Nova Natuurkunde MAX deel A - Hoofdstuk 3 - Krachten oefentoetsen & antwoorden

a) De drie eigenschappen van een kracht zijn:Een kracht heeft een grootte, deze wordt aangeduid met de eenheid Newton (N)Een kracht heeft een richting en is daarmee een vector. In sommen herken je de vector door een pijltje boven het symbool van de grootheid: $\overrightarrow{F}$.Een kracht heeft een aangrijpingspunt, dat is waar de kracht zijn kracht op uitoefent.Bijvoorbeeld jij duwt de tafel naar rechts met F = 20 N. De grootte van de kracht is 20 Newton, de richting is naar rechts en het aangrijpingspunt is waar jouw handen tegen de tafel duwen (want daar ervaart de tafel de kracht).b) De eerste wet van Newton luidt: Als de resulterende kracht 0 (nul) is, zal de snelheid constant zijn of ook nul zijn.Deze wet zegt eigenlijk dat als er twee of meerdere krachten elkaar in evenwichtig houden, of als er geen kracht aanwezig is er ook geen versnelling of vertraging zal plaatsvinden. In dat geval behoudt een object zijn eigen snelheid of blijft deze stil staan.Voorbeeld: Jij staat op de grond, de zwaartekracht trekt jou naar beneden, maar tegelijkertijd drukt de vloer terug (de zogenaamde normaalkracht). De krachten zijn gelijk en houden elkaar in evenwicht. De resulterende kracht is daardoor 0 en dus blijf je stil staanc) Een werklijn is de richting waarlangs een kracht werkt. Je kunt (in veel gevallen) deze werklijn gebruiken om het aangrijpingspunt ver “verschuiven”. Denk daarbij aan een touw waaraan je trekt. De kracht die jij uitoefent kun je “verplaatsen” naar de plek waarop het touw vervolgens een kracht uitoefent om dan met het effect van die kracht verder te werken.d) De resulterende kracht is de uiteindelijke kracht die werkt op een voorwerp waarop meerdere krachten werken. Door deze afzonderlijke krachten samen te stellen (vaak door de parallellogram-methode) verkrijg je de resulterende kracht. Zie de tekening hiernaast waarin de blauwe pijl de resulterende kracht weergeeft en de rode pijlen de twee afzonderlijke krachten.e) De term “arm” staat voor de afstand van het aangrijpingspunt van een kracht tot het draaipunt in een hefboom. Deze wordt gemeten in meter.f) Om dit goed te kunnen begrijpen is een stukje wiskunde nodig. Bij een driehoek met één loodrechte hoek kan alles worden berekend met goniometrie. Als we kijken naar de twee krachten, dan kunnen we die ook als een driehoek tekenen. Zie figuur. Hoek α is gelijk aan de hoek tussen de oranje en groene pijlpunten. De $F_z$ is dan de lange zijde en en de $F_{z, \parallel}$ is dan de overstaande zijde. Nu weten we dat de $\sin = \frac{overstaande \ zijde}{aanliggende \ zijde}$ en $\cos = \frac{aanliggende \ zijde}{schuine \ zijde}$. Omdat $F_{z, \parallel}$ de overstaande zijde is weten we dat we dus gebruik moeten maken van $F_{z, \parallel} = F_z \cdot \sin(\alpha)$ om $F_{z, \parallel}$ te kunnen berekenen.g) De formule $a=\frac{F}{m}$ (afkomstig van $F=m\cdot a$) stelt dat als de kracht F negatief is, de versnelling ook negatief gericht moet zijn. Immers de massa kan nooit negatief zijn. Een negatieve versnelling is een vertraging. De resulterende kracht bij een vertraging is negatief gericht. a) De richting van de zwaartekracht is altijd naar beneden gericht. De grootte van de zwaartekracht is niet gelijk aan de normaalkracht omdat de normaalkracht en de zwaartekracht niet in één lijn liggen. De normaalkracht staat altijd loodrecht op het oppervlakte waarop het blokje rust (in dit geval dus schuin omhoog). Het blokje drukt met zijn massa niet volledig op het oppervlak dus zal de normaalkracht kleiner zijn.b) Als er geen tegenwerkende kracht zou zijn, zou het blokje gaan versnellen. Er is immers dan maar één kracht aanwezig. Er moet dus een tegenwerkende kracht zijn en omdat het over twee oppervlaktes gaat die met in elkaar in contact zijn (blokje en helling) spreek je van wrijving, een schuifweerstand.c) Eén kracht in de bewegingsrichting, Fz,║, (deze wordt ook wel de “langs”-kracht genoemd) en één kracht loodrecht op de bewegingsrichting, Fz,┴, (deze wordt ook wel de “loodrecht”-kracht genoemd). De component in de bewegingsrichting wordt opgeheven door de wrijvingskracht en de component loodrecht op de bewegingsrichting wordt opgeheven door de normaalkracht.d) Als de hoek wordt vergroot zal de component van de zwaartekracht in de bewegingsrichting toenemen en de normaalkracht (afhankelijk van de component van de zwaartekracht) afnemen. Als de normaalkracht afneemt, neemt de wrijving ook af waardoor uiteindelijk het blokje gaat bewegen. De Fz,║ wordt groter dan de Fw.e) Het aangrijpingspunt van de zwaartekracht ligt in het midden van het blokje, dus ook de twee componenten hebben een aangrijpingspunt in het midden van het blokje. De wrijvingskracht heeft een aangrijpingspunt op het wrijvingsvlak tussen het blokje en de grond. De lengte van de wrijvingskracht is gelijk aan de component in de bewegingsrichting. De normaalkracht, loodrecht op het oppervlakte, heeft dezelfde lengte als de component loodrecht op de beweging. De normaalkracht heeft het aangrijpingspunt op het raakpunt van het blokje en de grond.  Het stijgingspercentage is 5 %, dit betekent dat ze per 1 meter, 5 cm afdalen. De component in de bewegingsrichting van de zwaartekracht zorgt ervoor dat ze zonder te trappen kunnen rollen. De rolweerstand en de luchtweerstand zullen niet groot zijn. De resulterende kracht zal in de richting van de beweging wijzen. Als er een resulterende kracht aanwezig is, zullen Jan en Marie gaan versnellen (denk aan F = m * a). Als ze blijven versnellen neemt hun snelheid dus toe en hebben ze een grote snelheid onderaan de helling. Voor het samenstellen van twee of meer krachten zijn drie methodes mogelijk: pythagoras, parallellogrammethode en de kop-staart methode. Voor opgave a. kun je gebruik maken van pythagoras, maar natuurlijk ook de parallellogrammethode. We kiezen voor pythagoras (de andere twee komen in b. en c. aan bod).Pythagoras kun je toepassen in situaties waar de hoek tussen de twee kracht loodrecht is. Maar eerst moet je de grootte van de krachten bepalen. Dit doe je met een geodriehoek.Je meet bijvoorbeeld een lengte van 8,5 cm op de korte kant en 11,7 cm op de lange kant.Met de schaal weet je nu dat de korte kant een kracht weergeeft van $8,5 \cdot 10 = 85 \ N$ en de lange kant $117 \ N$.Met pythagoras kun je nu de resulterende kracht berekenen: $a^2+b^2=c^2 \rightarrow c= \sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{7225+13689} = 144,6$De grootte van de resulterende kracht is dus: $F_{res} = 144,6 \ N$.Deze situatie laat zich niet makkelijk met pythagoras oplossen en dus gebruik je de parallellogrammethode. In dit geval gebruik je je geodriehoek niet alleen voor het opmeten van de lengtes maar ook om hulplijnen te tekenen en de resulterende kracht te tekenen.Leg je geo langs één van de krachten.Teken een hulplijn evenwijdig aan deze pijl, die de andere pijl punt