Overal Natuurkunde 5e ed - Hoofdstuk 4 - Trillingen oefentoetsen & antwoorden

a) De amplitude is de maximale uitwijking van een trilling.b) De fase van een trilling geeft aan hoeveel trillingen er op een bepaald tijdstip zijn uitgevoerd. Een fase van 0,5 betekent dat de trilling een halve periode heeft afgelegd. Een fase van 2,5 betekent dat de trilling twee gehele trillingen heeft gemaakt plus nog een halve.c) De trillingstijd is de tijd die gemeten wordt van één gehele trilling. Dus de tijd die nodig is om vanuit het evenwichtspunt naar de ene kant te slingeren en dan naar de andere kant en weer terug naar de evenwichtsstand.d) De eigentrilling is de trilling die een voorwerp van “nature” uitvoert als het in beweging wordt gebracht. De eigenfrequentie is de frequentie van het voorwerp.e) Resonantie is het verschijnsel waarbij een voorwerp gaat meetrillen bij een gedwongen externe trilling met dezelfde frequentie als de eigenfrequentie.f) Een harmonische trilling is een trilling waarbij de frequentie gelijk blijft en die een sinus-achtige beweging kent. In het plaatje zie je dat er sprake is van een sinus en je ziet dat de periode tussen elke top steeds gelijk blijft, wat duidt op frequentie die gelijk blijft.g) Van een terugdrijvende kracht wordt gesproken als er een kracht aanwezig is die reageert op een initiële kracht. Deze terugdrijvende kracht brengt bijvoorbeeld een blokje aan een veer steeds terug naar de evenwichtsstand, bij de veer is dat dus de veerkracht.  a) Een harmonische trilling is een trilling die een sinusvormige grafiek heeft. Het hartfilmpje laat zien dat je wel de periode kunt bepalen (door middel van de pieken) maar niet dat de trilling mooi afneemt en weer mooi toeneemt. Het hart pompt bloed door middel van pulsen.b) De veerconstante staat onderaan een breuk en de trillingstijd staat niet in een breuk. Het verband moet dan wel omgekeerd zijn. Verder staat in de formule een wortel dus is het een omgekeerd wortelverband. Je kunt ook twee cijfers gebruiken om het aan te tonen. Stel dat $C$ vier keer zo groot wordt, wordt $T=\sqrt{\frac{1}{4}}=0,5$, dus twee keer zo klein.c) Schets:Als de trilling in de amplitude (maximale uitwijking) bevindt staat de trilling even stil (de snelheid is dan 0). Maar als de trilling door de evenwichtsstand gaat (dus uitwijking is 0) is de snelheid maximaal. De snelheid remt daarna weer af.d) Bij een harmonische trilling blijft de trillingstijd (en daarmee de frequentie) gedurende de trilling constant. Als daarbij de uitwijking geleidelijk toeneemt en dan weer afneemt als gevolg van een resultante kracht spreek je van een harmonische trilling.e) Bij een fase van 3,25 heeft de slinger al drie gehele trillingen achter de rug. Bij een fase van 0 bevindt de trilling zich in de evenwichtsstand, bij 0,25 in de amplitude aan de rechterkant, bij 0,5 in de evenwichtsstand (maar de andere kant op bewegend) en bij 0,75 weer in de amplitude maar dan aan de linkerkant. Dus in het voorbeeld bevindt de slinger zich na 3 gehele trillingen aan de rechterkant in de amplitude. a) De evenwichtsstand bevindt zich op 1,50 meter hoogte. Dit is de zogenaamde schothoogte van dit paard. De top van de trilling bevindt zich op 1,90 meter en dus is de amplitude 1,90-1,50=0,40 meter. Een andere methode is om het verschil tussen de top en het dal te bepalen en dan te delen door 2 (immers een trilling beweegt van boven naar beneden en weer terug). Het verschil tussen top en dal is 80 cm, dus dan moet de amplitude wel 40 cm zijn.b) De trillingstijd is de tijd die nodig is om één gehele trilling af te leggen. In deze grafiek kun je dan het beste kijken naar de afstand tussen de toppen (of dalen). De eerste top start op t=0,3 s. De tweede top vindt plaats op t=1,5 s. Dus dan weet je dat de trillingstijd T=1,2 s.Gegeven: $T = 1,2 \ s$Gevraagd: frequentie ($f$)Formule: $f = \frac{1}{T}$Berekening: $f = \frac{1}{T}=\frac{1}{1,2} = 0,83$Conclusie: $f=0,83 \ Hz$c) Om de maximale snelheid te berekenen kijk je naar de beweging in de evenwichtsstand.Gegeven: Uit het diagram haal je twee gegevens: $A=0,40 \ m$ en $T=1,2 \ s$Gevraagd: $v_{max}$ Formule: $v_{max}=\frac{2 \pi A}{T}$Berekening: $v_{max}=\frac{2 \pi A}{T}= \frac{2 \cdot \pi \cdot 0,40}{1,2} = 2,09$Conclusie: $v_{max}=2,1 \ m/s$ (let op significantie! Gebruikte cijfers hebben allemaal een significantie van 2. De getallen 2 en de pi in de formule hebben geen significantie).d) De formule van een harmonische trilling voldoet aan $u(t)=A\sin(2\pi t/T)$. Dus wat je moet doen is deze invullen met de gegevens die je hebt gevonden, nl. $A=0,40 \ m$ en $T=1,2 \ s$. Dus het antwoord is: $u(t)=0,40 \sin(2\pi t/1,2)$.e) Dit antwoord kun je op twee manieren vinden:BEPAAL: gebruik de grafiek, op t=1,7 s bevindt de trilling zich halverwege de top en de evenwichtsstand. Er is al één trilling voorbij en de trilling beweegt zich naar beneden vlak voor de evenwichtsstand. Dat betekent dat het net geen 1,5 maar ongeveer φ=1,4 zal zijn.BEREKEN: gebruik de formule $\varphi = \frac{\Delta t}{T} = \frac{1,7}{1,2}=1,42$,dus $\varphi=1,42$. In het diagram zie je dat één gehele trilling vier hokjes duurt. In de tekst wordt de waarde van één zo’n hokje (div) genoemd, 25 µs (dit is $25\cdot 10^{-6} \ s$). Gegeven: Dus één volledige trilling duurt $4\times 25 =100 \ \mu s = 0,1 \ ms = 1,0\cdot 10^{-4} \ s$. Dus je weet dat $T=1,0\cdot 10^{-4} \ s$.Gevraagd: $f$Formule: $f = \frac{1}{T}$Berekening: $f = \frac{1}{T}=\frac{1}{1,0\cdot 10^{-4}}=1,0\cdot 10^4$Conclusie: $f = 1,0\cdot 10^4 \ Hz$ a) Een massa-veersysteem is een voorbeeld van een harmonische trilling, in de tekst staat verder dat naarmate de tijd vordert de amplitude kleiner wordt en dus uiteindelijk zal stoppen. We spreken dan van een gedempte harmonische trilling.b) Met de formule F=C⋅uF=C\cdot uF=C⋅u kan deze opgave worden opgelost.Gegeven: u=30 cm=0,30 mu = 30 \ cm = 0,30 \ mu=30 cm=0,30 m; F=100 NF = 100 \ NF=100 NGevraagd: De veerconstante CFormule: F=C⋅u→C=FuF=C\cdot u \to C=\frac{F}{u}F=C⋅u→C=uF​Berekening: C=Fu=1000,30=333,33C = \frac{F}{u}= \frac{100}{0,30} = 333,33C=uF​=0,30100​=333,33Conclusie: C=3,3⋅102 N/mC=3,3\cdot 10^2 \ N/mC=3,3⋅102 N/m (denk aan significantie)c) In de vraag wordt gesproken over kracht en over trillingstijd. Dit betekent dat je twee formules moet gebruiken om tot de juiste herleiding te komen. De eerste formule is de formule met de kracht: F=C⋅uF=C\cdot uF=C⋅u (1)De tweede formule is de formule voor de trillingstijd van een massa-veersysteem: T=2πmCT=2\pi \sqrt{\frac{m}{C}}T=2πCm​​ (2).In de herleide formule is de CCC vervangen door iets anders. Dus we moeten een formule hebben waarbij C=….C = ….C=…. wordt gegeven. Door formule (1) om te schrijven krijg je: C=FuC=\frac{F}{u}C=uF​. Je kunt deze nu invullen in formule (2), dan krijg je: T=2πmF/u\large T=2\pi \frac{m}{F/u}T=2πF/um​. Als je een breuk in een breuk krijgt mag/moet je de breuk in de noemer omdraaien en vermenigvuldigen met de teller. Je krijgt dan T=2πmuF\large T=2\pi \sqrt{\frac{mu}{F}}T=2πFmu​​ (3). En daarmee heb je het bewezen.d) In formule 3 zijn de kracht (F) en de uitwijking (u) aanwezig. Maar omdat de uitwijking afhankelijk is van de kracht die wordt uitgeoefend om de trilling in beweging te brengen zal deze uitwijking lineair aan de kracht zijn. Dus een grotere kracht zorgt voor een grotere uitwijking. Dus