Moderne Wiskunde B 12e ed/FLEX deel 1 - Hoofdstuk 4 - Lijnen oefentoetsen & antwoorden

Omdat de lijnen evenwijdig zijn geldt dat de richtingscoëfficiënten van de lijnen $l$ en $m$ aan elkaar gelijk zijn: er geldt $a_1 = a_2$.Omdat de lijnen niet samenvallen geldt dat $b_1 \neq b_2$. Hoeken α\alphaα en β\betaβ kunnen ook op onderstaande wijze geschetst worden (F-hoeken).Dusα+β\alpha + \beta α+β stelt een stompe hoek voor, want gegeven is dat α+β>90°\alpha + \beta > 90 \degreeα+β>90°.De hoek tussen twee lijnen is per definitie altijd een scherpe hoek (dus je mag niet zeggen dat de hoek tussen lijnen kkk en lll gegeven wordt door α+β\alpha + \betaα+β). De hoek tussen de lijnen is juist hoek γ\gammaγ in onze schets.Er geldt dat α+β+γ=180°\alpha + \beta + \gamma = 180 \degreeα+β+γ=180° (gestrekte hoek). Dan is γ\gammaγ de scherpe hoek die lijnen kkk en lll met elkaar maken, en de grootte van die hoek is γ=180°−(α+β)=180°−α−β\gamma = 180 \degree - (\alpha + \beta) = 180 \degree - \alpha - \betaγ=180°−(α+β)=180°−α−β. We herleiden $y=\frac{3}{4}x+4$ in de vorm $ax+by=c$:$4y=3x+16$ (links en rechts vermenigvuldigen met $4$ om de breuk $\frac{3}{4}$ weg te werken)$-3x+4y=16$ (links en rechts $3x$ aftrekken geeft het gewenste resultaat)Dus $a=-3$, $b=4$ en $c=16$.We herleiden $y=\frac{3}{4}x+4$ in de vorm $\frac{x}{p} +\frac{y}{q}=1$:$-\frac{3}{4}x+y=4$ (links en rechts $\frac{3}{4}x$ aftrekken)$-\frac{3}{16}x+\frac{1}{4}y=1$ (links en rechts delen door $4$)$\large \frac{x}{-(\frac{16}{3})} + \frac{y}{4}=1$ (want we gebruiken dat $\large -\frac{3}{16} = \frac{1}{-(\frac{16}{3})}$, omdat delen door een breuk is vermenigvuldigen met het omgekeerde)Dus $p=-\frac{16}{3} = -5\frac{1}{3}$ en $q=4$. DIt kan op twee manieren.Methode I: Tel beide vergelijkingen bij elkaar op. Een vergelijking met alleen de variabele $y$ is het resultaat. De gevonden waarde van $y$ substitueren we in één van de vergelijkingen om de waarde van $x$ te bepalen:$-\frac{1}{2}y=1$ (Het optellen van de twee vergelijkingen in het stelsel elimineert de variabele $x$).$y=-2$.Substitueer het resultaat $y=-2$ in één van de vergelijkingen van het stelsel, bijvoorbeeld in de vergelijking $2x-y=4$. Dit levert op:$2x--2=4$$2x+2=4$$2x=2$$x=1$De oplossing is $x=1$ en $y=-2$.Tip: Substitueer het resultaat $y=-2$ in de andere vergelijking van het stelsel en ga na dat je hetzelfde resultaat vindt. Methode II: Herleid een vergelijking zodanig dat deze in de tweede vergelijking kan worden gesubstitueerd:Herschrijven van de eerste vergelijking geeft:$2x-y=4$$-y=-2x+4$$y=2x-4$Substitueer de gevonden uitdrukking voor $y$ in de tweede vergelijking. Dit geeft:$-2x +\frac{1}{2} \cdot (2x-4) = -3$$-2x+x-2=-3$$-x-2=-3$$-x=-1$$x=1$Substitueer $x=1$ in de