raakt. (gebruik voor de duidelijkheid altijd een stippellijn)Herhaal dit voor de andere pijl. Je krijgt dan een figuur die er zo uit ziet.Teken de resulterende kracht (de groene pijl) van het snijpunt van de twee pijlen tot het snijpunt van de twee stippellijnen en meet de lengte van deze resulterende kracht.De lengte is 10,1 cm. Dit komt overeen met een grootte van de kracht: $F_{res}=101 \ N$LET OP: jouw waardes kunnen afwijken omdat je een kleiner scherm hebt of omdat je hebt geprint.Hier zie je meerdere krachten. Deze is weliswaar met de parallellogrammethode op te lossen (door steeds nieuwe resulterende pijlen te tekenen en die vervolgens als uitvalsbasis te nemen voor de volgende pijlen). Maar het is makkelijker met de kop-staart methode. Met de kop-staart methode verbind je de pijlen met elkaar door pijl achterkant vast te maken aan pijlpunt enz.In ons voorbeeld beginnen we met de pijl linksonder. Die verplaatsen we naar de pijl die naar beneden wijst.Vervolgens herhalen we dat met de twee andere pijlen, die aansluiten op de laatste pijl die is aangesloten.Teken nu de resulterende kracht van start tot eind en meet de lengte van deze pijl.De opgemeten lengte is 12,3 cm. Met toepassen van de schaal weten we nu dat de resulterende kracht: $F_{res}=123 \ N$.LET OP: jouw waardes kunnen afwijken omdat je een kleiner scherm hebt of omdat je hebt geprint.Trouwens: wist je dat het niets uitmaakt met welke pijl je start? Je komt altijd op hetzelfde uit. Kijk maar in de onderstaande twee figuren.      a) Bij situatie a) blijft het systeem in evenwicht. De linkerkant heeft een twee keer zo grote arm maar een twee keer zo kleine massa dan ten opzichte van de rechterkant.Als je de formule F1 * r1 = F2 * r2 zou hanteren, krijg je: 1 * r = 2 * ½ * r. Dit leidt tot aan beide kanten hetzelfde antwoord en dus is het systeem in rust.Merk op dat in de berekening niet de zwaartekracht maar de massa is genomen om mee te rekenen. Dit mag zolang aan beide kanten dezelfde eenheid wordt gebruikt.b) Bij situatie b) kantelt de linkerkant naar beneden. De linkerkant heeft een twee keer zo lange arm en twee keer zo lange massa dan de rechterkant en daarom kant de linkerkant naar beneden.Als je de formule F1 * r1 = F2 * r2 zou hanteren, krijg je: 2 * r = 1 * ½ * r => 2r = 1/2r. Voor evenwicht moeten beide kanten hetzelfde zijn, dit is niet het geval.c) Bij situatie c) kantelt de linkerkant naar boven. De linkerkant heeft een twee keer zo kleine massa dan de rechterkant, terwijl de arm voor beide kanten gelijk is. Dus de rechterkant kantelt naar beneden en dus de linkerkant omhoog.Als je de formule F1 * r1 = F2 * r2 zou hanteren, krijg je: 1 * 2r = 2 * 2r => 2r = 4r. Voor evenwicht moeten beide kanten hetzelfde zijn, dit is niet het geval. Bij geometrische figuren kun je lijnen trekken van tegenoverliggende hoeken. Daar waar de lijnen dan samenkomen (knooppunt) kun je beschouwen als het zwaartepunt. Zie figuur.Er werken twee krachten op het object; één naar links en één naar rechts. De pijl naar rechts is echter groter dan de pijl naar links. De resulterende kracht is niet gelijk aan 0 en daarom zal het object naar rechts bewegen en is dus niet in evenwicht.In de tekening zijn alle gegevens gegeven die nodig zijn om het moment te kunnen berekenen.Gegeven: $F=20 \ N$; $r=3,0 \ cm=0,030 \ m$Gevraagd: $M$Formule: $M=F\cdot r$Berekening: $M=F\cdot r=20\cdot 0,030=0,600$Conclusie: $M=0,60 \ Nm$ linksom, want bij moment geef je ook de richting