mag je stellen dat de kracht waarmee je de massa omlaag trekt GEEN invloed heeft op de trillingstijd. Want in formule 3 wordt de toename van de kracht “opgeheven” door de toename van de uitwijking.e) Hiervoor kun je de formule van het massa-veersysteem gebruiken:Gegeven: C=3,3⋅102 N/mC = 3,3\cdot 10^2 \ N/mC=3,3⋅102 N/m, m=3,5 kgm = 3,5 \ kgm=3,5 kgGevraagd: Trillingstijd TTTFormule: T=2πmCT=2\pi \sqrt{\frac{m}{C}}T=2πCm​​Berekening: T=2πmC=2π3,53,3⋅102=0,6471T=2\pi \sqrt{\frac{m}{C}}=2\pi\sqrt{\frac{3,5}{3,3\cdot 10^2}}=0,6471T=2πCm​​=2π3,3⋅1023,5​​=0,6471Conclusie: T=0,65 sT = 0,65 \ sT=0,65 sf) Omdat er in de formule van de trillingstijd van een massa-veersysteem een wortel zit, is het verband ook een wortelverband. Dit is in de figuur te zien doordat het geen rechte lijn is. Daarom moet de wortel weggewerkt worden om de veerconstante uit die wortel te krijgen. Pas dan is het mogelijk om met behulp van de richtingscoëfficiënt de veerconstante te bepalen. Om dit te doen is het makkelijker de formule om te schrijven naar iets dat lijkt op y=axy=axy=ax, waarbij aaa dan de richtingscoëfficiënt is. Dit doe je door de formule te kwadrateren (de wortel wegwerken); de beide kanten van de = kwadrateer je. De formule komt er dan als volgt uit te zien: T2=4π2mCT^2=4\pi^2\frac{m}{C}T2=4π2Cm​. Vervolgens krijg je: T2=4π2C⋅mT^2=\frac{4\pi^2}{C}\cdot mT2=C4π2​⋅m. Dit lijkt erg op y=axy=axy=ax. De y=T2, x=m en a=4π2/C. En dus C=4π2/a (4)!De stap die je dan eerst doet is een kolom toevoegen aan de tabel en die noem je T2. In die kolom zet je dan de waardes van T2. Vervolgens teken je een nieuwe grafiek waarbij je m uitzet tegen T2. De lijn die dat oplevert kun je gebruik om de richtingscoëfficiënt te bepalen. Zie figuur hieronder. In het figuur heeft excel al de formule voor de lijn gegeven. Maar laten we de richtingscoëfficiënt (r.c) zelf uitrekenen. De r.c. wordt berekend door Δy/Δx en in dit voorbeeld wordt dat r.c.= 0,99/5,0 = 0,198. Om nu de veerconstante C uit te rekenen gebruiken we formule (4). C = 4π2/r.c. = 4π2/0,198 = 199,39. En als je significantie moet aanhouden wordt het antwoord C = 2,0*102 N/m (de gebruikte getallen kennen een significantie van 2).ALTERNATIEVE UITWERKING. Deze som kan in plaats van met een eenhedentransformatie ook worden opgelost door niet de trillingstijd te kwadrateren maar door de huidige formule verder uit te werken en uit te gaan van m\sqrt{m}m​, zoals in het boek als voorbeeld wordt gegeven. Dit doe je door de volgende stappen te volgen:De formule voor het massa-veersysteem luidt:  T=2πmCT=2\pi \sqrt{\frac{m}{C}}T=2πCm​​. Als je daar een rechte lijn van wilt maken die voldoet aan het format: y=axy = axy=ax, kun je de wortel splitsen: T=2πmC=2πmC=2πC⋅mT=2\pi \sqrt{\frac{m}{C}}=2\pi\frac{\sqrt{m}}{\sqrt{C}}=\frac{2\pi}{\sqrt{C}}\cdot \sqrt{m}T=2πCm​​=2πC​m​​=C​2π​⋅m​.Dus a (de richtingscoëfficiënt) kan worden geformuleerd als: a=2πCa=\frac{2\pi}{C}a=C2π​, hieruit volgt:C=2πa→C=4π2a2\sqrt{C} = \frac{2\pi}{a} \to C=\frac{4\pi^2}{a^2}C​=a2π​→C=a24π2​ (5)Je kunt vervolgens een nieuwe grafiek maken waarbij je TTT uitzet tegen m\sqrt{m}m​. In het figuur heeft excel al de formule voor de lijn gegeven. Maar laten we de richtingscoëfficiënt (r.c) zelf uitrekenen. De r.c. wordt berekend door Δy/Δx en in dit voorbeeld wordt dat r.c.= 0,99/2,24 = 0,442.Formule (5) kun je vervolgens gebruiken om de veerconstante C te berekenen: C=4π2a2=4π20,4422=202,07C=\frac{4\pi^2}{a^2}=\frac{4\pi^2}{0,442^2}=202,07C=a24π2​=0,44224π2​=202,07. En als je significantie moet aanhouden wordt het antwoord C=2,0⋅102 N/mC = 2,0\cdot 10^2 \ N/mC=2,0⋅102 N/m (de gebruikte getallen kennen een significantie van 2).