uitdrukking $y=2x-4$. Dit geeft:$y=2\cdot 1 -4 =-2$.De oplossing is $x=1$ en $y=-2$. Stappenplan: (1) Maak een schets met beide lijnen, (2) Bereken van elke lijn de richtingscoëfficiënt, (3) Bereken met behulp van de richtingscoëfficiënt voor elke lijn de hoek met de horizontale lijn, (4) Gebruik een schets en bereken in hele graden de scherpe of de rechte hoek die de lijnen met elkaar maken en (5) Schrijf je conclusie op.(1) Maak een schets met beide lijnen:(2) Bereken van elke lijn de richtingscoëfficiënt.De vergelijking van lijn $k$ kunnen we herschrijven:$3x-2y=-3$$-2y=-3x-3$$y=1\frac{1}{2}x - 1\frac{1}{2}$De richtingscoëfficiënt van $k$ is $1\frac{1}{2}$.De vergelijking van lijn $l$ kunnen we herschrijven:$-\frac{x}{4} +\frac{y}{3} = 1$ (links en recht vermenigvuldigen met $12$)$-3x+4y=12$$y=\frac{3}{4}x+3$De richtingscoëfficiënt van $l$ is $\frac{3}{4}$.(3) Bereken voor elke lijn de hoek met de positieve $x$-as.Voor lijn $k$ en hoek $\alpha$ geldt:$\tan \alpha = 1\frac{1}{2}$$\alpha = \tan^{-1}(1\frac{1}{2}) \approx 56,31\degree$Voor lijn $l$ en hoek $\beta$ geldt:$\tan \beta = \frac{3}{4}$$\beta = \tan^{-1}(\frac{3}{4}) \approx 36,87\degree$(4) Maak gebruik van de schets en bepaal de hoek.In de schets is te zien dat $\gamma= \alpha - \beta$ (dit is de scherpe hoek tussen de lijnen $k$ en $l$). Dat geeft:$\gamma= \alpha - \beta$$\gamma = \tan^{-1}(1\frac{1}{2}) - \tan^{-1}(\frac{3}{4})$$\gamma = 56,31\degree - 36,87\degree \approx 19,4 \degree$Tip: Je kunt de uitdrukking op de tweede regel hierboven in één keer in je GR ingeven. Het voordeel is dat je de getallen in decimalen niet meerdere keren hoeft over te schrijven en dat vermindert de kans op overschrijffouten.(5) Conclusie: De hoek tussen de lijnen $k$ en $l$ is ongeveer $19,4 \degree$. Stappenplan: (1) Stel een vergelijking op van de loodlijn $m$ op $l$ door het punt $P$, (2) Bereken de coördinaten van het snijpunt $Q$ van $l$ en $m$, (3) Bereken $d(P, l) = PQ$.(1) Stel een vergelijking op van de loodlijn $m$ op $l$ door het punt $P$:De richtingscoëfficiënt van $l$ is $rc_l = -\frac{1}{4}$.Omdat $l \perp m$ geldt voor de richtingscoëfficiënt van $m$:$\large rc_l \cdot rc_m = -1$, dus $\large rc_m = -\frac{1}{rc_l} = -\frac{1}{-\frac{1}{4}} = -1 \cdot -\frac{4}{1}=4$$m:y=4x+b$ gaat door punt $P(3,-3)$. Invullen coördinaten in de vergelijking van $m$ levert:$-3 = 4\cdot 3 +b$$b=-15$De vergelijking van loodlijn $m$ op $l$ door $P(3, -3)$ is $m:y=4x-15$.(2) Bereken de coördinaten van het snijpunt $Q$ van $l$ en $m$.We hebben onderstaand stelsel met de vergelijkingen voor de lijnen $l$ en $m$. We lossen deze op om het snijpunt $Q$ te vinden.