laten volgen. Dus een assenstelsel 45o ten opzichte van de zwaartekracht.Het valt op dat je dan de zwaartekracht moet ontbinden in een component die de beweging volgt en een component die er loodrecht op staat. Zie de blauwe pijlen in de schets. Vervolgens kun je de componenten van de zwaartekracht uitrekenen.Gegeven: m = 7,28 kg; g = 9,81; hoek α = 45oGevraagd: Fz,x en Fz,yFormule: Fz,x = Fz * cos (α) = m * g * cos (α)Omdat de hoek 45o is geldt dat Fz,x  = Fz,yBerekenen: Fz,x = 7,28 * 9,81 * cos (45,0) = 50,499Conclusie: Fz,x = Fz,y = 50,5 NDe luchtwrijving kun je ook al bereken met de gegevens:Gegeven: m = 7,28 kg; cw = 0,47;d = 115 mm = 0,115 m; ρ = 1,293 kgm-3; v = 104 km/h = 104/3,6 = 28,9 m/s.Gevraagd: De luchtwrijvingskracht Fw,lFormule: oppervlakte bol: A = 4πr2=πd2 (Binas tabel 36B) en Fw,l = ½ * cw * A * ρ * v2 = ½ * cw * π * d2 * ρ * v2Berekenen: Fw,l = 0,5 * 0,47 * π * 0,1152 * 1,293 * 28,92 = 10,544Conclusie: Fw,l = 10,5 NJe hebt nu berekend dat de kracht in de x-richting (dit is de bewegingsrichting) gelijk is aan de component van de zwaartekracht en de wrijvingskracht. Deze gezamenlijke kracht is Fx = 50,5 + 10,5 = 61,0 N.De kracht in de y-richting heb je ook berekend, deze is Fy = 50,5 NOm nu de spierkracht te berekenen zul je de krachten (Fx  en Fy) weer moeten samenstellen. In de schets zie je dat twee krachten geschetst. De spierkracht moet gelijk zijn aan deze kracht maar in tegenovergestelde richting (eerste wet van Newton: twee gelijke krachten in tegengestelde richting hebben een netto kracht van 0).  Omdat de krachten loodrecht op elkaar staan (Fx en Fy) mag je de stelling van Pythagoras gebruiken om de samengestelde kracht te berekenen. Deze luidt: a2 = b2 + c2, waarbij b = Fx  en c = Fy Dus $F_{spier} = \sqrt{F_x^2 + F_y^2} = \sqrt{61,0^2+50,5^2}=79,19$Dus de spierkracht die de kogelstoter uitoefent op de kogel is Fspier = 79,2 N. Voor deze opgave is het belangrijk te beseffen dat de middelpuntzoekende kracht gelijk is aan de zwaartekracht/aantrekkingskracht tot de aarde.Gegeven: $F_{mpz}=F_z=34 \ N$; $m=850 \ kg$; $v=7.200 \ km/h= 2000 \ m/s$Gevraagd: $r$Formule: $F_{mpz}=\frac{mv^2}{r} \to r=\frac{mv^2}{F_{mpz}}$Berekening: $r=\frac{mv^2}{F_{mpz}} =\frac{850\cdot 2000^2}{34}=100.000.000$Conclusie: $r=1,00\cdot 10^8 \ m$Nu je de straal en de snelheid weet kun je de omloopperiode T berekenen. De omloopperiode betekent niets anders dan het beschrijven van een volledige cirkelbeweging.Gegeven: $v=2000 \ m/s$; $r=1,00\cdot 10^8 \ m$Gevraagd: $T$Formule: $v=\frac{2\pi \cdot r}{T} \to T=\frac{2\pi \cdot r}{v}$Berekening: $T=\frac{2\pi \cdot r}{v} = \frac{2\pi \cdot 1 \cdot 10^8}{2000}=314159$De vraag is in dagen, bovenstaande antwoord is nog in seconden.$314159/3600=87,266 \ uur$, en $87,266/24=3,636 \ dagen$Conclusie: $T=3,64$ dagen