aan. Hier zie je een blok dat van de helling afglijdt. De zwaartekracht is getekend maar moet worden ontleden in een $F_{z,\parallel}$ (evenwijdige kracht) en een $F_{z,\perp}$ (loodrecht kracht). De werklijnen zijn met stippellijnen getekend.Stap 1. Trek twee nieuwe werklijnen parallel aan de originele werklijnen die elkaar raken in de pijlpunt.Stap 2. Teken de pijl voor de evenwijdige kracht. (Met de evenwijdige kracht wordt de kracht bedoeld die de beweging veroorzaakt.) Teken een pijl van het aangrijpingspunt tot het snijpunt van de twee werklijnen.Stap 3. Teken de pijl voor de loodrecht kracht. (Dit is de kracht die loodrecht naar beneden wijst op het oppervlakte). Teken de andere pijl van het aangrijpingspunt tot het snijpunt van de twee werklijnen.In deze tekening is een touw tussen twee bomen gespannen en het touw wordt naar beneden getrokken. De werklijnen zijn in dit geval de richting waarin de touwen zijn gespannen. Je zult wellicht die lijnen moeten doortrekken.Stap 1. Begrijpen. Het touw wordt naar beneden getrokken en touw zal dan terug trekken. Dus je zult een tweede krachtenpijl moeten tekenen die de resulterende kracht representeert. Deze is gelijk (even groot aan de pijl naar beneden.Nu je de pijl naar boven hebt getekend kun je de werklijnen parallel aan het touw tekenen. Die moeten elkaar kruisen in de (rode) pijlpunt.Je kunt nu de ontlede krachten tekenen. Eerst de kracht in het linker touw. Daarvoor teken je een pijl van het aangrijpingspunt tot het linker snijpunt van de werklijnen.En tot slot doe je hetzelfde met de rechter krachtenpijl. Om de netto kracht te kunnen bepalen ga je de twee krachten samenstellen volgens de parallellogram-methode. Voordat je dat echter kunt doen moet je eerst de krachtenschaal vaststellen. Daarna kun je de parallellogram methode toepassen en vervolgens meet je de grootte van de netto kracht en pas je de krachtenschaal weer toe om de daadwerkelijke grootte te krijgen.De krachtenschaal bepaal je met behulp van een geodriehoek. In ons voorbeeld is de krachtenpijl van Jan 5 cm lang. De kracht is 250 N. Om de krachtenschaal vast te stellen wil je weten hoeveel kracht je per 1 cm uitoefent. Dus je deelt de 250 N door 5 cm. En dan krijgt je een schaal van 1:50 (1 cm is gelijk aan 50 Newton).De krachten werken op het massamiddelpunt van de kast. Daarom mag je de pijlen ook tekenen zonder de kast erbij. Dit is makkelijker voor het bepalen van netto kracht. Je krijgt dan de volgende twee pijlen.Met de parallellogram-methode kun je nu de netto-kracht op de kast bepalen:Maak een parallellogram door met stippellijnen evenwijdig aan de pijlen, twee werklijnen te trekken.Trek nu een pijl van het snijpunt van de werklijnen tot waar de daadwerkelijke pijlen bij elkaar komen. Dit is de netto krachtpijl (blauw). Meet de pijl op en pas de krachtenschaal toe om de grootte van de netto kracht te kunnen bepalen. Je meet 8,1 cm. Bij een krachtschaal van 1:50 betekent dit dat de netto kracht Fnetto = 8,1 * 50 = 405 N.Conclusie: de netto kracht heeft een grootte van 405 Newton en in de tekening is de richting gegeven. Er spelen vier krachten een rol, drie daarvan zijn impliciet in de tekst genoemd (wrijving, veer en zwaartekracht) en één kracht (de normaalkracht) is een gevolg van een andere kracht.De grootte is niet van belang omdat er wordt gevraagd te schetsen.Om de veerconstante uit te kunnen rekenen gebruik je de formule: Fv = C * u. De gegevens haal je uit de grafiek. Het valt je op dat