$\begin{cases} y=-\frac{1}{4}x+2 \\ y=4x-15 \end{cases}$Gelijkstellen van beide uitdrukkingen levert:$-\frac{1}{4}x+2 = 4x -15$$-\frac{17}{4}x=-17$$x= 17 \cdot \frac{4}{17} = 4$Invullen van $x=4$ in de vergelijking voor lijn $m$ levert:$y = 4 \cdot 4 -15 = 1$Lijnen $l$ en $m$ snijden in $Q(4, 1)$.(3) Bereken $d(P, l) = PQ$.We hebben punten $P(3, -3)$ en $Q(4, 1)$.$d(P, l) = PQ = \sqrt{(4-3)^2 + (1–3)^2} = \sqrt{1+16} = \sqrt{17}$Conclusie: De afstand tussen $l$ en $P$ is $d(P, l) = \sqrt{17}$. Stel de vergelijkingen voor Hans en Grietje apart op.Hans koopt 4 ons cashewnoten en 7 ons hazelnoten. 1 ons cashewnoten kost $p$ euro, dus 4 ons cashewnoten kost $4p$ euro1 ons hazelnoten kost $q$ euro, dus 7 ons hazelnoten kost $7q$ euroHans betaalt hiervoor € 17,45. Dus: $4p+7q=17,45$Grietje koopt 8 ons cashewnoten en 5 ons hazelnoten. 1 ons cashewnoten kost $p$ euro, dus 8 ons cashewnoten kost $8p$ euro1 ons hazelnoten kost $q$ euro, dus 5 ons hazelnoten kost $5q$ euroGrietje betaalt hiervoor € 19,15. Dus: $8p+5q=19,15$De twee gevonden vergelijkingen bij a) vormen een stelsel van twee lineaire vergelijkingen Om de prijs te berekenen, los je dit stelsel op. Methode 1: Herleiden van vergelijkingenHerleid het stelsel van vergelijkingen:$\begin{cases} 4p + 7q = 17,45 \\ 8p+5q = 19,15 \end{cases}$$\begin{cases} 7q = -4p +17,45 \\ 5q = -8p +19,45 \end{cases}$$\large \begin{cases} q=-\frac{4}{7}p+\frac{17,45}{7} \\ q = -\frac{8}{5}p +\frac{19,15}{5} \end{cases}$Stel beide uitdrukkingen voor $q$ aan elkaar gelijk zodat je $p$ kunt bepalen:$-\frac{4}{7}p+\frac{17,45}{7} = -\frac{8}{5}p +\frac{19,15}{5}$$-20p +5 \cdot 17,45 = - 56p + 7\cdot 19,15$ (Het linker- en rechterlid van de eerste vergelijking is vermenigvuldigd met 35 om de vergelijking daarna te verkrijgen, omdat 7 en 5 de noemers van de breuken waren)$36p = 7 \cdot 19,15 - 5\cdot 17,45$$p = \frac{7 \cdot 19,15 - 5\cdot 17,45}{36} = 1,3$Vul de gevonden waarde voor $p$ in een willekeurige andere vergelijking in om de waarde van $q$ te vinden. Neem de gevonden waarde $p=1,3$ en substitueer deze in de vergelijking $4p+7q=17,45$.$4\cdot 1,3+7q=17,45$$7q=17,45-4\cdot 1,3$$q = \frac{17,45 - 4 \cdot 1,3}{7} = 1,75$Conclusie: de prijs voor een ons cashewnoten is  $p=1,30$ euro en de prijs voor een ons hazelnoten is $q=1,75$ euro.Methode 2: Substitutie.Herleid het stelsel van vergelijkingen:$\begin{cases} 4p + 7q = 17,45 \\ 8p+5q = 19,15 \end{cases}$$\begin{cases} 4p = - 7q + 17,45 \\ 8p+5q = 19,15 \end{cases}$De eerste vergelijking kan in de tweede vergelijking worden gesubstitueerd:$8p+5q=19,15$$2 \cdot (4p)+5q=19,15$$2 \cdot 17,45-7q+5q=19,15$$34,90-14q+5q=19,15$$9q=34,90-19,15$$q=\frac{34,90-19,15}{9} = 1,75$Vul de gevonden waarde voor $q$ in een willekeurige andere vergelijking in om de waarde van $p$ te vinden. Neem bijvoorbeeld de vergelijking $8p+5q=19,15$.$8p+5q=19,15$$8p+5 \cdot 1,75=19,15$$8p=19,15-5 \cdot 1,75$$p=\frac{19,15-5\cdot 1,75}{8}=1,3$Conclusie: de prijs voor een ons cashewnoten is  $p=1,30$ euro en de prijs voor een ons hazelnoten is $q=1,75$ euro. Voor $p=1$ is $k_1: 2x + y = -2$; voor $q=3$ is $l_3: x+ \frac{3}{2}y=5$.Om het snijpunt te vinden, los stelsel vergelijkingen op:$\begin{cases} 2x+y = -2 \\ x+ \frac{3}{2}y=5 \end{cases}$Herschrijven van de tweede vergelijking geeft:$y=-\frac{2}{3}x+\frac{10}{3}$Substitueer de gevonden uitdrukking voor $y$ in de eerste vergelijking $2x+y=-2$. Dit levert op:$2x - \frac{2}{3}x + \frac{10}{3} = -2$$\frac{4}{3}x = -\frac{16}{3}$$x=-4$Substitueer de gevonden waarde voor $x$ in één van de vergelijkingen van het stelsel, bijvoorbeeld in de vergelijking $2x+y=-2$. Dit levert:$2 \cdot -4 + y = -2$$y=6$Conclusie: Het snijpunt van de lijnen $k_1$ en $l_3$ is $S(-4,6)$. Herschrijf de vergelijkingen van lijnen $k_p$ en $l_q$:$2px+y=-2$ geeft $y=-2px-2$$x+\frac{1}{2}qy=5$ geeft $y=-\frac{2}{q}x + \frac{10}{q}$De lijnen zijn evenwijdig als geldt dat de richtingscoëfficiënten gelijk zijn.Uit de vorige stap volgt dat $rc_k = -2p$ en $rc_l = -\frac{2}{q}$Gelijkstellen levert: $-2p = -\frac{2}{q}$ ofwel $pq=1$. (Alternatieve mag je dit ook schrijven als $q=\frac{1}{p}$ of $p=\frac{1}{q}$).Gegeven (uit onderdeel b):$k_p: y=-2px -2$$l_q: y=-\frac{2}{q}x + \frac{10}{q}$Indien lijnen samenvallen zijn de startgetallen (beginwaarden) gelijk, dus: $-2 = \frac{10}{q}$, oftewel $q=-5$.Als de lijnen samenvallen moeten daarnaast ook de richtingscoëfficiënten gelijk zijn, dus we gebruiken uit opgave b) dat $pq=1$, dus $p = \frac{1}{q} = -\frac{1}{5}$Conclusie: lijnen $k_p$ en $l_q$ vallen samen indien $p=-\frac{1}{5}$ en $q=-5$. Gebruik uit onderdeel b opnieuw:$k_p: y=-2px -2$$l_q: y=-\frac{2}{q}x + \frac{10}{q}$Als lijnen loodrecht op elkaar staan, is het product van de richtingscoëfficiënten gelijk aan $-1$. $rc_k = -2p$ en $rc_l = -\frac{2}{q}$ (uit opgave b), dus:$rc_k \cdot rc_l = -1$$-2p \cdot -\frac{2}{q} = -1$Conclusie: $\frac{4p}{q}=-1$ (of gelijkwaardige uitdrukkingen: $4p+q=0$ of $q=-4p$). Stappen: (1) Stel een vergelijking van een lijn $k$ door twee punten van de driehoek op, (2) bepaal een vergelijking van lijn $l$ die loodrecht staat op lijn $k$ die gaat door het derde punt van de driehoek (dit is de hoogtelijn van de driehoek), (3) bepaal het snijpunt $S$ van lijn $k$ en lijn $l$, (4) bepaal de lengte van de basis van de driehoek, (5) bepaal de hoogte van de driehoek, (6) bepaal het oppervlak van de driehoek en (7) schrijf het eindantwoord op.