de grafiek ,op de y-as, start op 3,0 centimeter. Dit betekent dat de veer in rust een lengte heeft van 3,0 cm. In de bepaling van de uitrekking moet je dus deze 3,0 cm aftrekken. Kies een mooi punt op de grafiek om je berekening te doen. In dit geval zijn alle even waardes van de veerkracht mooi gelegen. Kies bijvoorbeeld Fv = 6,0 N. Daar hoort een waarde bij van l = 6,0 cm. (zie plaatje). Gegeven: u = l – lr = 6,0 – 3,0 = 3,0 cm; Fv = 6,0 NGevraagd: C (de veerconstante)Formule: Fv = C * u => C = Fv / uBerekening: C = 6,0 / 3,0 = 2,0Conclusie: C = 2,0 N/cmOm deze opgave te snappen is het van belang dat je begrijpt wat hier gebeurt. In opgave a) heb je al de vier krachten getekend.De zwaartekracht kan worden ontleed in twee componenten: de component in de bewegingsrichting en loodrecht daarop.De component loodrecht bepaalt de normaalkracht die je ook nodig hebt voor de wrijving.De wrijving- en veerkracht zorgen er samen voor dat het blokje niet schuift.Je weet dat de kist stil staat dus de Fres = 0.Je kunt dus stellen dat de Fz,x  = Fw + FvDe wrijvingskracht is gegeven: Fw = 1,42 NDe lengte van de veer kun je aflezen van het diagram.De stappen die achtereenvolgens genomen moeten worden zijn: de wrijvingskracht uitrekenen met behulp van de normaalkracht, de veerkracht bepalen aan den hand wrijvingskracht en de component van de zwaartekracht in de bewegingsrichting, bepalen van de lengte van de veer en uiteindelijk bepalen van de uitrekking van de veer.De veerkracht. Bedenk dat de resulterende kracht 0 is. En dus de krachten elkaar opheffen.Gegeven: m = 2500 g = 2,500 kg; Fw = 1,42 N; hoek α = 15o; g = 9,81 ms-2Gevraagd: FvFormule: Fres = Fz,x – (Fw + Fv) => Fv = Fz,x - F w = Fz * sin (α) –  Fw = m * g * sin (15) – FwBerekening: Fv = 2,500 * 9,81 * sin (15) – 1,42 = 4,93Conclusie: Fv = 4,93 NBepalen van de lengte van de veer. In figuur 4 kun je aflezen welke lengte hoort bij de nu berekende Fv = 4,93 N. Daarvoor kijk je op de x-as voor de waarde van de kracht en zoekt dan de bij behorende waarde van de lengte op. Je vindt dan een lengte van ongeveer 5,5 cm.Bepalen van de uitrekking. In opgave b) had je al gezien dat de grafiek start bij een lengte van 3 cm. Dan wordt er geen kracht op uitgeoefend. Dus dat betekent dat de veer in rust een lengte heeft van 3 cm. De uitrekking is dan de lengte – de lengte in rust: u = 5,5 – 3 = 5,5 cmJe had dit ook kunnen uitrekenen met de veerconstante die je in b) had uitgerekend.Gegeven: C = 2 N/cm; Fv = 4,93Gevraagd: uFormule: Fv = C * u => u = Fv / CBerekening: u = 4,93 / 2 = 2,465Conclusie: u = 2,5 cmDus je antwoord op deze uitdagende som is: u = 2,5 cm Deze opgave moet je in twee stukken uitrekenen. Het eerste gedeelte bereken je de massa van de aarde. Daarna kun je pas de massa van de zon berekenen. In deze uitwerking wordt bij stap 1 gerekend met de krachten en niet met de massa’s en met meters in plaats van de aangegeven centimeters.Stap 1: Massa van de aardeGegeven: mmaan = 60 g = 0,060 kg; g = 9,81 ms-2;rmaan = 10 cm = 0,10 m; raarde 6 cm = 0,06 mGevraagd: De massa van de aarde maardeFormule: F1 * r1 = F2 * r2 => mmaan * g * rmaan = maarde * 9,81 * raardeDeze formule kun je ombouwen tot: $m_{aarde}=\frac{m_{maan} \cdot g\cdot r_{maan}}{g\cdot r_{aarde}}$ (Je deelt door g en raarde zodat je maarde kunt vrijmaken)Je kunt de g wegstrepen aan de rechterkant en houdt dan over: $m_{aarde}=\frac{m_{maan} \cdot r_{maan}}{ r_{aarde}}$Berekening: $m_{aarde}=\frac{m_{maan} \cdot r_{maan}}{ r_{aarde}} = \frac{0,060 \cdot 0,10}{0,06}=0,10 \ kg$Conclusie: de aarde heeft een massa van 0,10 kgStap 2: Massa van de zon. Het is nu belangrijk te beseffen dat de rechterkant twee massa’s betreft, zowel de maan als de aarde trekken aan de rechterkant van de arm. Dus zul je beide bij elkaar moeten optellen om de juiste massa van de rechterkant te nemen.Gegeven: mmaan = 60 g; maarde = 100 g; rzon = 20 cm; rmaan-aarde = 30 cmGevraagd: de massa van de zon mzonFormule: F1 * r1 = F2 * r2 => mzon * rzon = mmaan-aarde * rmaan-aardeDeze formule kun je ombouwen tot: $m_{zon}=\frac{m_{m-a} \cdot r_{m-a}}{r_{zon}}$ (Je deelt door rzon zodat je mzon kunt vrijmaken)Berekening: $m_{zon}=\frac{m_{m-a} \cdot r_{m-a}}{r_{zon}}= \frac{(60+100)\cdot 30}{20} = 240$Conclusie: De massa van de zon mzon = 240 g = 0,240 kgVolgens de regels voor significantie is het antwoord: mzon = 2 * 10-1 kg. Dit is omdat de arm van de aarde is gegeven in 1 significant cijfer en daarmee moet je antwoord ook in 1 significant cijfer. Inzicht: de kogel, op moment van loslaten, heeft een constante snelheid in de richting waarin gegooid wordt. Dit betekent dat de krachten elkaar in evenwicht houden (Fnetto = 0). Een schets helpt je te begrijpen welke krachten op dat moment een rol spelen. Dat zijn er dus 3: spierkracht, zwaartekracht en wrijvingskracht. Merk op dat de spierkracht niet in de beweging van de kogel gericht is. Je moet ook nog de zwaartekracht overwinnen.De krachten liggen niet in een mooi assenstelsel. Je zult dus krachten moeten ontbinden. Het makkelijkste is het assenstelsel de beweging te laten volgen. Dus een assenstelsel 45o ten opzichte van de zwaartekracht.Het valt op dat je dan de zwaartekracht moet ontbinden in een component die de beweging volgt en een component die er loodrecht op staat. Zie de blauwe pijlen in de schets. Vervolgens kun je de componenten van de zwaartekracht uitrekenen.Gegeven: m = 7,28 kg; g = 9,81; hoek α = 45oGevraagd: Fz,x en Fz,yFormule: Fz,x = Fz * cos (α) = m * g * cos (α)Omdat de hoek 45o is geldt dat Fz,x  = Fz,yBerekenen: Fz,x = 7,28 * 9,81 * cos (45,0) = 50,499Conclusie: Fz,x = Fz,y = 50,5 NDe luchtwrijving kun je ook al bereken met de gegevens:Gegeven: m = 7,28 kg; cw = 0,47;d = 115 mm = 0,115 m; ρ = 1,293 kgm-3; v = 104 km/h = 104/3,6 = 28,9 m/s.Gevraagd: De luchtwrijvingskracht Fw,lFormule: oppervlakte bol: A = 4πr2=πd2 (Binas tabel 36B) en Fw,l = ½ * cw * A * ρ * v2 = ½ * cw * π * d2 * ρ * v2Berekenen: Fw,l = 0,5 * 0,47 * π * 0,1152 * 1,293 * 28,92 = 10,544Conclusie: Fw,l = 10,5 NJe hebt nu berekend dat de kracht in de x-richting (dit is de bewegingsrichting) gelijk is aan de component van de zwaartekracht en de wrijvingskracht. Deze gezamenlijke kracht is Fx = 50,5 + 10,5 = 61,0 N.De kracht in de y-richting heb je ook berekend, deze is Fy = 50,5 NOm nu de spierkracht te berekenen zul je de krachten (Fx  en Fy) weer moeten samenstellen. In de schets zie je dat twee krachten geschetst. De spierkracht moet gelijk zijn aan deze kracht maar in tegenovergestelde richting (eerste wet van Newton: twee gelijke krachten in tegengestelde richting hebben een netto kracht van 0).  Omdat de krachten loodrecht op elkaar staan (Fx en Fy) mag je de stelling van Pythagoras gebruiken om de samengestelde kracht te berekenen. Deze luidt: a2 = b2 + c2, waarbij b = Fx  en c = Fy Dus $F_{spier} = \sqrt{F_x^2 + F_y^2} = \sqrt{61,0^2+50,5^2}=79,19$Dus de spierkracht die de kogelstoter uitoefent op de kogel is Fspier = 79,2 N.