(1) Stel een vergelijking van een lijn $k$ door twee punten van de driehoek op van de vorm $y=ax+b$ waarbij $a$ de richtingscoëfficiënt is en $b$ het startgetal. (Deze lijn vormt de basis van de driehoek.)Neem bijvoorbeeld de lijn door de punten $A(2, 2)$ en $B(0, 6)$. (Je mag ook twee andere punten kiezen. Dat geeft uiteraard andere tussenantwoorden, maar je eindantwoord moet hetzelfde uitkomen).De richtingscoëfficiënt van de lijn $k$ door $A(2, 2)$ en $B(0, 6)$ is:$rc_k = \frac{6-2}{0-2} = \frac{4}{-2} = -2$$k:y=-2x+b$ gaat door het punt $B(0, 6)$Hieruit volgt: $6=-2 \cdot 0+b$, dus $b=6$De vergelijking van lijn $k$ door $A(2, 2)$ en $B(0, 6)$ is: $k:y=-2x+6$(2) Bepaal een vergelijking van lijn l die loodrecht staat op lijn k en die gaat door het derde punt van de driehoek. (Zo vind je de hoogtelijn van de driehoek.)Indien twee rechte lijnen $k$ en $l$ loodrecht op elkaar staan, geldt voor het product van de richtingscoëfficiënten: $rc_k \cdot rc_l = -1$. Met $rc_k=-2$ volgt dat $rc_l = -\frac{1}{2}$.$l: y = \frac{1}{2}x+b$ gaat door het punt $C(3, 10)$ . Hieruit volgt:$10 = \frac{1}{2} \cdot 3 +b$$b = 10 - \frac{1}{2} \cdot 3 = 8\frac{1}{2}$De vergelijking van lijn $l$ door $C(3, 10)$ en loodrecht op lijn $k$ is: $l:y = \frac{1}{2}x+8\frac{1}{2}$(3) Bepaal het snijpunt $S$ van lijn $k$ en lijn $l$.Stel de uitdrukkingen voor de gevonden vergelijkingen van lijnen $k$ en $l$ aan elkaar gelijk:$-2x+6 = \frac{1}{2}x+8\frac{1}{2}$Zowel linker- als rechterlid vermenigvuldigen met 2 levert op (ga dit na):$-4x+12=x+17$$-5x=5$$x=\frac{5}{-5} = -1$Substitueer $x=-1$ in een vergelijking om de y-coördinaat van het snijpunt van lijnen $k$ en $l$ te bepalen, bijvoorbeeld de vergelijking van lijn $k$: $y=-2x+6$. Dat geeft:$y=-2 \cdot-1+6=8$De lijnen $k$ en $l$ snijden in $S(-1,  8)$.(4) Bepaal de lengte van de basis van de driehoek.Neem als basis van de driehoek de zijde $AB$.De afstand tussen de punten $A(2, 2)$ en $B(0, 6)$ is:$AB^2 = (0-2)^2 + (6-2)^2$ (via Pythagoras)$AB^2 = (-2)^2 + 4^2$$AB^2 = 4 + 16 = 20$$AB = \sqrt{20}$De lengte van basis $AB$ is $\sqrt{20} = 2\sqrt{5}$.(5) Bepaal de hoogte van de driehoek.Deze is gelijk aan de afstand tussen punten $C(3, 10)$ en $S(-1,  8)$:$CS^2 = (-1-3)^2 + (8-10)^2$$CS^2 = (-4)^2 + (-2)^2$$CS^2 = 16 +4= 20$$CS = \sqrt{20}$De lengte van hoogte $CS$ is $\sqrt{20} = 2\sqrt{5}$.(6) Bepaal het oppervlak van de driehoek.Voor de oppervlakte van een driehoek geldt: $Opp = \frac{1}{2} \cdot basis \cdot hoogte$Dus voor het oppervlak van driehoek $ABC$:$Opp( \triangle ABC)=\frac{1}{2} \cdot AB \cdot CS = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{20} \cdot \sqrt{20}$$Opp( \triangle ABC)=\frac{1}{2} \cdot 20 = 10$(7) Conclusie: Het oppervlak van de driehoek $ABC$ is $10$.Tip: Maak altijd zelf een schets zodat je ziet wat je aan het doen bent. Zet hier als eerste de gegeven punten in.